函数的奇偶性、周期性、对称性、抽象函数讲义-2026届高三数学一轮复习

函数的奇偶性、周期性、对称性、抽象函数（学案 参考答案） 一、函数的奇偶性、周期性 考点一　函数奇偶性的判断 1. 解： (1)由 得x2=3,解得x=±, 即函数f(x)的定义域为{-,}, 从而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 因为当x<0时,-x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知,对于定义域内的任意x, 总有f(-x)=-f(x)成立, 所以函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为R, f(-x)=log2[-x+]=log2(-x)=log2(+x)-1=-log2(+x)=-f(x), 故f(x)为奇函数. 2 【答案】ABD 【详解】因为函数，的定义域为R，且是奇函数， 是偶函数，所以，；对于A：令， 则，故为偶函数，故A正确；对于B： 令，则，故为偶函数，故B正确； 对于C：令，则，故为偶函数， 故C错误；对于D：令，则， 故为奇函数，故D正确；故选：ABD 3. 【答案】B 【详解】 对于B,因为f(x+y+1)=f(x)+f(y),令x=y=-1,可得f(-1)=f(-1)+f(-1), 所以f(-1)=0.令y=-2-x,则f(-1)=f(x)+f(-2-x)=0, 故f(x)的图象关于点(-1,0) 对称, 则f(x-1)的图象关于点(0,0)对称, 即f(x-1)是奇函数,故B正确; 对于C, 法一　令x=y=0,可得f(1)=f(0)+f(0),则f(0)=f(1),当f(1)≠2时,f(0)-1≠0, 此时f(x)-1不可能是奇函数,由于无法确定f(1)的值,故f(x)-1不一定是奇函数. 法二　取f(x)=-x-1,满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),但f(x)-1=-x-2,不是奇函数,故C错误; 对于A,D,取f(x)=x+1,满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),但f(x)+1=x+2与f(x+1)=x+2都不是奇函数,故错误. 考点二　函数的奇偶性的应用 1. 【答案】x-1 【详解】 当x<0时,-x>0. f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1. 2. 【答案】；． 【详解】若，则的定义域为，不关于原点对称 , 若奇函数的有意义，则且 且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得， 由得，，， 3. 【答案】D 【详解】 因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增, 所以f(x)在[-2,2]上单调递增,又f(2t-1)+f(t)<0,则f(2t-1)<-f(t),所以f(2t-1)<f(-t), 所以解得-≤t<, 故实数t的取值范围为. 4. 【答案】(-∞,-2)∪(2,+∞) 【详解】由于f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0, 又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0, 所以f(x)的大致图象如图所示.由f(-x)=-f(x)可得,==>0, 由于x在分母位置,所以x≠0,当x<0时,只需f(x)<0,由图象可知x<-2; 当x>0时,只需f(x)>0,由图象可知x>2;综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). 5. 【答案】C 【详解】 由题意知f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, g(x)为奇函数,在R上单调递减,且g(0)=0. 设0≤x1<x2,则g(x2)<g(x1)≤0,f(g(x2))>f(g(x1)),所以f(g(x))在[0,+∞)上单调递增,故A错误; 设x1<x2≤0,则g(x1)>g(x2)≥0,g(g(x1))<g(g(x2)),g(g(x))在(-∞,0]上单调递增,故B错误; 设0≤x1<x2,则f(x1)<f(x2),g(f(x1))>g(f(x2)),所以g(f(x))在[0,+∞)上单调递减,故C正确; 取f(x)=x2-1,则f(f(x))=(x2-1)2-1,f(f(0))=0,f(f(-1))=-1,此时f(f(x))在(-∞,0]上不单调递减,故D错. 6. 【答案】A 【详解】由，解得或，定义域为， 关于原点对称，又， 所以函数为偶函数，当时，， 求导得，令，求导得， 所以， 又，所以，所以在上单调递增， 由，得，所以， 解得，解得，解得或. 所以使不等式成立的的取值范围是. 考点三　函数的周期性及应用 1．【答案】 【详解】由已知可得，所以， 所以，即是函数的一个周期， 所以. 2．【答案】C 【详解】因为的周期是3，所以，令，则，所以的周期为6， 3. 【答案】f(x)=log2(5-x),x∈[2,4] 【详解】根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0], 则有4-x∈[0,2],又x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x), 又f(x)为周期为4的偶函数,所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4],则有f(x)=log2(5-x),x∈[2,4]. 4. 【答案】AB 【详解】f(2 026)=f(506×4+2)=f(2)=2,所以A正确; 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2], 由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确; 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又函数的周期是4,所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误; 令f(x)=2x-2=0,所以x=1,所以f(1)=f(-1)=0,由于函数的周期为4, 所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误. 二、函数的对称性 考点一　自对称问题 1. 【答案】B 【详解】函数f(x)= 的图象关于直线x=2对称,可得f(2+x)=f(2-x), 即为,即有|2+x-a|=|2-x-a|(*)恒成立, 可得2+x-a=2-x-a或2+x-a+2-x-a=0,解得x=0或a=2, 检验可得a=2时(*)式恒成立. 2．【答案】C 【详解】由对称中心性质可知函数满足， 即，整理可得， 即，解得. 3.解：假设存在a,b, 使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)ln , 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,所以g(x)=g(2b-x), 即(x+a)ln =(2b-x+a)ln =(x-2b-a)ln ,于是得 当a=,b=-时,g(x)=ln g(-1-x)=ln =ln =ln =ln=g(x), 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意. 故存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称,且a=,b=-. 4.证明　法一　f(2-x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3=-ln-ax-b(x-1)3+2a=-f(x)+2a, 故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称. 法二　∵f(x)=ln+ax+b(x-1)3,x∈(0,2), ∴f(x+1)=ln+ax+a+bx3,x∈(-1,1). 令g(x)=f(x+1)-a=ln+ax+bx3,x∈(-1,1),则g(-x)=ln-ax-bx3=-ln-ax-bx3=-g(x), ∴g(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,其图象关于坐标原点O对称. 又∵f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移a个单位长度得到, ∴曲线y=f(x)是中心对称图形. 5.【答案】6 【详解】∵y=f(x)-1为奇函数,∴y=f(x)的图象关于点(0,1)对称. 又y=1+的图象关于点(0,1)对称,∴x1+x2+…+x6=0,y1+y2+…+y6=3×2=6, ∴(xi+yi)=(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+…+y6)=6. 6. 【答案】C 【详解】对于A,因为f(2x+1)的一个周期为2, 所以f[2(x+2)+1]=f(2x+1),即f(2x+1+4)=f(2x+1), 设t=2x+1,则f(t+4)=f(t),所以f(x)的一个周期为4,故A错误. 对于B,因为f(2x+1)是定义在R上的奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1), 设m=2x,则f(-m+1)=-f(m+1),所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,故B错误. 对于C,因为f(x)的一个周期为4,所以f(2 027)=f(4×507-1)=f(-1)=-f(1), 又f(-2x+1)=-f(2x+1),令x=0,得f(1)=0,所以f(2 027)=0,故C正确. 对于D,f(x)的定义域为R,因为f(-1)=0,f(x)的一个周期为4,所以f(4k+3)=0(k∈Z), f(x)的图象关于点(1,0)对称,作出一个符合上述条件的图象,如图所示,此时f(x)的图象不关于直线x=2对称, 考点二　互对称问题 1．【答案】C 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为，设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得. 2．【答案】D 【详解】由已知设是上任意一点， 则关于的对称点为在的图象上， 所以， 所以， 设切点为 ，则，故切线为，由已知切线过，所以， 所以， 所以． 故． 3．【答案】A 【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点， 所以，即有两解，则有两解， 令，则， 所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，所以， 所以，的取值范围为. 考点三　双对称问题 1. 【答案】A 【详解】因为f为偶函数,所以f=f,所以f(-x+2)=f(x-1), 因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(x-1)+f(x)=0,即f(x)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x-2), 故f(x)=f(x-2),故函数f(x)的一个周期为2,故f=f=f. 由f(x-1)+f(x)=0,令x=得,f+f=0,因为f=-,所以f=,故f=f=. 2.【答案】BD 【详解】由题意知f(x)-4=g(2+x),g(2+x)=g(2-x), 所以f(x)-4=f(-x)-4,所以f(x)=f(-x),所以A错误; 由f(0)=4+g(2)=7,因为f(x)的图象关于点(1,1)中心对称, 所以f(1)=1,f(x+2)+f(-x)=2,所以f(x+4)+f(-x-2)=2, 又因为f(x+2)=f(-x-2),所以f(x+4)=f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, 所以f(2 026)=f(2)=2-f(0)=2-7=-5,所以B正确;由g(2 026)=f(2 024)-4=f(0)-4=3,所以C错误; 因为f(1)=1,f(2)=2-f(0)=2-7=-5,f(3)=f(-1)=f(1)=1,f(4)=f(0)=7, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,所以f(k)=506×4+f(1)+f(2)=2 020,所以D正确. 考点四 导函数对称性问题 1. 【答案】BC 【详解】对于，因为为偶函数，所以 即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，， 所以关于对称，由①求导，和，得， 所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以， 结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. 2．【答案】D 【详解】因为是偶函数，所以， 则，C为常数，即， 又，令得，即 ， 则，又，则， ，故，函数是周期为4的周期函数， 由，令，得， ，所以，，， ，则， 则， 故 ， 3．【答案】A 【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称， 且．由，，得， 所以函数的图象关于对称，． 根据图象变换的规律，由的图象关于点中心对称， 得的图象关于点中心对称，，则的周期为，，故． 考点五　对称性、周期性与单调性综合 1. 【答案】A C 【详解】　由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)图象的对称轴方程为x=1,所以f(0)=f(2), 又由f(1+x)=f(1-x),可知f(2+x)=f(-x). 因为函数f(x)的图象关于(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x)=-f(-x), 所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4, 所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),故A正确,B错误. 因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且周期为4,所以f(x)在(3,4]上单调递增, 又f(x)的图象关于(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增, 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,则函数f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确. 根据f(x)的周期为4,可得f(2 025)=f(1),f(2 026)=f(2),f(2 027)=f(3), 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)且f(3)=f(-1),即f(2 025)=f(1),f(2 026)=f(0), f(2 027)=f(-1), 由C选项的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(-1,0]上单调递增,确定的单调区间内均不包含x=±1, 若f(-1)=f(1)=0,则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立,故D错误. 2. 【答案】ABD 【详解】　对于A,因为f(2x+1)为奇函数,所以当x=0时,f(2×0+1)=0,即f(1)=0,故A正确;对于B,因为f(2x+1)为奇函数,所以f(-2x+1)+f(2x+1)=0,所以f(-x+1)+f(x+1)=0, 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,即f(2-x)=-f(x), 因为f(4-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以f(x+4)=f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,则f(8)=f(0)=2.故B正确; 对于C,因为f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)在[2,4]上单调递增, 所以f(x)在[6,8]上单调递增,故C错误; 对于D,f(x)在[0,4]上的零点为1和3,所以f(x)在[0,100]上有50个零点,故D正确. 三、抽象函数模型 1.【答案】C 【详解】　在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中,令x=2,y=1,得f(3)f(1)=f2(2)-f2(1), 因为f(1)=2,f(2)=0,所以f(3)=-2;令x=3,y=2,得f(5)f(1)=f2(3)-f2(2)=4,所以f(5)=2; 令x=4,y=1,得f(5)f(3)=f2(4)-f2(1),所以f(4)=0. 在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中,令y=2,得f(x+2)f(x-2)=f2(x),所以令x=5,得f(7)=-2, 令x=7,得f(9)=2. 在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中,令x=6,y=1,得f(7)f(5)=f2(6)-f2(1),所以f(6)=0; 令x=8,y=1,得f(9)f(7)=f2(8)-f2(1),所以f(8)=0. 依此类推,可得f(2k-1)=(-1)k+1·2,f(2k)=0(k∈N*),且f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=0(k∈N*). 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(90)=22×0+f(89)+f(90)=0+2+0=2. 2. 【答案】A 【详解】　由f(a+b)=f(a)·f(b),f(1)=2,令b=1可得f(a+1)=f(a)·f(1)=2f(a), 所以+++…+=+++…+=2×1 013=2 026. 3. 【答案】(3,4] 【详解】∵f=f(x)-f(y), ∴f(y)+f=f(x). 在上述等式中取x=4,y=2,则有f(2)+f(2)=f(4). 又∵f(2)=1,∴f(4)=2,∴f(x)-f≤2，可变形为f(x(x-3))≤f(4). 又∵f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,∴解得3<x≤4.，故x的取值范围是(3,4]. 4．【答案】B 【详解】令，则，可得； 令，则，可得； 令，则，即， 则， 可得，所以. 故选：B. 5.【答案】A 【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即， 所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． 6. 【答案】ABD 【详解】由题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y), 对于A,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,故A正确; 对于B,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以y=f(x)为奇函数,故B正确; 对于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2), 因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减,故C错误; 对于D,由f(x-1)+f(x2-1)>0,可得f(x-1)>-f(x2-1)=f(1-x2),由C知函数f(x)在R上单调递减, 所以x-1<1-x2,解得-2<x<1,所以f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1},故D正确. 7.【答案】ACD 【详解】　A中,令x=y=0,得f(0)=0,故A正确; B中,令y=-x,则f(0)==0,因此f(-x)=-f(x), 又f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z},所以f(x)为奇函数,故B错误; C中,令y=1,则f(x+1)===-1+,所以f(x+2)=-1+=-, 因此f(x+4)=-=f(x),所以f(x)为周期函数,且周期为4,故C正确; D中,f(2 027)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故D正确. 8. 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足，令，可得，即有，故A正确； 由，可得， ，即，可得，故B错误； 令，则，即， 则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即， 当时，，即， 设，即，即有， 则在R上递增，故C正确． 9.【答案】ABC 【详解】因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 2 学科网（北京）股份有限公司 $