1.2 集合间的基本关系（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集的概念及集合相等，通过教材实例抽象概念，从集合基本概念导入，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是“逐点理清”教学，结合Venn图、数轴直观呈现（数学眼光），通过微点辨析（如∈与⊆区别）、参数问题分空集讨论培养逻辑推理（数学思维），符号与图表结合强化表达（数学语言）。实例丰富助学生夯实基础，教师教学更系统高效。

集合间的基本关系 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 1.2 课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念. 2.能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法. 3.会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示. 4.在具体情境中，了解空集的含义，并注意空集在解题中的影响. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　子集与集合相等 逐点清(二)　真子集与空集 逐点清(三)　由集合间的关系 求参数范围 4 课时检测 逐点清(一)　子集与集合相等 01 1.Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 多维理解 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是________________，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作______ (或B⊇A)，读作“__________”(或“B包含A”) 集合B中的元素 A⊆B A包含于B 3.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作_____，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则______. 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则______ A⊆A A⊆C A=B A=B 续 表 |微|点|助|解| (1)“A是B的子集”的含义：对任意x∈A都能推出x∈B. (2)注意“∈”与“⊆”的区别：“⊆”用于表示集合与集合之间的关系；“∈”用于表示元素与集合之间的关系. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a∈A，则{a}⊆A. (　 ) (2)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B. (　 ) 微点练明 √ √ 2.已知集合A={x|x是三角形}，B={x|x是等腰三角形}，C={x|x是等腰直角三角形}，D={x|x是等边三角形}，则 (　 ) A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C D.A⊆D √ 解析：因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B. 3.已知集合A={0，1，a2}，B={0，1，2a+3}，若A=B，则a等于 (　 ) A.-1或3 B.0或1 C.3 D.-1 √ 解析：由A=B，得a2=2a+3，解得a=-1或a=3.当a=-1时，A={0，1，1}与集合元素的互异性矛盾，舍去.当a=3时，A={0，1，9}=B，满足题意.故选C. 4.指出下列各对集合之间的关系： (1)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0}； 解：集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)A={x|x是正方形}，B={x|x是矩形}； 解：正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； 解：集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (4)M={x|x=2n-1，n∈N*}，N={x|x=2n+1，n∈N*}. 解：M={正奇数}，N={不含1的正奇数}，故N⊆M. 逐点清(二)　真子集与空集 02 1.真子集 多维理解 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作______(或B⫌A)，读作“_____________”(或“B真包含A”) 图示 性质 ①真子集具有传递性，即若A⫋B，B⫋C，则A⫋C； ②含有n个元素的有限集合的真子集个数为(2n-1)个 A⫋B ⫌ x∉A A真包含于B ⫋ ⫋ ⫋ 2.空集 定义 一般地，我们把_______________的集合叫做空集 记法 _____ 规定 空集是任何集合的子集，即⌀⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，⌀⊆⌀； (2)A≠⌀，则⌀⫋A 不含任何元素 ⌀ ⫋ |微|点|助|解| (1)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)0，{0}，{⌀}与⌀之间的关系 项目 ⌀与0 ⌀与{0} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀是集合；0是实数 ⌀不含任何元素； {0}含一个元素0 ⌀不含任何元素；{⌀}含一个元素，该元素是⌀ 关系 0∉⌀ ⌀ {0} ⌀ {⌀}或⌀∈{⌀} ⫋ ⫋ 1.已知集合M={x|x2-3x+2=0}，N={0，1，2}，则集合M与N的关系是 (　 ) A.M=N B.N⫋M C.M⫋N　 D.N⊆M √ 微点练明 解析：解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1，则M={1，2}， 因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N. 又因为0∈N但0∉M，所以M⫋N. ⫋ ⫋ ⫋ 2.下列四个集合中，是空集的是 (　 ) A.{x|x+3=3}　 B.{(x，y)|y2=-x2，x，y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0，x∈R} √ 解析：A中集合为{0}，B中为{(0，0)}，C中为{0}，而D中方程无解，是空集. 3.满足{1}⊆A⫋{1，2，3，4}的集合A的个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 √ 解析：∵{1}⊆A，∴1∈A，∵A⫋{1，2，3，4}，∴满足题意的集合A有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个.故选A. ⫋ ⫋ 4.已知集合Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀，则实数k的取值范围是________.  {k|k<2} 解析：∵Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀， ∴k+1>2k-1，解得k<2. 5.填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ⌀     {a}     {a，b}     {a，b，c}     由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 解： 集合 集合的子集 子集的个数 ⌀ ⌀ 1 {a} ⌀，{a} 2 {a，b} ⌀，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2. 逐点清(三)　由集合间的关系 求参数范围 03 [典例]　已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⊆A，求实数m的取值范围. 解：若B=⌀，满足B⊆A，则m+1>2m-1，解得m<2.若B≠⌀，满足B⊆A， 则解得2≤m≤3. 综上，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}. 　　[变式拓展] 1.若本例条件“B⊆A”变为A⊆B，求实数m的取值范围. 解：若A⊆B，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是⌀. 2.本例条件不变，是否存在实数m，使得A=B?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：假设存在满足题意的实数m.若A=B， 则必有m+1=-2且2m-1=5， 此时无解，即不存在使得A=B的实数m. 3.若本例条件集合A变为“A={x|x<-5，或x>2}”，集合B变为“B={x|2a-3<x<a-2}”，其他条件不变，求实数a的取值范围. 解：①当B=⌀时，2a-3≥a-2，解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时，2a-3<a-2，解得a<1.由已知A⊇B，如图在数轴上表示出两个集合， 由图可知，2a-3≥2或a-2≤-5，解得a≥或a≤-3.又因为a<1，所以a≤-3. 综上，实数a的取值范围为{a|a≥1或a≤-3}. |思|维|建|模|　利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 设M={x|x2-2x-3=0}，N={x|ax-1=0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的集合. 针对训练 解：因为M={x|x2-2x-3=0}={x|(x+1)(x-3)=0}={-1，3}，N={x|ax-1=0}，若a=0，则N=⌀，此时满足N⊆M；若a≠0，则N=，因为N⊆M，故=-1或=3，解得a=-1或a=，所以a的取值集合为. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，B={3，4，5，x}，若B⊆A，则x可以取的值为 (　 ) A.1，2，3，4，5，6 B.1，2，3，4，6 C.1，2，3，6 D.1，2，6 √ 解析：由B⊆A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1，2，6. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下列集合为⌀的是 (　 ) A.{0} B.{⌀} C.{x|x2+4=0} D.{x|x+1≤2x} √ 解析：集合{0}中有一个元素0，A不符合题意；集合{⌀}中有一个元素⌀，B不符合题意；由方程x2+4=0，即x2=-4，此时方程无解，可得{x|x2+4=0}=⌀，C符合题意；不等式x+1≤2x，解得x≥1，{x|x+1≤2x}={x|x≥1}，D不符合题意.故选C. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.集合M={x∈N|-2<x≤3}的真子集个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 √ 解析：集合M中共有0，1，2，3四个元素，真子集的个数是24-1=15. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.若x，y∈R，A={(x，y)|y=x}，B=，则集合A，B间的关系为(　 ) A.A ⫋B B.B⫋ A C.A=B D.A⊆B ⫋ ⫋ 解析：∵B=={(x，y)|y=x，x≠0}，∴B⫋A. ⫋ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是 (　 ) √ 解析：由x2-x=0，得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示. ⫋ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，且A=B，则实数m等于 (　 ) A.2 B.-1 C.-2 D.4 √ √ 解析：∵A=B，∴m2-m=2，∴m=2或m=-1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)已知A⊆B，A⊆C，B={2，0，1，8}，C={1，9，3，8}，则A可以是 (　 ) A.{1，8} B.{2，3} C.{1} D.{2} √ √ 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A中的元素应为B和C的共同元素.∵B={2，0，1，8}，C={1，9，3，8}，∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1，8}.结合选项知，A、C选项满足题意，故选AC. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m=　 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M= {x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于或等于1而小于或等于m的全部整数，故m=2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.设集合A={-1，1}，集合B={x|x2-2ax+1=0}，若B≠⌀，B⊆A，则a等于 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 √ 解析：当B={-1}时，x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1，即a=-1；当B={1}时，x2-2ax+1=0有两个相等的实根1，即a=1；当B={-1，1}时，不成立.故a=±1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a= (　 ) A.2 B.1 C. D.-1 √ 解析：依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A⊆B；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A⊆B.所以a=1，故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)设集合M={(x，y)|x+y<0，xy>0}和P={(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________.  M=P 解析：∵xy>0，∴x，y同号.又x+y<0， ∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点. 而集合P表示第三象限内的点，故M=P. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)若A={1，2}，B={x|x⊆A}，则B=______________________.  {⌀，{1}，{2}，{1，2}} 解析：因为A={1，2}，B={x|x⊆A}， 所以集合B中的元素是集合A的子集：⌀，{1}，{2}，{1，2}， 则集合B={⌀，{1}，{2}，{1，2}}. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是___________.  {m|m≤4} 解析：由集合B={x|1<x<m}，若m≤1，可得B=⌀，此时满足B⊆A；若m>1，要使B⊆A，则满足解得1<m≤4. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤4}. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(5分)已知非空集合P满足：①P⊆{1，2，3，4，5}；②若a∈P，则6-a∈P.符合上述条件的集合P的个数为______.  7 解析：由a∈P，6-a∈P，且P⊆{1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}，共7个. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知集合A={1，2，3}. (1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；(5分) 16 解：∵M⊆A，3∈M， ∴集合M可能为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若B={x|ax-3=0}，且B⊆A，求实数a的取值集合.(5分) 16 解：当a=0时，B=⌀，满足B⊆A； 当a≠0时，B=； 若B⊆A，则=1或=2或=3， 解得a=3或a=或a=1. 综上所述，实数a的取值集合为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围. 16 解：①当A无真子集，即A=⌀时，方程ax2+2x+1=0无实根， 所以解得a>1. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当a=0时，方程化为2x+1=0，解得x=-，符合题意；当a≠0时，由Δ=4-4a=0，解得a=1，符合题意.综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 本课结束 $$