精品解析：山东省德州市宁津县育新中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年上学期 八年级数学第一次素养检测 一、选择．（每题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 三角形不一定具有稳定性 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 三角形的重心一定在三角形内部 D. 直角三角形只有一条高 2. 如图，已知D为上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶2，这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副三角板按照如图方式摆放，点，，共线，，则的度数为( ) A. B. C. D. 8. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空（每题4分，共24分） 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 12. 如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是______． 13. 如图，在中，是角平分线，，垂足为，点在点的左侧，，，则的度数为___________． 14. 如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则______． 15. 一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 三、解答题（共86分) 17. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值；②判断的形状． 18. 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．求的长． 19. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，的面积等于5，，求的面积． 20. 如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： （1）的长； （2）的面积； （3）和的周长的差． 21. 明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形（AC=BC ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离． 22. 如图，，，，点在边上，与相交于点． （1）试说明：． （2）若，，，求与的周长之和． 23. 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 24. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期 八年级数学第一次素养检测 一、选择．（每题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 三角形不一定具有稳定性 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 三角形的重心一定在三角形内部 D. 直角三角形只有一条高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 结合三角形的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．三角形具有稳定性，原说法错误； B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误； C．重心是三角形三条中线的交点，中线始终在三角形内部，因此重心必在内部，原说法正确； D．直角三角形有三条高，两条直角边分别作为对方的高，以及斜边上的高，原说法错误； 故选C． 2. 如图，已知D为上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质．由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 故选：C． 3. 如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 4. 一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶2，这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用，设三角形的三角的度数是，，，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】设三角形的三角的度数是，，， 则， 解得， ，即这个三角形有一个角是， 这个三角形是直角三角形． 故选：C． 5. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 6. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 7. 将一副三角板按照如图方式摆放，点，，共线，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：是的一个外角， ， ，， ， ， 故选：B． 8. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． 【详解】解：由题意可知 在中 ∴(SSS) ∴ ∴就是的平分线 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 9. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 10. 如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，是网格型问题，本题构建全等三角形是关键． 证明≌，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 二、填空（每题4分，共24分） 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余是解题的关键．注意分类讨论. 分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，利用三角形外角的性质可求得顶角；当顶角为锐角时，利用直角三角形两锐角互余，可求得顶角为，即可得出答案． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 12. 如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是______． 【答案】60° 【解析】 【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，由折叠的性质得：， 根据三角形外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D， 则， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 13. 如图，在中，是角平分线，，垂足为，点在点的左侧，，，则的度数为___________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键．由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义可得，又由直角三角形中两锐角互余可得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积与中线的性质，解题的关键是利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质逐步推导． 根据三角形中线分面积相等的性质，依次求出、、、、，最后求出． 【详解】解：∵分别为，的中点， ， ， ， ， 故答案为：1． 15. 一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键； 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴，， ∴ ， ∴这个零件符合规定，是合格的． 故答案为：合格． 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（共86分) 17. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值；②判断的形状． 【答案】（1） （2）；等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）先根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项化简； （2）①根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数求出c的值；②通过比较三边长度判断三角形形状． 【小问1详解】 解：根据三角形的三边关系可知， 原式 ； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， 故， 又∵，且三角形的周长为偶数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 18. 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定，解题思路是找准条件判定全等，解题的关键是证明． 19. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，的面积等于5，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ． 在和中， ， ， ． （2）7.5． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，再根据SAS即可证明，即可解答． （2）根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的面积等于5， ． ，，， ． ， ， ， ． 20. 如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： （1）的长； （2）的面积； （3）和的周长的差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【小问1详解】 解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； 【小问2详解】 解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． 【小问3详解】 解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 21. 明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形（AC=BC ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离． 【答案】两堵木墙之间的距离为30cm． 【解析】 【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm， ∴DE=DC+CE=30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 22. 如图，，，，点在边上，与相交于点． （1）试说明：． （2）若，，，求与的周长之和． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）30 【解析】 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 23. 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】（1）， （2），；， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【小问1详解】 解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 24. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $