精品解析：湖北省黄冈市黄梅县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季九年级数学训练题（一） 一、选择题 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解其定义是解题关键． 利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不合题意； D、含有分式不是一元二次方程，不合题意． 故选：A． 2. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 3. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 4. 把二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为， 故选：A 5. 对于一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：两根之和是 乙：两根之积是5 丙：没有实数根 丁：有两个不相等的实数根 老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键，根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系分析即可得解． 【详解】解：∵方程中，， ， ∴此方程没有实数根， ∴四位同学中只有丙说法正确， 故选：C． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，根据题意可得，，，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即且， ∴且， 故选：D． 8. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，解题的关键是先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线， 其图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴右侧随的增大而减小， 点，，都在抛物线上， 点关于直线的对称点在抛物线上，且， ， 故选：A． 9. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据正方形和圆的面积公式求得总面积，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】根据题意：正方形田的边长与圆形田的直径相等，面积之和为，可得 故选：D． 10. 已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；把代入函数解析式求出y值即可判断C；根据二次函数的图象和性质可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； 把代入， 解得：，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， 且， 离对称轴越近越小，则，所以选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题 11. 写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 根据题意写出符合题意的二次函数解析式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴则一次项系数为0， 取常数项为，二次项系数为， ∴满足题意的二次函数的解析式可以为：． 故答案为：（答案不唯一） 12. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵，分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 若实数，满足，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 15. 函数在有最大值6，则实数的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口方向和离抛物线的对称轴远近确定最值点是解题关键． 由二次函数解析式可知：抛物线的对称轴为，再分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：因为二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，离抛物线的对称轴越远函数值越大， （1）当时，即时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵, 在这里，， ∴， 解得，． 17. 根据条件求二次函数的解析式： （1）已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为． （2）抛物线经过点，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线解析式的求法，理解求抛物线解析式的方法是解答关键． （1）设抛物线的顶点式，再代入经过的点的坐标求出即可求解； （2）将，两点坐标代入函数解析式来求解． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 把代入上式得， 解得， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将，两点坐标代入函数解析式得 ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 18. 如图是某校九年级班级门口的优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为．勤奋小组的同学负责将6张全等的、面积为的矩形贴纸按两行三列粘贴在展示板上，要求贴纸之间及贴纸粘贴区域与展板边缘的距离均相等．请你帮勤奋小组的同学计算出该相等的距离为多少． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，设该相等的距离为，利用x表示出6张全等的、面积为的矩形贴纸的面积，并据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设该相等的距离为， 根据题意得． 解得：（舍去），． 答：该相等的距离为． 19. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 【小问3详解】 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个解为0，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根； 【答案】（1）0或 （2） 证明∶， 方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶(1) 代入得出关于k的一元二次方程；(2)求出的值，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键． （1）将代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值； （2）求出的值，再与0作比较，由于，从而证出方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解∶ 方程有一个根为0， ，即，解得∶，， k的值为0或． 【小问2详解】 略． 21. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． （1）求二次函数解析式； （2）若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或3， ， ． 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为直线下方抛物线上的任意一点，且点横坐标为． ①连接，，求面积的最大值； ②过点作轴，垂足为，过点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为．记，求关于的函数解析式． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求得直线的解析式，过点作轴交于，设，则，根据列式，利用二次函数的性质求解即可； ②分当和时，两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，最大，为； ②， 对称轴为． ，且点在第三象限， ； 当时，， 这时，； 当时，， 这时，； 综合得：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级数学训练题（一） 一、选择题 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 4. 把二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 对于一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：两根之和是 乙：两根之积是5 丙：没有实数根 丁：有两个不相等的实数根 老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 二、填空题 11. 写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式：____________． 12. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 14. 若实数，满足，则的值为________． 15. 函数在有最大值6，则实数的值是________． 三、解答题 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 根据条件求二次函数的解析式： （1）已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为． （2）抛物线经过点，． 18. 如图是某校九年级班级门口的优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为．勤奋小组的同学负责将6张全等的、面积为的矩形贴纸按两行三列粘贴在展示板上，要求贴纸之间及贴纸粘贴区域与展板边缘的距离均相等．请你帮勤奋小组的同学计算出该相等的距离为多少． 19. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个解为0，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根； 21. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． （1）求二次函数解析式； （2）若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求的值． 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为直线下方抛物线上的任意一点，且点横坐标为． ①连接，，求面积的最大值； ②过点作轴，垂足为，过点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为．记，求关于的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $