函数的奇偶性、周期性、对称性、抽象函数讲义-2026届高三数学一轮复习

函数的奇偶性、周期性、对称性、抽象函数（学案） 一、函数的奇偶性、周期性 考点一　函数奇偶性的判断 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)= (3)f(x)=log2(x+). 2.(多选）设函数，的定义域为R，且是奇函数，是偶函数， 则下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),则下列结论一定正确的是 (　　) A.f(x)+1是奇函数 B.f(x-1)是奇函数 C.f(x)-1是奇函数 D.f(x+1)是奇函数 考点二　函数的奇偶性的应用 角度1　求解析式(参数或值) 1.已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f(x)=x+1,则当x<0时,f(x)=　　.  2. （2022·全国乙卷，T16）若是奇函数，则 ， 角度2　奇偶性与单调性 3.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增. 若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为(　　) A. C. 4. 函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.则不等式>0的解集为　　　　.  5. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)满足g(x)+g(-x)=0,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则(　　) A.f(g(x))在[0,+∞)上单调递减 B.g(g(x))在(-∞,0]上单调递减 C.g(f(x))在[0,+∞)上单调递减 D.f(f(x))在(-∞,0]上单调递减 6. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三　函数的周期性及应用 1．已知定义域为的函数满足，且当时， ，则 . 2．已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 3.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为_________________. 4. (多选)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则(　　) A.f(2 026)=2 B.f(x)的值域为[-1,2] C.f(x)在[4,6]上单调递减 D.f(x)在[-6,6]上有8个零点 二、函数的对称性 考点一　自对称问题 1.已知函数f(x)=的图象关于直线x=2对称,则a等于 (　　) A.1 B.2 C.0 D.-2 2.已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3. (2023·全国乙卷,T21(2))已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f 关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由. 4. (2024·新高考Ⅰ卷，T18(2))已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3. 证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. 5.已知函数y=f(x)-1是奇函数,若曲线y=1+与曲线y=f(x)共有6个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则(xi+yi)=　　　　.  6.已知函数f(2x+1)是定义在R上的奇函数,且f(2x+1)的一个周期为2,则(　　) A.1为f(x)的周期 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(2 027)=0 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 考点二　互对称问题 1．下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三　双对称问题 1.已知函数f(x)的定义域为R,f为偶函数,f(2-x)+f(x)=0,f=-,则f=(　　) A. C.0 D.- 2.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称, g(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,则(　　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(2 026)=-5 C.g(2 026)=-1 D.f(k)=2 020 考点四 导函数对称性问题 1. （2022·新高考Ⅰ卷，T12）已知函数及其导函数的定义域均为， 记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数及其导函数的定义域均为，，且是偶函数，，，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．3 B． C．1 D． 考点五　对称性、周期性与单调性综合 1. (多选)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且图象关于(2,0)对称,则 (　　) A.f(0)=f(-2) B.f(x)的周期T=2 C.f(x)在(2,3)上单调递减 D.f(x)满足f(2 025)>f(2 026)>f(2 027) 2. (多选) 已知函数f(x)的定义域为R,f(2x+1)为奇函数,f(4-x)=f(x),f(0)=2,且f(x)在[0,2]上单调递减,则(　　) A.f(1)=0 B.f(8)=2 C.f(x)在[6,8]上单调递减 D.f(x)在[0,100]上有50个零点 三、抽象函数模型 常见的抽象函数模型: 原函数 抽象函数 f(x)=kx f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx+b f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)= f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)= f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(xy)=f(x)+f(y)或f()=f(x)-f(y)或f()=f(x) f(x)=xα f(xy)=f(x)f(y)或f()= 1.已知函数f(x),对任意x,y∈R,满足f(x+y)f(x-y)=f 2(x)-f 2(y),且f(1)=2,f(2)=0,则f(1)+f(2)+…+f(90)的值为(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 2. f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则+++…+= (　　) A.2 026 B.2 024 C.1 013 D.1 012 3. 已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,且f=f(x)-f(y),f(2)=1,如果x满足 f(x)-f≤2,则x的取值范围为　　　　.  4．若，，则（    ） A．55 B．190 C．210 D．231 5.（2022·新高考Ⅱ卷，T8）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 6.（多选）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)满足(　　) A.f(0)=0 B.y=f(x)为奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1} 7. (多选)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z},且f(x+y)=,f(1)=1,则(　　) A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为周期函数,且4为f(x)的周期 D.f(2 027)=-1 8.（多选）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 9．（2023·新高考Ⅰ卷，T11）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ） A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 2 学科网（北京）股份有限公司 $