第8讲　函数的奇偶性、周期性、对称性讲义-2026届高三数学一轮复习

第8讲　函数的奇偶性、周期性、对称性 知识梳理 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有　　　  　　　　　　,那么函数f(x)就叫作偶函数  　　　　　,那么函数f(x)就叫作奇函数  图象特征 关于　　　　对称  关于　　　　对称  2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.  (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　　　,那么这个　　　　　就叫作f(x)的最小正周期.  常用结论 1.奇(偶)函数定义的等价形式: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数; 2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数. 2.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量x,有如下结论: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|; (2)若f(x+a)=,则T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|. 3.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称; (2)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点对称. 考点01　函数的奇偶性 例1 (1)(多选题)下列函数为偶函数的是 (　 ) A.f(x)=2x B.f(x)=cos 2x C.f(x)=x2 D.f(x)=ln(2-x)+ln(2+x) (2)设函数f(x)=x|x|-2x,则f(x) (　 ) A.是偶函数,且在(1,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(-1,1)上单调递减 C.是偶函数,且在(-∞,-1)上单调递增 D.是奇函数,且在(-∞,-1)上单调递减 例2 (1)已知y=f(x)定义在R上的偶函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-ex+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= (　 ) A.x2-ex+1 B.x2+e-x+1 C.x2-e-x+1 D.-x2+e-x-1 (2)已知函数f(x)=是奇函数,则a= (　 ) A.0 B.1 C.-1 D.2 (3)已知函数f(x)=+1,且f(a)=-3,则f(-a)= (　 ) A.4 B.5 C.-4 D.-3 考点02　函数的周期性 例3 (1)已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x)=f(2-x),则f(2024)=(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且f(x+1)为偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2023)+f(2024)=(　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 考点03　函数的对称性 例4 (1)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x+1)的图象关于点(2,0)中心对称,则函数f(x)的图象的一条对称轴的方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x=2025 B.x=2027 C.x=2029 D.x=2030 (2)定义在R上的函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,且函数y=g(2x-1)+1为奇函数,则函数y=f(x)的图象的一个对称中心为 (　 ) A.(-1,-1) B.(-1,1) C.(3,1) D.(3,-1) (3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-2x)=f(1+2x),且f(2x+4)的图象关于点(-2,0)对称,当0≤x≤1时,f(x)=ex+m,则(i+1)f(i)=　　　　.  补充提升试题： 例1 (1)已知函数f(x)=,则不等式f(2x-1)<f(x-1)的解集为 (　 ) A.(-∞,0) B. C. D.(-∞,0)∪ (2)已知函数f(x)定义在R上奇函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(ex-1)+f[(1-e)x]<0解集为 (　 ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(0,e) D.(1,e) 例2 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),若f(-1)=2,则f(100)= (　 ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 例3 (1)已知函数f(x)=(ex+e-x)sin x-2在[-2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,则M+N= (　 ) A.-4 B.0 C.2 D.4 (2)已知y=f(x+1)+1为R上的奇函数,则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)= (　 ) A.6 B.5 C.-6 D.-5 例4 (1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且关于点(2,0)中心对称.设g(x)=(x-1)f(x),若g(23)=44,则g(i)= (　 ) A. 2020 B. 2022 C. 2024 D. 2026 (2)(多选题)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,对任意的x∈R,f(x)>0恒成立,且f(x+1)=f(x)f(x+2),若f(1)=2,则以下结论正确的为 (　 ) A.f(2)= B.f(3)=1 C.f(-1)=f(5) D.f=f 限时训练(时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1. 若函数f(x)=是奇函数,则g(-2)= (　 ) A.1 B.-1 C.- D. 2.已知f(x)为定义在R上奇函数,当x>0时,f(x)=-a.若f(x)在R上单调递减,则实数a取值范围为 (　 ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 3. 已知函数f(x)满足对任意x∈R,都有f(x)=f(x+3),f(x)+f(4-x)=4,则f(2024)= (　 ) A.1 B.2024 C.2 D.2025 4.已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(2)=1,则不等式f(x)+1<0的解集为 (　 ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-2,+∞) D.(-∞,-2) 5.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x) (　 ) A.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递增 B.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减 C.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递增 D.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递减 6.函数y=2x-1与y=21-x的图象 (　 ) A.关于y轴对称 B.关于直线x=1对称 C.关于直线x=-1对称 D.关于直线x=2对称 7.(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1,则 (　 ) A.f(x)的图象关于点(2,1)对称 B.f(4k-2)=2025 C.g(x+8)=g(x) D.f(x)是以8为周期的周期函数 8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0,则m的取值范围为　　　　.  9.已知函数f(x)为偶函数,且f(1-x)+f(3+x)=0,f(1)=-,则f(43)=　　　　.  10.已知函数f(x)=是定义在(-2,2)上的函数,且f(-x)=-f(x),f(1)=. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断f(x)在定义域(-2,2)上的单调性,并解不等式f(x-x2)+f(x)<0. 11.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x-1)为偶函数,且f(x)+f(2-x)=0,f(-2)=1,则f(2024)+f(2025)= (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且满足[f(x)]2-[f(y)]2=f(x+y)f(x-y),f(1)=1,f(3)=-1,则下列结论正确的是(　 ) A.f(2)=0 B.f(4)=2 C.f(x)是奇函数 D.f(x+4)=f(x) 13.已知函数f(x)=ln,则曲线y=f(x)的对称中心为　　　　.  14.已知f(x)=a-(a∈R)是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断并证明函数y=f(x)在R上的单调性; (3)若不等式f(x2)+f(1-mx)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 参考答案 1.B　[解析] 因为函数f(x)=是奇函数,所以g(-2)=-f(2)=-22+3=-1.故选B. 2.A　[解析] 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,若f(x)在R上单调递减,则-a=1-a≤0,即a≥1. 故选A. 3.C　[解析] 因为f(x)=f(x+3),所以函数f(x)的一个周期为3,将x=2代入f(x)+f(4-x)=4,得f(2)+f(2)=4,则f(2)=2,则f(2024)=f(3×674+2)=f(2)=2.故选C. 4.D　[解析] 因为f(x)是奇函数,且f(2)=1,所以f(-2)=-1,由f(x)+1<0,可得f(x)<-1.因为f(x)在R上单调递增,所以x<-2,故不等式f(x)+1<0的解集为(-∞,-2).故选D. 5.B　[解析] 因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)在[3,4]上单调递减.故选B. 6.B　[解析] 设f(x)=2x-1,g(x)=21-x,显然g(x)=2(2-x)-1=f(2-x),故y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称.故选B. 7.ACD　[解析] 对于A,由题意知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),所以f(2+x)-g(x)=1①,则f(2-x)+g(x)=1②,由①+②得f(x+2)+f(2-x)=2,则f(x)的图象关于点(2,1)对称,故A正确;对于B,由f(x+2)+f(2-x)=2,得f(x+4)+f(-x)=2,因为f(x)为偶函数,所以f(x+4)+f(x)=2,令x=2,得f(2)+f(6)=2,令x=10,得f(10)+f(14)=2,…,令x=8090,得f(8090)+f(8094)=2,所以f(2)+f(6)+f(10)+f(14)+…+f(8090)+f(8094)==2024,所以f(4k-2)=2024,故B错误;对于D,因为f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(2,1)对称,所以函数f(x)具有周期性,其周期为4×|0-2|=8,故D正确;对于C,由①知g(x)=f(2+x)-1,则g(x+8)=f(2+x+8)-1=f(2+x)-1=g(x),所以g(x+8)=g(x),故C正确.故选ACD. 8.(1,+∞)　[解析] 当x≥0时,f(x)=x2+2x,故f(x)在[0,+∞)上单调递增.又f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(x)在R上单调递增.由f(3+m)+f(3m-7)>0,可得f(3+m)>f(7-3m),因为f(x)在R上单调递增,所以3+m>7-3m,解得m>1.故m的取值范围为(1,+∞). 9.　[解析] 由函数f(x)为偶函数,f(1-x)+f(3+x)=0,得f(x+3)=-f(1-x)=-f(x-1),则f(x+4)=-f(x),则f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为8的周期函数,所以f(43)=f(3)=-f(-1)=-f(1)=. 10.解:(1)由x∈(-2,2),f(-x)=-f(x),得函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数, 则f(0)==0,解得b=0, 由f(1)=,可得=,解得a=2, 所以f(x)=,x∈(-2,2), 此时f(-x)==-=-f(x),即函数f(x)是奇函数, 所以f(x)=,x∈(-2,2). (2)由(1)知f(x)=,x∈(-2,2),任取x1,x2∈(-2,2),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=, 因为-2<x1<x2<2,所以x2-x1>0,x1x2-4<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增. 因为函数f(x)在(-2,2)上单调递增,且是奇函数, 所以由f(x-x2)+f(x)<0,得f(x)<-f(x-x2),得f(x)<f(x2-x), 所以-2<x<x2-x<2,解得-1<x<0, 所以原不等式的解集为(-1,0). 11.B　[解析] 因为定义域为R的函数f(x)满足f(x-1)为偶函数,所以f(x-1)=f(-x-1),则f(x)=f(-2-x),又f(x)+f(2-x)=0,所以f(-2-x)+f(2-x)=0,则f(-2+x)+f(2+x)=0,所以f(x)+f(x+4)=0,即f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以8为函数f(x)的一个周期.对于f(x+4)=-f(x),令x=-2,得f(2)=-f(-2)=-1,对于f(x)+f(2-x)=0,令x=2,得f(2)+f(0)=0,所以f(0)=1,对于f(x)+f(2-x)=0,令x=1,得f(1)=0,所以f(2024)+f(2025)=f(253×8)+f(253×8+1)=f(0)+f(1)=1.故选B. 12.ACD　[解析] 令x=2,y=1,得[f(2)]2-[f(1)]2=f(3)f(1),即[f(2)]2-1=-1,解得f(2)=0,故A正确;令x=y,得0=f(2x)f(0),因为f(2x)不恒为0,所以f(0)=0,令x=0,得-[f(y)]2=f(y)f(-y),即f(y)[f(y)+f(-y)]=0,因为f(y)不恒为0,所以f(y)+f(-y)=0,所以函数f(x)为奇函数,故C正确;令y=x-2,得[f(x)]2-[f(x-2)]2=f(2x-2)f(2)=0,即[f(x)+f(x-2)][f(x)-f(x-2)]=0,因为f(x)不恒为0,且f(3)≠f(1),所以f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(4)=f(0)=0,故B错误,D正确.故选ACD. 13.　[解析] 要使函数f(x)有意义,则解得x≠0且x≠,即函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪∪,由于定义域关于对称中心对称,所以函数f(x)的图象的对称中心的横坐标为=,又f=1-ln 2,所以函数f(x)的图象的对称中心为. 14.解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=a-1=0,解得a=1. 当a=1时,f(x)=1-=,因为f(-x)===-f(x), 所以f(x)是R上的奇函数,符合题意. 故a=1. (2)f(x)在R上单调递增,证明如下: 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-=, 因为x1<x2,所以0<<,所以->0,+1>0,+1>0, 所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上单调递增. (3)由f(x2)+f(1-mx)≥0,得f(x2)≥-f(1-mx)=f(mx-1), 因为f(x)在R上单调递增,所以x2≥mx-1对任意x∈[1,2]恒成立, 即m≤=x+对任意x∈[1,2]恒成立, 因为x+≥2=2,所以m≤2, 故实数m的取值范围为(-∞,2]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$