第八章 第2节 两条直线的位置关系学案-2026届高三数学一轮复习

第2节　两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的位置关系 项目 斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1, y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0 (+≠0), A2x+B2y+C2=0 (+≠0) 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 平行 k1=k2,且b1≠b2 或 重合 k1=k2,且b1=b2 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0 (1)两条不重合直线平行的判定的一般结论: l1∥l2⇔k1=k2或l1,l2斜率都不存在. (2)判定两条直线垂直的一般结论: l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零. 2.两条直线的交点坐标 若直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解. (1)l1与l2相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解. (2)l1与l2平行⇔方程组无解. (3)l1与l2重合⇔方程组有无数个解. 3.三种距离 三种 距离 条件 公式 两点间 的距离 A(x1,y1),B(x2,y2) |AB|= 点到直 线的距离 P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d d= 两条平 行直线 间的距离 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0 (A2+B2≠0)间的距离为d d= (1)当两点A(x1,y1),B(x2,y2)中x1=x2时,|AB|=|y1-y2|;y1=y2时,|AB|=|x1-x2|. (2)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,点P(x0,y0)到直线y=b的距离d=|y0-b|. 1.直线系方程. (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 2.五种常用对称关系. (1)点(x,y)关于坐标原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(　　) (2)点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b.(　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(　　) (4)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(　　) 【答案】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.(人教A版选择性必修第一册P57例5)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A为直角顶点的直角三角形 D.以B为直角顶点的直角三角形 【答案】 D 【解析】 直线AB的斜率kAB==-,直线BC的斜率kBC==2,由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形. 故选D. 3.(人教A版选择性必修第一册P57练习T2改编)若直线3x-2y-1=0与直线3x-ay+6=0平行,则a=(　　) A.-2 B.-1 C. D.2 【答案】 D 【解析】 由题意得3×(-a)=3×(-2),则a=2,经检验两条直线不重合.故选D. 4.(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　) A. B.2- C.-1 D.+1 【答案】 C 【解析】 由题意得=1,即|a+1|=,又a>0,所以a=-1.故选C. 5.(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为　　　　.  【答案】 -9 【解析】 由得所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0,即m×1+2×2+5=0,所以m=-9. 考点一　两条直线的平行与垂直 [例1] 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断a为何值时,l1与l2平行; (2)当l1⊥l2时,求a的值. 【解】 (1)显然a≠0,若l1∥l2,则=≠⇔⇒可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2. (2)由l1⊥l2得a+2(a-1)=0,可得a=. 判断两直线位置关系的注意点 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时,可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. [针对训练] (多选题)已知两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0,下列结论正确的是(　　) A.若l1∥l2,则a=6 B.若l1∥l2,则a=3 C.若l1⊥l2,则a= D.若a≠6,则直线l1,l2一定相交 【答案】 AD 【解析】 两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0,它们不重合,若l1∥l2,则4a=3×8,得a=6,故A选项正确,B选项不正确;若l1⊥l2,则3a+4×8=0,得a=-,故C选项不正确;由A选项知,当a=6时,l1∥l2,所以若a≠6,则直线l1,l2一定相交,故D选项正确. 故选AD. 考点二　距离问题 [例2] (1)若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则2m+n等于(　　) A.0 B.1 C.-2 D.-1 (2)若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为　　　. [溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P80习题2.3 T14. 【答案】 (1)A　(2)x+3y-5=0或x=-1 【解析】 (1)因为l1∥l2, 所以1×n=2×(-2),1×(-6)≠2m, 解得n=-4,m≠-3, 所以l2:x-2y-3=0. 又l1,l2之间距离是, 所以=, 解得m=2或m=-8(舍去), 所以2m+n=0.故选A. (2)当AB∥l时,有k=kAB=-, 直线l的方程为y-2=-(x+1), 即x+3y-5=0. 当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4), 所以直线l的方程为x=-1. 故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1. 两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离:可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离:①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行直线方程中x,y的系数化为相同的形式). [针对训练] (1)(2025·新疆昌吉模拟)两平行直线l1:x-2y-=0,l2:4y-2x-3=0之间的距离为(　　) A. B.3 C. D.2 (2)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a=(　　) A.-或- B.- C.- D.-或- 【答案】 (1)A　(2)D 【解析】 (1)直线l1:x-2y-=0可化为2x-4y-2=0,直线l2:4y-2x-3=0可化为2x-4y+3=0,所以两平行直线之间的距离为=.故选A. (2)由题意得=,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得a=-或a=-.故选D. 考点三　对称问题 角度一　中心对称 [例3] (1)直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是　　　　　　　　.  (2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为　　　　　　　　.  【答案】 (1)x-2y+11=0　(2)x+4y-4=0 【解析】 (1)设所求直线上任意一点的坐标为(x,y),则其关于点M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上, 所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0. (2)设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,因为点P(0,1)也在直线l上,所以利用两点式可得直线l的方程为=,即x+4y-4=0. 中心对称问题的类型及解题策略 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解. (2)直线关于点对称:①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标,再由两点式得到所求直线方程;②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 角度二　轴对称 [例4] (1)(2025·湖南长沙模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射 光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　.  (2)已知点A(4,-1),B(8,2)和直线l:x-y-1=0,动点P(x,y)在直线l上,则|PA|+|PB|的最小值为 　　 　　.  【答案】 (1)6x-y-6=0　(2) 【解析】 (1)设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′, 且解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0. (2)设点A关于直线l的对称点为A1,P0为A1B与直线l的交点,如图, 所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|. 所以|PA|+|PB|=|PA1|+|PB|≥|A1B|.即当P点运动到P0点时,|PA|+|PB|取得最小值|A1B|. 设A1(x1,y1), 则解得即A1(0,3).所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|==. 轴对称问题的处理方法 (1)点关于直线对称. 若P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则有其中B≠0,x1≠x2. (2)直线关于直线对称. ①若直线与对称轴平行,则可在直线上取一点,求出该点关于对称轴的对称点,然后用直线的点斜式方程求解; ②若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后取直线上一点,求该点关于对称轴的对称点,最后由直线的两点式方程求解. [针对训练] 1.(角度一)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点(　　) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 【答案】 B 【解析】 直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2恒过定点(0,2).故选B. 2.(角度二)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 【答案】 A 【解析】 设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0), 由得因为点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上, 所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直线方程是x-2y+3=0.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节　两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的位置关系 项目 斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1, y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0 (+≠0), A2x+B2y+C2=0 (+≠0) 相交 k1≠k2 垂直 k1k2= 平行 k1=k2,且 或 重合 k1=k2,且 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0 (1)两条不重合直线平行的判定的一般结论: l1∥l2⇔k1=k2或l1,l2斜率都不存在. (2)判定两条直线垂直的一般结论: l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零. 2.两条直线的交点坐标 若直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解. (1)l1与l2相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解. (2)l1与l2平行⇔方程组无解. (3)l1与l2重合⇔方程组有无数个解. 3.三种距离 三种 距离 条件 公式 两点间 的距离 A(x1,y1),B(x2,y2) |AB|= 点到直 线的距离 P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d d= 两条平 行直线 间的距离 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0 (A2+B2≠0)间的距离为d d= (1)当两点A(x1,y1),B(x2,y2)中x1=x2时,|AB|=|y1-y2|;y1=y2时,|AB|=|x1-x2|. (2)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,点P(x0,y0)到直线y=b的距离d=|y0-b|. 1.直线系方程. (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 2.五种常用对称关系. (1)点(x,y)关于坐标原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(　　) (2)点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b.(　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(　　) (4)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(　　) 2.(人教A版选择性必修第一册P57例5)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A为直角顶点的直角三角形 D.以B为直角顶点的直角三角形 3.(人教A版选择性必修第一册P57练习T2改编)若直线3x-2y-1=0与直线3x-ay+6=0平行,则a=(　　) A.-2 B.-1 C. D.2 4.(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　) A. B.2- C.-1 D.+1 5.(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为 .  考点一　两条直线的平行与垂直 [例1] 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断a为何值时,l1与l2平行; (2)当l1⊥l2时,求a的值. 判断两直线位置关系的注意点 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时,可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. [针对训练] (多选题)已知两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0,下列结论正确的是(　　) A.若l1∥l2,则a=6 B.若l1∥l2,则a=3 C.若l1⊥l2,则a= D.若a≠6,则直线l1,l2一定相交 考点二　距离问题 [例2] (1)若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则2m+n等于(　　) A.0 B.1 C.-2 D.-1 (2)若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为 . [溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P80习题2.3 T14. 两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离:可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离:①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行直线方程中x,y的系数化为相同的形式). [针对训练] (1)(2025·新疆昌吉模拟)两平行直线l1:x-2y-=0,l2:4y-2x-3=0之间的距离为(　　) A. B.3 C. D.2 (2)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a=(　　) A.-或- B.- C.- D.-或- 考点三　对称问题 角度一　中心对称 [例3] (1)直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是 .  (2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 .  中心对称问题的类型及解题策略 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解. (2)直线关于点对称:①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标,再由两点式得到所求直线方程;②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 角度二　轴对称 [例4] (1)(2025·湖南长沙模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射 光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 .  (2)已知点A(4,-1),B(8,2)和直线l:x-y-1=0,动点P(x,y)在直线l上,则|PA|+|PB|的最小值为 .  轴对称问题的处理方法 (1)点关于直线对称. 若P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则有其中B≠0,x1≠x2. (2)直线关于直线对称. ①若直线与对称轴平行,则可在直线上取一点,求出该点关于对称轴的对称点,然后用直线的点斜式方程求解; ②若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后取直线上一点,求该点关于对称轴的对称点,最后由直线的两点式方程求解. [针对训练] 1.(角度一)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点(　　) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 2.(角度二)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 学科网（北京）股份有限公司 $