3.3 函数的奇偶性与周期性、对称性及应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

3.3 函数的奇偶性与周期性、对称性及应用 1．函数的奇偶性 1.奇偶性的概念 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 2. 奇、偶函数的性质 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，即函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称； （2）若奇函数的定义域包含0，则； （3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； （4）奇函数：；偶函数：； （5）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反． 2．函数的周期性 1.周期性的概念 （1）周期函数：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有 ,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 2.函数周期性常用结论 对定义域内任一自变量： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则 3.函数图象的对称性 （1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称． （2）若对于R上的任意都有或，则的图象关于直线对称． （3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称． 1.对称性与周期性: （1）若的图象关于对称,且关于对称,则; （2）若的图象关于对称,且关于对称,则; （3）若的图象关于对称,且关于对称,则. 2.若函数的图象是由函数的y轴右侧图象翻折到y轴左侧，函数是偶函数； 3.二次函数 为偶函数； 4.三次函数为奇函数时; 1．（多选）下列函数中是奇函数，且值域为的有(    ) A. B. C. D. 2．设为奇函数，且当时，，则当时，(    ) A. B. C. D. 考点一　函数奇偶性的判断及应用 【方法储备】 1.函数奇偶性的判断 2.函数奇偶性的应用 【典例精讲】 例1.(多选) 关于的函数有以下命题，其中正确的是(    ) A. 对任意的，都不是奇函数 B. 不存在，使既是奇函数，又是偶函数 C. 存在，使是奇函数 D. 对任意的，都不是偶函数 例2.已知函数和分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，，则的解析式可以是(    ) A. B. C. D. 【名师点睛】　 函数的奇偶性从直观图象角度反映了其相应的对称性,充分体现了"数"与"形"之间的有机联系, 在解题过程中如果应用得好,利用其对称性，化繁为简，可以只研究函数轴一侧的图象,另一侧的性质由对称性得出. 奇偶性的其他结论： 1.若函数是奇函数，且，则； 2.若函数是奇函数，则函数的图象关于点(a，h)对称的结论的应用3.若函数为偶函数，则. 【靶向训练】 练1-1已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是(    ) A. B. C. D. 练1-2(多选)设函数，其中表示，，中的最小者．下列说法正确的有(    ) A. 函数为偶函数 B. 当时，有 C. 当时， D. 当时， 考点二　函数的周期性与对称性 【方法储备】 1.函数的周期性 （1）证明函数是周期函数：证明，且周期为，则 也是函数的周期； （2）求函数周期： （3）利用周期性求函数值或函数解析式：可以由函数局部的函数值(或解析式)得到整个定义域内的函数值(或相应的解析式). 2.周期性与对称性 （1）准确区分题干条件是得到周期性，还是得到对称性； （2）由对称条件得到函数周期. 【典例精讲】 例3.已知是定义在上的奇函数，，当时，，则(    ) A. B. 是的一个周期 C. 当时， D. 的解集为 【名师点睛】　 函数的周期性往往与其他性质综合考查，多以抽象函数为载体，解题时要能够利用定义法判断函数的周期性，结合其他性质得出函数周期，另外还要理解“类周期问题”与 “倍增函数”的问题. 1.类周期函数：若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 2.倍增函数：若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 类周期函数图象 倍增函数图象 【靶向训练】 练2-1已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则(    ) A. B. C. D. 练2-2定义在上的偶函数满足，且当时， 若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 考点三　抽象函数的性质及应用 【方法储备】 抽象函数是高中数学的难点，以抽象函数为载体考查函数奇偶性、周期性、对称性等性质为主的选择题，也是近几年考试的热点和重点. 常见的考查方向有： 1.函数性质的综合应用，如借助奇偶性判断对称区间上的单调性，利用对称性得到函数周期，进而求函数值，比较大小或解不等式等； 2.与导数结合考查，逆用导数四则运算构造函数，研究函数的单调性，再结合其他性质求解，难度较大. 【典例精讲】 例4.(多选) 函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是(    ) A. 是周期为的周期函数 B. 是周期为的周期函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 【名师点睛】 解决一些抽象问题时，可将抽象问题具体化，一方面可以通过赋值法，初步推断函数的相关性质；另一方面，利用一般到特殊的思想，将抽象函数类比为熟悉的具体函数，如结合题干条件“与都为奇函数”，将函数类比为函数，从一般到特殊，发现规律再回到一般，达到以简御繁，以实探虚的目的. 【靶向训练】 练3-1(多选)定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 练3-2已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 核心素养系列——函数性质的综合应用 函数性质的综合应用是高考的重点内容之一, 考查内容灵活多样, 涉及到求函数的值域、判断函数的奇偶性、单调性和周期性等等,而在试题中往往以抽象函数为题根,来考查考生对函数性质的理解和掌握,除了常规的推理外，也可考虑使用特值法,但要注意特值的科学性、合理性. 【方法储备】 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略： 1.函数单调性与奇偶性的综合： ①解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性； ②解类型的不等式，一般函数为奇函数，即可转化为，借助单调性解不等式，注意函数定义域； 2.周期性与奇偶性的综合： 此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）单调性、奇偶性与周期性的综合： 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． （4）函数的奇偶性与对称性相结合： 目的是利用奇偶性与对称性，将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． 【典例精讲】 例5. (多选) 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是(    ) A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 不是周期函数 D. 的最大值为 例6. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【名师点睛】 函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考查内容,其中在综合利用函数性质解题的同时，注重数形结合, 转化与化归思想的应用，必要时要构造新函数，转化为研究新函数的性质，解决问题. 【靶向训练】 练4-1(多选)已知函数，则下列结论正确的是(    ) A. 是偶函数 B. C. 是增函数 D. 的值域为 练4-2(多选) 已知定义域为的函数对任意的实数满足，且，并且当时，，则下列选项中正确的是(    ) A. 函数是奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数是以为周期的周期函数 D. 易错点1．判断函数奇偶性时忽视定义域 例7. 下列判断正确的是(    ) A. 函数是奇函数 B. 函数是偶函数 C. 函数是非奇非偶函数 D. 函数既是奇函数又是偶函数 答案解析 【教材改编】 1.【解析】对于，因为，所以是奇函数，且值域为，故A正确 对于，因为，所以为奇函数，但值域为，故B不正确 对于，因为，所以为奇函数，且值域为，故C正确 对于，因为，所以为奇函数，但是值域为，故D 不正确． 故选：． 2. 【解析】设，则， 为奇函数，．故选D． 【考点探究】 例1.【解析】由，得， 所以函数定义域为，关于原点对称， 若为奇函数， 则 ，即，即，解得：， 经检验，当时，满足，故当时，为奇函数； 若为偶函数， 则，，解得：， 经检验，当时，，故当时，为偶函数， 所以、D错误，、C正确． 故选：． 例2. 【解析】由题意得是奇函数，故C、选项错误； A.若， 则，，故A选项正确． B.若，则，，故B选项错误； 故选A． 练1-1. 【解析】，分别为定义在上的奇函数和偶函数， ，是偶函数， ，是偶函数， ，是奇函数， ，是偶函数． 故选C． 练1-2. 【解析】在同一直角坐标系中画出函数，，的图象如右图所示， 由图象可知：， 显然有，可得为偶函数；故A正确； 又当时，，的图象可看作的图象右移个单位得到，显然时，的图象在图象之上， 当时，有，故B正确； 又由图象可知：若时，，可令， 由和的图象可知：当时，在曲线的上方，当时，有， 即有成立，故C正确； 若，，，显然，故D不正确， 故选：． 例3. 【解析】根据题意，是定义在上的奇函数，则， 又由，则，变形可得， 则有，即是周期为的周期函数，B错误， 又由时，，则，A错误， 当时，，则有， 又由为奇函数，则， 则在区间上，， 当时，，则， 又由，则，C错误， 综合可得： 在区间上，若，必有， 又由是周期为的周期函数，则的解集为，D正确， 故选：．   练2-1. 【解析】， ， 是周期为的周期函数， 是定义在上的奇函数，且当时，， ，，，， ， 又是周期为的周期函数， ． 故选C． 练2-2. 【解析】，， ， ，即函数是以为周期的函数， 则作出函数的图象如图， 令， 因的图象及的图象均关于轴对称， 故只需分析它们在第一象限内的图象关系即可， 所以在第一象限内，将的图象绕坐标原点旋转可得 所以 故选C．  例4. 【解析】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称， 因此，即   ． 又因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称， 因此，即  ． 由可得，即，即， 故是周期为的周期函数，故A错误，B正确； 因为函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称， 又的周期为，故的图象关于点对称，为奇函数，故D正确； 同理，可得出关于点对称，关于对称，不为奇函数，故C错误； 故选BD． 练3-1. 【解析】构造函数， 因为， 所以，则， 所以为偶函数， 因为当时，恒成立， 所以当时，， 所以在上单调递增， 所以有，则， 即，即． 有，则， 即，即． 故选BC． 练3-2. 【解析】定义在上的奇函数，在上单调递减且， 则在上单调递减且， 设，则为奇函数，且， 先考虑的情况： 时，，，无解； 时，，，，无解； ，，所以，，成立； 时，，，成立； 综上所述； 当时，根据奇函数的对称性，要使不等式成立，则， 关于的不等式的解集为 故选B．   【素养提升】 例5. 【解析】 为上的奇函数，则， 对都有成立， 函数图象关于对称，且， 成立， 即函数是周期为的周期函数， 当时，， 当时，， 的部分图象如下 函数， 所以为偶函数，A正确； 当时，， 所以，； 当时，， ，且函数在上递减，B错误； 当时， 又因为为偶函数，的图象关于轴对称， 因此结合图象可知，不可能是周期函数，故C选项说法正确； 当时，，可知的最大值为，故D正确， 故选：． 例6. 【解析】函数的定义域为，且， 所以为偶函数，又当时，是增函数， 令， 任取，，且， 则， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上是增函数，即在上是增函数， 所以不等式对任意恒成立， 转化为，即， 所以和在上恒成立， 若在上恒成立，则，解得； 若在上恒成立，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是． 故选：． 练4-1. 【解析】函数，其图象如图， 由图可得，不是偶函数，也不是增函数，故AC错误， 的最小值为，无最大值，故值域为，D正确， ， ，即成立， 故选：． 练3-2. 【解析】令，可得， ，函数是奇函数，故A正确 设，则，， 当时，， ， ，函数在上单调递增，故 B正确 ， 可得， 函数是以为周期的周期函数，故C正确 ，D错误 故选ABC． 【易错点归纳】 例7. 【解析】、函数的定义域为，不关于原点对称，故非奇非偶； B、函数的定义域为，不关于原点对称，故非奇非偶； C、函数的定义域为， ，故非奇非偶； D、函数，图象关于轴对称，是偶函数，但不是奇函数． 故选：． 共15页/第14页 学科网（北京）股份有限公司 $$