精品解析：广东省佛山市金桂实验高级中学2025-2026学年高二上学期第一次检测数学试题

2025-2026学年高二上学期第一次检测数学试题 本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得； 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为； 故选：C 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义可求得结果. 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 6. 如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 7. 若两异面直线与的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设异面直线与所成的角为，根据，即可求解. 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，， 可得，，， 设异面直线与所成的角为，则， 又因为，所以， 即直线与的夹角为. 故选：A. 8. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量共面的基本定理，结合基底的性质判断各项向量是否共面即可. 【详解】对于A，有，所以，，共面； 对于B，有，所以，，共面； 对于C，假设，，共面，则有，即，由题意不共面，所以，无解， 故假设不成立，所以，，不共面； 对于D，，所以 ，，共面. 故选：ABD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过、两点的所有直线的方程为 D. 若两直线与平行，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用直线的截距式方程可判断B选项的正误；利用直线的两点式方程可判断C选项的正误；利用两直线平行求实数的值，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或. 因为，所以，“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，B错； 对于C选项，当或，方程无意义，C错； 对于D选项，若直线与平行， 则，整理可得，解得或. 当时，，，两直线重合，不合乎题意； 当时，，，两直线平行，合乎题意，D对. 故选：ABC. 11. 给出下列命题，其中为假命题的是（ ） A. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则 B. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 C. 若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 D. 已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系、线面角的定义、向量共面的定理，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：由题意，当时，或，故A错误； 对于B：由图象可得，，则， 所以，根据线面角的定义可得：与所成角为，故B正确； 对于C：因为，所以，故，故C正确； 对于D：只有当空间的三个向量，，不共面时， 对于空间的任意一个向量，才存在实数使得，故D错误. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由所求角与方向向量和法向量夹角互余即可求得结果. 【详解】直线与平面所成角与其方向向量与平面法向量的夹角互余， 直线与平面所成的角为. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用空间距离公式及二次函数知识求解. 【详解】已知， 当时，等号成立.所以的最小值是2. 故答案为：2. 14. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】据空间向量基本定理把用，，作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】在平行六面体中,， 所以， 因为，所以， 又， 所以，， 所以 所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平行四边形中，已知，，. （1）求直线的方程； （2）求中边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用平行四边形的性质和点斜式求出即可； （2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系，点斜式求解即可； 【小问1详解】 设， 因为，所以， 即， 所以， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为， 所以中边上的高所在直线的方程为，即. 16. 已知直线． （Ⅰ）证明：直线过定点； （Ⅱ）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）或． 【解析】 【分析】（Ⅰ）将直线化简成点斜式的形式，从而得到答案； （Ⅱ）令，可得，令，可得，利用的面积为，建立方程，求出，即可求直线的方程． 【详解】（Ⅰ）证明：将直线化简为点斜式，可得， 直线经过定点，且斜率为． 即直线过定点恒过定点． （Ⅱ）解：令，可得， 令，可得， 的面积， 解得或， 直线的方程为或． 【点睛】本题考查直线的方程，考查三角形的面积，正确表示三角形的面积是关键，属于基础题． 17. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）3； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得 【小问2详解】 由（1）得，而量，因此， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，， 由，得 ， 所以 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】（1） 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期第一次检测数学试题 本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若两异面直线与的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过、两点的所有直线的方程为 D. 若两直线与平行，则 11. 给出下列命题，其中为假命题的是（ ） A. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则 B. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 C. 若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 D. 已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 13. 在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是__________. 14. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平行四边形中，已知，，. （1）求直线的方程； （2）求中边上的高所在直线的方程. 16. 已知直线． （Ⅰ）证明：直线过定点； （Ⅱ）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求直线的方程． 17. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量，求； （3）若，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $