精品解析：四川省资阳市安岳中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

初2023级第五期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 5. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. a D. 6. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 8. 已知，则（ ） A. 6 B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 10. 如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边分别平行于x轴、y轴，若函数（）的图象与有交点，则k的最大值是（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：_______________． 12. 若，则化简________． 13. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是______． 14. 若三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则这个三角形的周长是_____． 15. 若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 16. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是________（填序号）． 三、解答题（共8个小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 20. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 21. 在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如： ； ． （1）若，且，，均为正整数，若，则______； （2）请你按照上述方法将化成一个式子的平方； （3）请你运用上述方法化简：． 22. 设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，求值； （3）求的最大值． 23. 已知（其中，，，是各项的系数，是常数项），我们规定的伴随多项式是，且．如，则它的伴随多项式． 请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知，则它的伴随多项式___________ （2）已知，则它的伴随多项式___________；若，求的值． （3）已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，求的整数值． 24. 如图，过，两点的直线与直线交于点C，平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左平移，到C点时停止．直线分别交线段，于点D，E，以为边向右侧作等边．设与重叠部分图形的周长为，直线的运动时间为（秒）． （1）求C点坐标； （2）当点F落在y轴上时，求相应的时间的值 （3）求m与之间的关系式．【说明：不考虑直线平移过程中“起点”与“终点”时的情况】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级第五期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：D． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判断被开方数是否相同． 先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”，判断哪个选项与是同类二次根式． 【详解】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这些二次根式是同类二次根式． A、已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； B、已是最简二次根式，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； C、，化简后被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式； D、已是最简二次根式，被开方数为14，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：C． 3. 喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均变化率与一元二次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； 【详解】解：由题意可列方程为：， 故选：C． 4. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 5. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. a D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值．由数轴可知，，进而可得，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选A． 6. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 7. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故选：C． 8. 已知，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式及二次根式的性质，先求出，得出，再计算，进而求出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是掌握以上性质． 作点关于的对称点，连接，则，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 10. 如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边分别平行于x轴、y轴，若函数（）的图象与有交点，则k的最大值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，A点的坐标为，C点的坐标为，B点的坐标为，可得直线解析式，联立反比例函数解析式转化为，利用一元二次方程根的判别式求出k的最大值即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用判别式求出最值是关键． 【详解】解：由题意可知，由题意可知，A点的坐标为，C点的坐标为，B点的坐标为 设直线的解析式为， 则：， 解得， 直线BC的解析式为：， 根据题意得，， 整理得：， 图象有交点，得方程有实数根， 故， 解得， 故k的最大值为， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 12. 若，则化简________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 13. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义． 根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 14. 若三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则这个三角形的周长是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【详解】解：解方程x2﹣7x+10＝0得x＝2或x＝5， 当x＝2时，2+4＝6，不能构成三角形，舍去； 当x＝5时，2+5＞6，能构成三角形，此时三角形的周长为4+5+6＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯． 15. 若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式，一元二次方程的解． 由一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而可得，结合，即可得的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 16. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义、根的判别式等知识，对每个说法逐一进行分析判断． 【详解】解：①若，则是方程的一个根，所以方程有实数根，故，①正确． ②若是方程的一个根，则，当时，；当时，，则不一定等于，②错误． ③若，则当时，，所以它有一个根是，③正确． ④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即．对于方程，其判别式，因为，，所以，故方程必有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共8个小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，二次根式的化简，正确理解二次根式的运算性质是解题的关键． （1）运用零指数幂，二次根式性质，绝对值的性质进行化简，再进行合并即可； （2）运用平方差公式，完全平方公式，二次根式的乘法法则，二次根式的加减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记因式分解法、配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 则， ， 则， 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据是方程的根，可得：，根据分式的运算法则可得：原式，从而可得分式的值为. 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 原式． 20. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 21. 在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如： ； ． （1）若，且，，均为正整数，若，则______； （2）请你按照上述方法将化成一个式子的平方； （3）请你运用上述方法化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和完全平方公式，灵活运用二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式把等式右边展开，则，，再计算对应的的值； （2）利用题中的方法，把7分成2与5的和，把分成与的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可； （3）把写成，然后利用完全平方公式写成平方式，再根据二次根式的性质即可解答； 【小问1详解】 解：，， ， ，， 解得：，， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 22. 设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，求值； （3）求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得：，解不等式求的取值范围； 根据一元二次方程根与系数的关系，可知，，利用完全平方公式进行变形，可得：，根据可得：，解方程求出的值即可； 把，代入，可得：，根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，最大值是． 【小问1详解】 解：方程， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 是不小于的实数， ， ； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根、， ，， ， ， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ； 【小问3详解】 解：，， ， 当时，有最大值，最大值是． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象与性质、利用完全平方公式变形求值． 23. 已知（其中，，，是各项的系数，是常数项），我们规定的伴随多项式是，且．如，则它的伴随多项式． 请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知，则它的伴随多项式___________ （2）已知，则它的伴随多项式___________；若，求的值． （3）已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，求的整数值． 【答案】（1）； （2），或； （3）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据伴随多项式即可求解； （）根据伴随多项式得，然后由题意可得，再解方程即可； （）根据伴随多项式得，然后由题意可得，再由有正整数解，求的整数值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得：或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的方程有正整数解， ∴或或或， 解得：或或或． 24. 如图，过，两点的直线与直线交于点C，平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左平移，到C点时停止．直线分别交线段，于点D，E，以为边向右侧作等边．设与重叠部分图形的周长为，直线的运动时间为（秒）． （1）求C点坐标； （2）当点F落在y轴上时，求相应的时间的值 （3）求m与之间的关系式．【说明：不考虑直线平移过程中“起点”与“终点”时的情况】 【答案】（1）点的坐标为 （2）当秒时，点在轴上 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式为，联立 ，求解即可； （2）作于点，设，则，求出点的坐标为，结合轴上的点的坐标特征即可得解； （3）设，分别交轴于点，，分两种情况：当时，当时，求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 则有， 解得 ∴直线的表达式为， 联立 ， 解得 ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：作于点， 设，则 ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴点的坐标为， 当点在轴上时，， ∴，即当秒时，点在轴上； 【小问3详解】 解：设，分别交轴于点，， ①当时，重叠部分是四边形， ∵轴，为等边三角形， ∴为等边三角形，， ∴； ②当，重叠部分是，； 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数综合、等边三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $