2027届高三数学一轮复习第十讲 函数的奇偶性与对称性

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数奇偶性与对称性专题，将奇偶性定义、图象特点、重要结论及对称性关系等核心考点按“定义-性质-应用”逻辑构建知识网络，通过知识点清单和题型分类引导学生自主梳理内在联系，形成系统性认知框架。 亮点在于分层题型设计和自主诊断支持，如8类必考题型从基础判定到抽象函数综合，培养学生数学思维和逻辑推理能力。每个题型配典型例题，学生可通过练习定位薄弱点，教师依据学情精准指导，助力个性化复习，提升自主备考实效。

2027届高三数学一轮复习 第十讲 函数的奇偶性与对称性 【学习目标】1.会用定义判断函数的奇偶性； 2.能够应用函数的奇偶性及对称性解决相关问题． 【学习重点】应用函数的奇偶性及对称性解决相关问题 【学习难点】应用函数的奇偶性及对称性解决相关问题． 【学习过程】 必掌握知识点 一、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 二、奇偶性重要结论 （1）判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． (2)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． (3)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (4)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. (5)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (6)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (7)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (8)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (9)常见奇偶性函数模型： 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数． ③函数类型的一切函数．④常数函数 三 、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 必考题型全归纳 题型一 函数奇偶性判定与基础性质 1．下列函数中,既是奇函数又存在零点的是 A． B． C． D． 【答案】D 分析：利用奇函数的定义判断各函数是琐是奇函数，再通过解方程或画出函数的图象可判断各函数是否零点. 详解：是奇函数，但没有零点；不是奇函数；是奇函数，但没有零点；是奇函数，也有零点. 故选D. 点睛：解决本题首先要掌握函数奇偶性的定义，即满足恒成立，则为奇函数，满足恒成立，则为偶函数，判断奇偶性一般用定义判断，有时也可从图象是否关于原点或轴对称进行判断；其次要掌握零点的定义，即解方程以确定零点；第三本题一般要对每一个函数进行判断才可得出结论. 2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，可得，由此得到的解析式，再根据奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性，从而得出正确选项. 【详解】由于f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，所以b＝0，所以g(x)＝2ax3＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax3＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax3＋9x是奇函数．故选A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，利用函数的奇偶性求得解析式系数的值，再判断另一个函数的奇偶性.属于基础题. 3．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（    ） A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据函数是定义在上的偶函数，可求出的值，再根据二次函数的对称性，即可求出的最大值. 【详解】 函数是定义在上的偶函数，所以，且所以，所以所以.故选：B. 4．下列函数中，既是单调增函数，又是奇函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 分析：先根据单调性排除，C项；再根据奇偶性排除项； 详解： ，， ∵不恒正也不恒负，说明不是单调函数，排除项； 单调递减，排除C项； ，， 是偶函数，排除项；，， ，符合要求．故选． 点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断与是否具有等量关系． 5．若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于 A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．以上均不对 【答案】B 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以则 所以是偶函数．故选B 6．若函数为偶函数，则_____． 【答案】1 【详解】由函数为偶函数函数为奇函数，． 【点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取． 题型二 奇偶性 + 单调性综合解不等式、恒成立求参 7．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 分析：、、时解析式以及值域，然后作出的图象，结合图象确定出符合条件的的范围，再根据与所求的取值范围的关系求解出的最大值. 【详解】当时，，此时 当时，，此时 当时，，此时， 结合为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：    由图象可知，若要恒成立，只需要分析内的图象即可， 因为图象的对称性，不妨考虑时的情况， 当时，，所以， 当时，，所以或， 结合图象，若成立，则有，所以， 又因为若对任意，都有， 则有，所以，所以，所以的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质. 8．设是定义在上的偶函数，当时，，若对任意的，均有，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数的性质可得函数的解析式，利用分类讨论思想，根据分段函数的取值，化简不等式，可得答案. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，则， 当时，，可得，所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意，对任意的，均有， 当时，由，则，即，则，不等式显然不恒成立；当，即时，由，则， 即，则，不等式显然恒成立； 当，即时， ①当时，，由，则， 即，则，不等式显然恒成立； ②当且时，由，则， 即，则，而，要使恒成立， 则，解得，则； ③当且时，由，则， 即，则，不等式显然不恒成立.综上所述，.故选：B 9．已知函数为奇函数，当时，，函数的导函数为．且，则不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 分析：由导数的知识，进而得当时，，并解得，再根据奇函数性质得不等式的解集为. 【详解】：因为，所以． 因为，所以．所以， 因为，当时，，所以，当时，，由，可得． 因为为奇函数，所以当时，由，可得． 故不等式的解集为．故选：A 题型三 ：函数对称性、周期性互推 双对称推导周期：两条对称轴 、两个对称中心、一条轴 + 一个中心可得求周期 10．已知函数对任意的实数，满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以f(x)关于直线对称，因为当时， f(x)为增函数，所以当时，f(x)为减函数，因为, 所以. 11．定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．的图象在处的切线方程为 D．和的图象所有交点的横坐标之和为10 【答案】C 【分析】根据函数的对称性、周期性以及切线方程的求解和函数零点的求解，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，则，故可得， 故关于对称，A正确； 对B：因为，又为偶函数，故， 则，即，则的周期为； ，故B正确； 对C：当时，，又为偶函数，故当时，； 当，，则； 即当时，，，又，则， 故在处的切线方程为:，即，故错误； 对：因为都关于对称，故其交点也关于对称； 两函数在同一坐标系下，且当时的图象如下所示： 由图可知，两函数在时有5个交点，也即两函数图象共有5对交点， 又每一对交点的横坐标之和为，故所有交点的横坐标之和为10，故正确.故选：. 12．通过对函数奇偶性的学习，我们可分别做两个推广：由偶函数知“函数的图象关于y轴对称”的充要条件是“，”． 推广1：“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“，”； 由奇函数知“函数的图象关于原点对称”的充要条件是“，”． 推广2：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“，”． 已知函数． (1)求的定义域及单调区间． (2)判断的图象是否具有对称性．若有，请写出它关于什么对称，并参考上述推广加以证明；若没有，说明理由． (3)求不等式的解集． 【答案】(1)定义域为，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)的图象具有对称性，且的图象关于直线对称，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的性质列不等式组可得函数定义域，再根据复合函数的单调性得单调区间即可； （2）根据推广性质即可得函数具有对称性，并且可得函数的对称轴； （3）根据函数的对称性与单调性列不等式即可得解集. 【详解】（1）函数的定义域满足，解得， 所以的定义域为．由题意得， 由于函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又函数为增函数，由复合函数的单调性可得，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的图象具有对称性，且的图象关于直线对称． 因为，根据推广可知的图象关于直线对称． （3）由（1）和（2）可得，解得， 故不等式的解集为． 13．已知定义在R上的函数满足：对任意实数，均有；函数的图象关于点对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可判断关于原点对称且为增函数，所以条件等价于，所组成的图形是以为圆心为半径的圆的上半部分，数形结合研究和原点连线的斜率即可. 【详解】函数的图象关于点对称，则关于原点对称， 对任意实数，均有，则为增函数， 故等价于， 所以化简得，所组成的图形是以为圆心为半径的圆的上半部分.画出图像如下图所示， 由图可知，为圆的切线，其中， 设，利用圆心到直线的距离等于半径有，解得，故取值范围为.故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查函数的单调性和函数图像平移的知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划中斜率型目标函数的求解方法.函数向左平移一个单位后得到的图像，是关于原点对称的. 化为圆的下半部分，利用数形结合的数学思想方法来解题是本题的突破口. 14．已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增，由，得，由，得， 即，则，解得，所以原不等式的解集为.故选：C 题型四：函数图像对称辨析（点对称、直线对称） 判断单个函数自身对称、两个函数之间的对称直线；区分自对称与互对称 15．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称 B．函数的图象关于某直线对称 C．函数的图象关于某点对称 D．函数的图象关于某点对称 【答案】BCD 【分析】根据对称性的概念判断． 【详解】对A，令，则， 所以函数的图象关于点对称，故A不正确； 对B，令，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对C，因为， 所以的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，而函数是奇函数，图象关于原点对称， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位再向上平移3个单位得到，设，则，即是奇函数，图象关于原点对称， 因此函数的图象关于点对称，故D正确．故选：BCD． 16．给出下列说法： ①集合与集合是相等集合； ②不存在实数,使为奇函数； ③若，且f(1)=2,则； ④对于函数 在同一直角坐标系中，若，则函数的图象关于直线对称； ⑤对于函数 在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；其中正确说法是____________. 【答案】①②③ 【分析】利用集合与集合都是奇数集判断①；由的图象是轴对称图形判断②；推导出，求出可判断③；令，有,则可判断④；根据函数与的图象可以由与的图象向右移了一个单位而得到判断⑤. 【详解】在①中，集合与集合 都是奇数集，是相等集合，故①正确. 在②中，由二次函数的图象与性质可知的图象是轴对称图形，所以不存在实数,使为奇函数，故②正确. 在③中，若，且，令可得，，故③正确. 在④中，对于函数 在同一直角坐标系中，若，令，有,则函数的图象关于直线对称，故④错误. 在⑤中，对于函数 ，在同一直角坐标系中，与的图象关于直线对称，函数与的图象可以由与的图象分别向右移了一个单位而得到，从而可得函数与的图象关于直线对称，故⑤错误，故答案为①②③. 【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查集合相等、函数的奇偶性、函数图象的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 题型五 抽象函数综合（赋值求值、周期、对称） 利用抽象关系式赋值求特殊函数值、推导周期、对称性，求解不等式 17．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【答案】B 分析：根据偶函数的性质，结合可求得函数的解析式，再利用即可求值. 【详解】由题意知，函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得，则， 因为， 所以 故选：B. 【点睛】本题的关键在于根据所求和式的特征，通过计算得，即可求值. 18．（多选）已知函数的定义域为，且，对任意，函数满足，则（   ） A．是的极值点 B．的周期为4 C． D． 【答案】BC 分析：由题意可得的图象关于直线对称，且关于点对称，可得周期可判断AB，进而计算可判断CD. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称， 又①， 令替换x，得②， 由①＋②得，所以的图象关于点对称，则不是的极值点，A错误；所以，， 所以，即， 又，所以，所以的周期，B正确； 在处有定义，则必有，所以 ，结合已知得，故，C正确； 在中，令，得，又， 所以， 所以，D错误．故选：BC. 题型六：反函数的定义及应用 反函数存在条件：函数在定义域上一一对应（单调函数必有反函数） 反函数求解步骤、定义域值域互换、单调性一致 互为反函数图像关于y=x对称 19．在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． (1)试判断是否有反函数（直接写出答案）； (2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； (3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 【答案】(1)无反函数，有反函数 (2)的定义域为，值域为，在和上单调递减 (3)19 【分析】（1）分别求出的表达式，根据反函数的定义，即可判断； （2）求出的表达式，根据表达式可直接求得的定义域，根据反函数的值域为原函数的定义域，可求得的值域，再根据的表达式判断其单调性； （3）由一元二次方程根与系数的关系，求得和的值，分别化简和，可得到，则与分别是与和的两个交点的横坐标，根据反函数的性质，求得的值，从而可得到的值. 【详解】（1）设，则，此时一个有两个与之对应，不唯一，所以无反函数；设，则，此时一个有唯一一个与之对应，所以有反函数. （2）设，所以，即，所以的定义域为， 因为的定义域为，所以的值域为， 因为，所以在和上单调递减. （3）方程化为，所以, 因为，所以，即， 所以与分别是与和的两个交点的横坐标， 因为与互为反函数，关于直线对称， 所以和的中点为，所以，即，所以，所以，所以. 题型七：分段奇偶函数解析式求解 20．已知函数和都是定义在上的奇函数，，当时， (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)，都有，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求函数的解析式. （2）利用函数单调性的定义证明函数在给定区间内的单调性. （3）先利用函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再分离变量，利用函数的单调性求函数的最值即可. 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，即，所以， 此时，所以为奇函数.故为所求. 因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，，设，即时，则有， 又是定义在上的奇函数，所以，即， 则. （2）任取，，，由， ，，，，， 则 ， ，函数在上单调递减. （3），都有， 因为是奇函数，即，即， 利用分段函数及二次函数的性质知为上的增函数， 所以，有恒成立， 即，有恒成立，即 令，显然在上单调递减， 所以，所以，故的取值范围为. 题型八：含参分段 、 绝对值函数不等式、恒成立 给定参数解不等式；全体实数上不等式恒成立求参数范围 21．已知 （1）若，求不等式的解集； （2）对有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或}；（2）或. 分析：（1）分段讨论：当时,当时,当时,综上所述即得. （2） 由题意可得，根据即得. 解析：（1）因为,所以有 当时,有,所以 当时,有 . 当时,有,所以 综上所述,原不等式的解集为或} （2）由题意可得又 ,当且仅当时取等号 所以有即的取值范围时或 考点：1、绝对值不等式的解法；2、恒成立问题． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十讲 函数的奇偶性与对称性 【学习目标】1.会用定义判断函数的奇偶性； 2.能够应用函数的奇偶性及对称性解决相关问题． 【学习重点】应用函数的奇偶性及对称性解决相关问题 【学习难点】应用函数的奇偶性及对称性解决相关问题． 【学习过程】 必掌握知识点 一、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 二、奇偶性重要结论 （1）判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． (2)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． (3)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (4)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. (5)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (6)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (7)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (8)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (9)常见奇偶性函数模型： 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数． ③函数类型的一切函数．④常数函数 三 、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 必考题型全归纳 题型一 函数奇偶性判定与基础性质 1．下列函数中,既是奇函数又存在零点的是 A． B． C． D． 2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 3．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（    ） A．10 B．5 C．3 D．2 4．下列函数中，既是单调增函数，又是奇函数的是（    ）． A． B． C． D． 5．若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于 A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．以上均不对 6．若函数为偶函数，则_____． 题型二 奇偶性 + 单调性综合解不等式、恒成立求参 7．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 8．设是定义在上的偶函数，当时，，若对任意的，均有，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 9．已知函数为奇函数，当时，，函数的导函数为．且，则不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 题型三 ：函数对称性、周期性互推 双对称推导周期：两条对称轴 、两个对称中心、一条轴 + 一个中心可得求周期 10．已知函数对任意的实数，满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 11．定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．的图象在处的切线方程为 D．和的图象所有交点的横坐标之和为10 12．通过对函数奇偶性的学习，我们可分别做两个推广：由偶函数知“函数的图象关于y轴对称”的充要条件是“，”． 推广1：“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“，”； 由奇函数知“函数的图象关于原点对称”的充要条件是“，”． 推广2：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“，”． 已知函数． (1)求的定义域及单调区间． (2)判断的图象是否具有对称性．若有，请写出它关于什么对称，并参考上述推广加以证明；若没有，说明理由． (3)求不等式的解集． 13．已知定义在R上的函数满足：对任意实数，均有；函数的图象关于点对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型四：函数图像对称辨析（点对称、直线对称） 判断单个函数自身对称、两个函数之间的对称直线；区分自对称与互对称 15．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称 B．函数的图象关于某直线对称 C．函数的图象关于某点对称 D．函数的图象关于某点对称 16．给出下列说法： ①集合与集合是相等集合； ②不存在实数,使为奇函数； ③若，且f(1)=2,则； ④对于函数 在同一直角坐标系中，若，则函数的图象关于直线对称； ⑤对于函数 在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；其中正确说法是____________. 题型五 抽象函数综合（赋值求值、周期、对称） 利用抽象关系式赋值求特殊函数值、推导周期、对称性，求解不等式 17．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 18．（多选）已知函数的定义域为，且，对任意，函数满足，则（   ） A．是的极值点 B．的周期为4 C． D． 题型六：反函数的定义及应用 反函数存在条件：函数在定义域上一一对应（单调函数必有反函数） 反函数求解步骤、定义域值域互换、单调性一致 互为反函数图像关于y=x对称 19．在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． (1)试判断是否有反函数（直接写出答案）； (2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； (3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 题型七：分段奇偶函数解析式求解 20．已知函数和都是定义在上的奇函数，，当时， (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)，都有，求的取值范围. 题型八：含参分段 、 绝对值函数不等式、恒成立 给定参数解不等式；全体实数上不等式恒成立求参数范围 21．已知 （1）若，求不等式的解集； （2）对有恒成立，求实数的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $