第1章 集合与常用逻辑用语 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版）

第一章　单元质量测评 时间：120分钟　　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴集合B中有6个元素．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 3．若集合P，Q满足P＝{x∈Z|x＜3}，Q⊆N，则P∩Q不可能是(　　) A．{0，1，2} B．{1，2} C．{－1} D．∅ 解析：依题意，知P∩Q中的元素可能是0，1，2，也可能没有元素，但P∩Q不可能是{－1}．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 解析：根据题意，得A＝{y|y≤1}，B＝{x|x≥a}，因为A∪B＝R，画出数轴可知a≤1，即实数a的最大值是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 5．设p：|x|≥1，q：2x－4>0，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 7．已知p：－4＜x－a＜4，q：2<x<3，若綈p是綈q 的充分条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤6} B．{a|a≤－1} C．{a|a≥6} D．{a|a≤－1，或a≥6} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 8．集合A，B是实数集R的子集，定义A－B＝{x|x∈A，x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)叫做集合的对称差．若集合A＝{y|y＝(x－1)2＋1，0≤x≤3}，B＝{y|y＝x2＋1，1≤x≤3}，则下列说法正确的是(　　) A．A＝{y|－1≤y≤5} B．A－B＝{y|1<y≤2} C．B－A＝{y|5<y≤10} D．A*B＝{y|1<y≤2，或5<y≤10} 解析：A＝{y|y＝(x－1)2＋1，0≤x≤3}＝{y|1≤y≤5}，故A错误；B＝{y|y＝x2＋1，1≤x≤3}＝{y|2≤y≤10}，A－B＝{y|1≤y<2}，故B错误；B－A＝{y|5<y≤10}，故C正确；A*B＝(A－B)∪(B－A)＝{y|1≤y<2，或5<y≤10}，故D错误．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 10．下列命题正确的是(　　) A．“x>5”是“x>7”的必要不充分条件 B．“pn<0”是“一元二次方程px2＋mx＋n＝0有一正一负根”的充要条件 C．设x，y∈R，则“x＋y≥6”是“x≥3且y≥3”的充分不必要条件 D．命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定为“∀x∈R，x2＋2x＋1>0” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 11．对于数集A，B，它们的Descartes积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则(　　) A．A×B＝B×A B．若A⊆C，则(A×B)⊆(C×B) C．A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C) D．集合{0}×R表示y轴所在直线 解析：由题知，A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}表示以数集A中的数为横坐标，数集B中的数为纵坐标，组成的点的全体，故A×B≠B×A，A错误；若A⊆C，则(A×B)⊆(C×B)，B正确；A×(B∩C)＝{(x，y)|x∈A，y∈(B∩C)}，(A×B)∩(A×C)＝{(x，y)|x∈A，y∈B}∩{(x，y)|x∈A，y∈C}，则A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)，C正确；集合{0}×R表示y轴所在直线，D正确．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 {－11，－6，－3，－2，0，1，4，9} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 解析：A∩B＝{x|3<x<4}，(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤3}∩{x|0＜x＜4}＝{x|0＜x≤3}． {x|3<x<4} {x|0＜x≤3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 {a|a≥1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断其真假． (1)有些素数是奇数； (2)所有的矩形都是平行四边形； (3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根； (4)∃x∈R，x2＋2x＋5>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 解：(1)是存在量词命题，其否定为“所有的素数都不是奇数”，是假命题． (2)是全称量词命题，其否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，是假命题． (3)是全称量词命题，其否定为“存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根”． ∵当Δ＝4＋4m<0，即m<－1时，一元二次方程没有实数根，∴其否定是真命题． (4)是存在量词命题，其否定为“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”． ∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4， ∴x2＋2x＋5恒大于0， ∴∀x∈R，x2＋2x＋5≤0是假命题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 16．(本小题满分15分)已知全集U＝{－4，－1，0，2，4}，集合M＝{x|x2＋ax＝0}，N＝{x|x2＋bx＋a＝0}，且M∩N＝{2}． (1)求集合M，N； (2)若集合{m2，m－2}＝∁U(M∪N)，求实数m的值． 解：(1)因为M∩N＝{2}，所以2∈M，且2∈N， 又因为M＝{x|x2＋ax＝0}，所以22＋2a＝0， 解得a＝－2，所以M＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}， 因为N＝{x|x2＋bx－2＝0}， 所以22＋2b－2＝0，　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 17．(本小题满分15分)已知M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|－a≤x≤8}． (1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件； (2)求a的一个取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 　　　　　　　　　　　　　 R 2．已知命题p：∀x∈R，eq \r(1－x2)≤1，则(　　) A．綈p：∃x∈R，eq \r(1－x2)≥1 B．綈p：∀x∈R，eq \r(1－x2)≥1 C．綈p：∃x∈R，eq \r(1－x2)＞1 D．綈p：∀x∈R，eq \r(1－x2)＞1 4．已知集合A＝{y|y＝－x2－2x}，B＝{x|y＝eq \r(x－a)}，且A∪B＝R，则实数a的最大值是(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：由|x|≥1，得x≤－1或x≥1，由2x－4>0，得x>2，∵x≤－1或x≥1x>2，x>2⇒x≤－1或x≥1，∴p是q的必要不充分条件．故选B. 6．若命题“∃x∈R，x2＋x＋a－1＝0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a>\f(5,4))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(5,4))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(5,4))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<\f(5,4))))) 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋x＋a－1＝0”是真命题等价于x2＋x＋a－1＝0有实根，所以Δ＝1－4(a－1)≥0，即1－4a＋4≥0，解得a≤eq \f(5,4).故选C. 解析：p：－4＜x－a＜4⇔a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3.綈p：x≤a－4或x≥a＋4，綈q：x≤2或x≥3.又綈p是綈q的充分条件，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤6.故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．在下列命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈N＋，eq \r(x)≤x B．∀a∈R，方程x2＋ax－2＝0有实数根 C．∃x∈N，|x|＋x<0 D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对任意的n，m∈N＋，都有A∩B＝∅ 解析：A中命题为真命题，如：当x＝1时，eq \r(1)＝1；B中命题为真命题，因为Δ＝a2＋8＞0恒成立；C中命题为假命题，因为x∈N，所以|x|＋x＝2x≥0恒成立；D中命题为假命题，易知当n＝3，m＝2时，A∩B≠∅. 解析：对于A，当x>5时，不能得到x>7；当x>7时，一定可以得出x>5，即“x>5”是“x>7”的必要不充分条件，故A正确．对于B，若pn<0，则Δ＝m2－4pn>0，x1x2＝eq \f(n,p)<0，所以一元二次方程px2＋mx＋n＝0有两个根，且一正一负，若一元二次方程px2＋mx＋n＝0有一正一负根，则x1x2＝eq \f(n,p)<0，则pn<0，故B正确．对于C，若x＋y≥6，则不一定有x≥3且y≥3，比如x＝1，y＝5，满足x＋y≥6，但不满足x≥3且y≥3，而若x≥3且y≥3，则一定有x＋y≥6，所以“x＋y≥6”是“x≥3且y≥3”的必要不充分条件，故C不正确．对于D，由否定的定义可知，命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定为“∀x∈R，x2＋2x＋1>0”，故D正确．故选ABD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．用列举法表示集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∈Z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(10,m＋1)∈Z))))＝______________________ ________________． 解析：由eq \f(10,m＋1)∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1，2，5，10，从而m的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9. 13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1，或x＞3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝__________，(eq \a\vs4\al(∁RA))∩B＝__________． 解析：由题意，綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a，因为綈q的一个充分不必要条件是綈p，所以所以a≥1. 14．已知p：x>1或x<－3，q：x＞a(a为实数)．若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是________． 解得b＝－1， 所以N＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}， 综上，M＝{0，2}，N＝{－1，2}． (2)由(1)，得M∪N＝{－1，0，2}，∁U(M∪N)＝{－4，4}＝{m2，m－2}， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＝4，,m－2＝－4，))解得m＝－2. 解：(1)显然－3≤－a≤5(如图)， 即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5<x≤8}， 取a＝0，由M∩P＝{x|5<x≤8}a＝0. 所以a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．(答案不唯一) (2)当M∩P＝{x|5<x≤8}时，－5≤a≤3，此时有a≤3，但a≤3M∩P＝{x|5<x≤8}，所以a≤3是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．(答案不唯一) 18．(本小题满分17分)求证：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). 证明：①充分性：∵0＜m＜eq \f(1,3)， ∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，且x1x2＝eq \f(3,m)＞0. ∴方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根． ②必要性：若方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根， 则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－12m＞0，,x1x2＝\f(3,m)＞0，))∴0＜m＜eq \f(1,3). 综合①②可知，方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). 19．(本小题满分17分)已知A＝{x|2a－1<x≤a＋1}，B＝{x|－1<x≤3}． (1)若a＝－eq \f(1,2)，求A∪B，A∩(∁RB)； (2)在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∪B＝B；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：若________，求实数a的取值范围构成的集合P. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)当a＝－eq \f(1,2)时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2<x≤\f(1,2)))))， 又B＝{x|－1<x≤3}， 所以A∪B＝{x|－2<x≤3}， ∁RB＝{x|x≤－1，或x>3}， A∩(∁RB)＝{x|－2<x≤－1}． (2)选①：“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则AB. 若A＝∅，此时2a－1≥a＋1，解得a≥2； 若A≠∅，此时a<2，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1≥－1，,a＋1≤3))(且等号不同时成立)，解得0≤a<2. 综上所述，满足条件的实数a构成的集合P＝{a|a≥0}． 选②：A∪B＝B，则A⊆B. 若A＝∅，此时2a－1≥a＋1，解得a≥2； 若A≠∅，此时a<2，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1≥－1，,a＋1≤3，))解得0≤a<2. 综上所述，满足条件的实数a构成的集合P＝{a|a≥0}． 选③：A∩B＝∅， 若A＝∅，此时2a－1≥a＋1，解得a≥2； 若A≠∅，此时a<2，只需2a－1≥3或a＋1≤－1， 显然2a－1≥3即a≥2无解，解a＋1≤－1得a≤－2. 综上所述，满足条件的实数a构成的集合P＝{a|a≤－2，或a≥2}． $