精品解析：四川达州市铁路中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

四川省达州市铁路中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 5. 如图，在△ABC中，F在BC上，AC＝CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC＝6，BC＝10，则ED的长为（　　） A. 4 B. 3 C. D. 2 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 7. 如图，在中，的平分线交于点E，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 2或3 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为_________． 10. 分解因式8a2－2=__________． 11. 已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m的值为 _____． 12. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是________． 13. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点________中心对称． 17. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 18. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点O，E． （1）连接，求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知为的三边，且满足，则为_____________________三角形． 20. 若，是方程两根，则的值为________． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 22. 如图，在ABC中，，，点P是ABC内一点，，且，那么_____． 23. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为________. 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆，售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 （1）任务1：根据素材，求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）任务2：根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，，点A的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至D，使，连接． （1）求直线的表达式； （2）若是直角三角形，求点C的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 26. 定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市铁路中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意， C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意， D、该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意； 故选D． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵矩形的对角线性质为互相平分且相等，菱形的对角线性质为互相垂直平分，且平分一组对角， ∴对比可得，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． 5. 如图，在△ABC中，F在BC上，AC＝CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC＝6，BC＝10，则ED的长为（　　） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及中位线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵AC＝CF，CD⊥AF， ∴D是AF是中点， ∵BC＝10，CF＝AC＝6， ∴BF＝10﹣6＝4， ∵E是AB中点， ∴ED是△ABF的中位线， ∴ED＝BF＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的中位线，涉及三角形的中位线以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长． 【详解】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO， 则AB==5， 故这个菱形的周长L=4AB=20． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般． 7. 如图，在中，的平分线交于点E，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，证明，则，根据即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 2或3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x－2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：， ∴， ∵关于x的方程有增根， ∴x－2=0， 解得：x＝2 ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据分式方程根的情况求参数的值．根据分式方程有增根求出x的值，并代入去分母后转化的整式方程中求m的值是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和，解答即可． 本题考查了正多边形的内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和， 故答案为：． 10. 分解因式8a2－2=__________． 【答案】2（2a＋1）（2a－1） 【解析】 【详解】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成，即原式可分解为：8a2－2 11. 已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】把x=m代入方程x2-x-2=0得m2-m=2． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴把x=m代入方程x2-x-2=0得m2-m=2， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组有解， ， 故答案为：． 13. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OA＝OB，又由∠AOB＝60°，得到△AOB是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝ AC，OB＝ BD＝4，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝4； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解 （2）， 【解析】 【分析】（1）先因式分解，然后分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验是原分式方程的增根，即原分式方程无解； （2）先求出判别式，再由求根公式，利用公式法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的增根，即原分式方程无解； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 即，． 【点睛】本题考查解分式方程、一元二次方程，涉及因式分解、分式方程得解法步骤、公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握分式方程、一元二次方程的解法步骤是解决问题的关键． 15. 先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． 先将原式运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个合适的数作为x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 要使原分式有意义，则且 符合题意的 当时，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点________中心对称． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移(作图)， 画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把向右平移4个单位长度得到； （2）分别找出关于原点的对称点，得到； （3）分别连结与，与，与，它们都相交于同一点，由此可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 观察图形可知，与关于点中心对称， 故答案为：． 17. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，则，得到，即可证明结论； （2）由（1）可知，得到，求出，由四边形是平行四边形得到，，即可得到四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 18. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点O，E． （1）连接，求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一及平行关系证明，得到，即可证得四边形为菱形； （2）先求出，根据等腰三角形三线合一得到与互相垂直且平分，再利用直角三角形三边勾股定理进行线段的逐步计算，最终得到长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， 由（1）可知，，四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知为的三边，且满足，则为_____________________三角形． 【答案】直角或等腰 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，先把所给等式因式分解得到，进而得到，据此利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或 即或 ∴为直角三角形或等腰三角形， 故答案为：直角或等腰． 20. 若，是方程两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得，，同时将转化为，可得结论．解题的关键是掌握若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵，是方程两根， ∴，， ∴， 即的值为． 故答案为：． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质证得，从而证得，由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 22. 如图，在ABC中，，，点P是ABC内一点，，且，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，把BCP绕C逆时针旋转90°得到ACQ，连接PQ，可以证明PQC、APQ为等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，把BCP绕C逆时针旋转90°得到ACQ，连接PQ， ∴PQC为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴∠AQP=∠CQP=∠CPQ=45°， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，同时也利用了旋转的性质，有一定的综合性． 23. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，所以再证明∠EPF=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=BE，由OD-OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值． 【详解】如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠A=∠D=∠DME=90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM=AD=AB， ∵BF=EG， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠EGM， ∵AB∥CD ∴∠MGE=∠BEG=∠AFB ∵∠ABF+∠AFB=90° ∴∠ABF+∠BEG=90° ∴∠EIF=90°， ∴BF⊥EG； ∵△EIB是直角三角形， ∴OI=BE， ∵AB=6，AE=2， ∴BE=6-2=4，OB=OE=2， ∵OD-OI≤DI， ∴当O、D、I共线时，DI有最小值， ∵IO=BE=2， ∴OD==2， ∴ID=2-2，即DI的最小值为2-2， 故答案为2-2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆，售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 （1）任务1：根据素材，求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）任务2：根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为万元 【解析】 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为,根据某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为, 根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得： ， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，，点A的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至D，使，连接． （1）求直线的表达式； （2）若是直角三角形，求点C的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，由中点公式知，可表示三角形三边长，分别以三边为斜边根据勾股定理列方程求解即可； （3）点是线段上一点，可得，，代入，得，可知直线过定点；分别求出直线过点时的值，因为直线与的边有两个交点，结合，即可求m的取值范围． 【小问1详解】 解：，点的坐标为， ∴为等腰直角三角形， ∴点， 将坐标代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：点是线段上一点，直线的表达式为， 故点， ， 由中点公式知， 作轴于，过作轴于，于， 由勾股定理得：， ， ， 若是直角三角形， 当为斜边时， 则， 解得：（舍去）或， 即点； 当为斜边时， 同理可得： 解得（舍去）或， 点； 当为斜边时， ， 整理得， ∴无实根； 综上，点或； 【小问3详解】 解：点是线段上一点，直线的表达式为， ，， ， ∴直线过定点， 是的中点， 点坐标为，即点坐标为， 当直线过点时，代入函数表达式得： ， 解得：（舍去）或， 直线过点时，代入函数解析式得： （舍）或（舍）， 直线过点时，代入函数解析式得： （舍）， ∵直线与的边有两个交点，且过定点，， ． 26. 定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）A； （2）解：四边形是“奇妙四边形”，理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； 或． 【解析】 【分析】根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； 根据正方形的性质和垂直的定义可得：，根据四边形内角和定理和邻补角定义可证，根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，等量代换可证，根据等角对等边可证，所以可证结论成立； 因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【小问1详解】 解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A； 【小问2详解】 略 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是理解“奇妙四边形”的定义，根据“奇妙四边形”找出边和角的关系，分情况求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $