1.2 集合间的基本关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.2　集合间的基本关系 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　集合间关系的判断 1．下列关系中，正确的个数是(　　) ①{a}⊆{a}；②{1，2，3}＝{3，2，1}；③∅{0}；④{－1，1}⊆{(－1，1)}；⑤∅∈{0}． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：因为任何一个集合都是它本身的子集，故①正确；两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等，故②正确；因为{0}中有一个元素0，所以是非空集合，空集是任何非空集合的真子集，故③正确；因为集合{－1，1}的代表元素是数，集合{(－1，1)}的代表元素是实数对，所以两集合间无包含关系，故④不正确；∅与{0}是两个集合，不能用符号“∈”，故⑤不正确．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 2．已知集合A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}，B＝{y|y＝3k＋1，k∈Z}，则A，B的关系是_______． 解析：设任意x0∈A，则x0＝3n0－2，n0∈Z.因为3n0－2＝3(n0－1)＋1，n0∈Z，所以n0－1∈Z，所以x0∈B，故A⊆B.设任意y0∈B，则有y0＝3k0＋1，k0∈Z.因为3k0＋1＝3(k0＋1)－2，k0∈Z，所以k0＋1∈Z，所以y0∈A，故B⊆A.综上所述，A＝B. A＝B 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 知识点二　子集、真子集的个数问题 4．已知集合A＝{x|2<x<6，x∈N}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 解析：集合A＝{x|2<x<6，x∈N}＝{3，4，5}，则集合A的真子集有23－1＝7个．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 5．[多选]下列集合中，只有一个子集的是(　　) A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2<0} D．{x|x2－x＋1＝0} 解析：对于A，集合有1个元素0，故有2个子集；对于B，集合有1个元素(0，0)，故有2个子集；对于C，集合为空集，只有1个子集即空集；对于D，集合为空集，只有1个子集即空集．故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 知识点三　由集合间的关系求参数 6．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2} 解析：∵A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，且A⊆B，∴结合数轴，可得a≥2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 7．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B⊆A的实数m的值所组成的集合为_____________，该集合的子集有_____个． 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 8．已知集合M＝{x|－2≤x≤5}，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}． (1)若M＝N，求实数m的取值范围； (2)若M⊆N，求实数m的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 2．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则表示M，N之间关系的Venn图是(　　) 解析：由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}，则N  M.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 3．已知集合P＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，Q＝{－1，1，3}，则下列结论正确的是(　　) A．Q⊆P B．P⊆Q C．Q∈P D．P∈Q 解析：分别令2k＋1＝－1，1，3，得k＝－1，0，1，所以Q⊆P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 解析：依题意，得B＝{2，3，4}，所以集合B的所有真子集的个数为23－1＝7.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 5．已知集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，则(　　) A．－3∈A B．0⊆B C．BA D．{2}∈B 解析：由A＝{x|2x－3<3x}，得A＝{x|x>－3}，故BA，－3∉A，{2}B，0∉B，A，B，D错误，C正确．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 6．已知集合A＝{1，5，a2}，B＝{1，2a＋3}，且B⊆A，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：由B⊆A，得2a＋3＝5或2a＋3＝a2.若2a＋3＝5，则a＝1，此时a2＝1，不符合集合中元素的互异性；若2a＋3＝a2，则a＝3或a＝－1，显然a＝3符合题意，而当a＝－1时，a2＝1，不符合集合中元素的互异性．综上所述，a＝3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 8．下列关系正确的是(　　) A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R} B．{y|y＝x2－1}＝{(x，y)|y＝x2－1} C．{x|x≥1}＝{y|y＝x2＋1} D．{x∈R|x2－2＝0}＝∅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、多项选择题 9．下列命题为真命题的是(　　) A．集合{1，2}的所有真子集为{1}，{2} B．若{1，a}＝{2，b}(其中a，b∈R)，则a＋b＝3 C．{x|x是等边三角形}⊆{x|x是等腰三角形} D．{x|x＝3k，k∈N}⊆{x|x＝6z，z∈N} 解析：因为集合{1，2}的所有真子集是∅，{1}，{2}，共3个，所以A为假命题；由{1，a}＝{2，b}，知a＝2，b＝1，则a＋b＝3，所以B为真命题；因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题；因为{x|x＝6z＝2×3z，z∈N}，所以{x|x＝6z，z∈N}⊆{x|x＝3k，k∈N}，所以D为假命题．故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 10．下列结论错误的是(　　) A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若a∈A且A⊆B，则a∈B D．若A⊆B且A⊆C，则B＝C 解析：对于A，空集只有一个子集，故A错误；对于B，空集是任何非空集合的真子集，故B错误；对于C，因为A⊆B，所以集合A中所有元素都属于集合B，则a∈B，故C正确；对于D，例如A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{1，3}，虽满足A⊆B且A⊆C，但此时B≠C，故D错误．故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 三、填空题 12．如果集合A＝{x|x∈Z，且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A，B的关系是________． 解析：因为x∈Z，所以x2∈Z，且x2≥0，因为A＝{x|x∈Z且x≥0}，所以x2∈A，所以B⊆A，又2∈A，2∉B，故集合A，B的关系是BA. BA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 13．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是__________． 解析：∵P＝{x|x2＝1}＝{1，－1}，Q＝{x|ax＝1}，Q⊆P，∴当Q是空集时，有a＝0，显然成立；当Q＝{1}时，有a＝1，与题意相符；当Q＝{－1}时，有a＝－1，与题意相符．故满足条件的a的值为0，1，－1. 0，1或－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 14．已知集合M＝{x|－2≤x≤a}是非空集合，集合P＝{y|y＝2x－3，x∈M}，T＝{z|z＝x，x∈M}，若T⊆P，则实数a的取值范围是________． 解析：∵集合P，T中的自变量都从集合M中取得，∴集合P＝{y|－7≤y≤2a－3}，T＝{z|－2≤z≤a}，由T⊆P，得2a－3≥a，则a≥3. {a|a≥3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 15．已知集合M满足{2，4}⊆M{2，4，6，8，10}，则满足条件的集合M的个数为(　　) A．3 B．5 C．7 D．10 解析：①当M中含有2个元素时，M为{2，4}；②当M中含有3个元素时，M为{2，4，6}，{2，4，8}，{2，4，10}；③当M中含有4个元素时，M为{2，4，6，8}，{2，4，6，10}，{2，4，8，10}．故满足条件的集合M为{2，4}，{2，4，6}，{2，4，8}，{2，4，10}，{2，4，6，8}，{2，4，6，10}，{2，4，8，10}，共7个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 16．[多选]已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则下列结论正确的是(　　) A．若B⊆A，则m≤2 B．当x∈Z时，A的非空真子集有62个 C．存在实数m，使得A＝B D．当x∈R时，若不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，则m≠2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 4或9(写出一个即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 18．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，且B⊆A. (1)求实数m的取值范围； (2)当x∈N时，求集合A的真子集的个数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 33 19．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若A是B的子集，求实数a的值； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 34 (2)①若B为空集，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1； ②若B为单元素集合，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8＝0，解得a＝－1. 将a＝－1代入方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得x2＝0，解得x＝0， 所以B＝{0}，符合题意； ③若B为双元素集合，则B＝A＝{－4，0}， 则a＝1. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a＝1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 　　　　　　　　　　　　　 R 3．已知E＝{x|eq \r(x2)＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断E与F的关系． 解：E＝{x|eq \r(x2)＝0}＝{0}． 下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论： 方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2. ①当a＝1时，Δ＝0， 方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F； ②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1≠0，此时F＝{0，a－1}，EF. 综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2))) 解析：由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，B⊆A，当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝∅，满足条件；若B≠∅，则B＝{－3}或B＝{2}，即m＝eq \f(1,3)或m＝－eq \f(1,2)，故满足条件的实数m的值所组成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2)))，该集合的子集有23＝8个． 解：(1)若M＝N，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－6≤2m－1，,m－6＝－2，,2m－1＝5，))方程组无解，即不存在实数m使得M＝N. 所以实数m的取值范围为∅. (2)若M⊆N，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－6≤2m－1，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}． 解析：由x＋1≥0，得x≥－1，∴P＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y＝eq \r(x－1)}＝{y|y≥0}，∴QP. 一、单项选择题 1．已知集合P＝{x|y＝eq \r(x＋1)}，Q＝{y|y＝eq \r(x－1)}，则P与Q的关系是(　　) A．P＝Q B．QP C．PQ D．Q∈P 4．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,x－1)∈N，x∈A))))，则集合B的所有真子集的个数为(　　) A．7 B．4 C．8 D．15 7．若集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)＋\f(1,6)，n∈Z))))，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z))))，则集合M，N，P的关系是(　　) A．M＝NP B．MN＝P C．MNP D．NPM 解析：因为M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6m＋1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3n＋1,6)，n∈Z))))，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3p＋1,6)，p∈Z))))，所以MN＝P. 解析：∵{y|y＝x2＋π，x∈R}＝{y|y≥π}，3<π，∴3∉{y|y＝x2＋π，x∈R}，故A错误；{y|y＝x2－1}表示的是数集，{(x，y)|y＝x2－1}表示的是点集，两集合间不存在相等关系，故B错误；{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}＝{x|x≥1}，故C正确；{x∈R|x2－2＝0}＝{－eq \r(2)，eq \r(2)}≠∅，故D错误． 11．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”．对于集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(1,2)，1))，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　) A．－2 B．－eq \f(1,2) C．0 D．1 解析：对于A，若a＝－2，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，此时A与B没有公共元素，故A不符合题意；对于B，若a＝－eq \f(1,2)，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))，此时B⊆A，故B符合题意；对于C，若a＝0，则B＝{0}，此时B⊆A，故C符合题意；对于D，若a＝1，则B＝{－1，1}，此时A与B有公共元素，故D符合题意．故选BCD. 解析：对于A，若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2；若B≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤3，))解得m＝2，所以m≤2，故A正确．对于B，当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3}，共6个元素，所以A的非空真子集的个数为26－2＝62，故B正确．对于C，若A＝B，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝－2，,2m－1＝3，))方程组无解，所以不存在实数m，使得A＝B，故C错误．对于D，因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，所以A，B没有公共元素．当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅满足题意；当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使A，B没有公共元素，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m＋1>3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,2m－1<－2，))解得m>2.综上所述，当m≠2时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，故D正确．故选ABD. 17．已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N＋\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，n∈N＋))))(1≤m≤10，m∈N＋)有8个子集，则m的一个值为_____________________． 解析：集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N＋\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，n∈N＋))))(1≤m≤10，m∈N＋)有8个子集，由23＝8知，集合M中有三个元素，则m有三个因数，因为x＝eq \f(m,n)，n∈N＋，1≤m≤10，m∈N＋，m除1和它本身m外，还有1个因数，所以m的值可以为4，9. 解：(1)①当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅，符合题意； ②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时， B≠∅.由B⊆A，借助数轴(如图所示)， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≥－1，,2m＋1≤6，,m≥－2，))解得0≤m≤eq \f(5,2). 综合①②可知，实数m的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2，或0≤m≤\f(5,2))))). (2)当x∈N时，A＝{0，1，2，3，4，5，6}，则集合A的真子集的个数为27－1＝127. 解：(1)因为A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}，若A是B的子集，则B＝A＝{－4，0}， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝8a＋8>0，,（－4）＋0＝－2（a＋1），,（－4）×0＝a2－1，))解得a＝1. $