第5章 三角函数 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第五章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则x的值为(　　) A. B．± C．－ D．－ 答案：C 解析：∵cosα＝＝＝x，∴x＝0(舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选C. 2．已知圆心角为36°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为36°＝，所以该扇形的半径为r＝÷＝4，因此该扇形的面积为S＝××4＝.故选A. 3．若sin(π＋α)＝，且α是第三象限角，则＝(　　) A．1 B．7 C．－7 D．－1 答案：B 解析：由sin(π＋α)＝，得sinα＝－.又α是第三象限角，所以cosα＝－，所以 ＝＝＝7.故选B. 4．已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B. 5．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 答案：D 解析：由题意知，a＝sin14°＋cos14°＝＝sin59°，同理可得，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，c＝＝sin60°，易知sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b.故选D. 6．函数y＝logcos的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：B 解析：原函数可变形为y＝log(－sin2x)，定义域为，k∈Z.研究函数y＝sin2x的单调递增区间，得－＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又∩＝，k∈Z，故选B. 7．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 答案：A 解析：作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增；同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减；f(x)＝cos|x|的周期为2π；f(x)＝sin|x|不是周期函数．故选A. 8.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到函数f(x)的图象，只需将g(x)＝sinωx的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：C 解析：设f(x)的最小正周期为T，则由图象可知＝－＝，T＝π，ω＝＝2.由sin＝0，|φ|<，得φ＝.所以f(x)＝sin＝sin.因为g(x)＝sin2x，所以要得到f(x)的图象，只需将g(x)的图象向左平移个单位长度．故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知函数f(x)＝sin＋2，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为 B．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 C．点是函数f(x)图象的一个对称中心 D．函数f(x)在区间上单调递减 答案：ABD 解析：对于A，ω＝3，所以函数f(x)的最小正周期T＝，A正确；对于B，将x＝代入函数解析式，得f＝sin＋2＝sin＋2，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，因为函数f(x)的图象是由函数y＝sin的图象向上平移2个单位长度后得到的，所以函数f(x)图象的对称中心的纵坐标不可能是0，C错误；对于D，当x∈时，3x＋∈，而正弦函数y＝sinx在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递减，D正确． 10．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的周期是2π B．f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞) C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是(k∈Z) 答案：AD 解析：函数f(x)＝的周期为2π，故A正确；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故C错误；令kπ－<x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)，故D正确．故选AD. 11.已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1 km的圆，观光车从起始站点P出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光车从某次出发开始，行驶的时间为t h．A，B是沿途两个站点，C是终点站，D是该游乐场的观景点之一．已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且∠BOA＝，OA⊥OC，OA⊥OD.若要求起始站点P无论位于站台B，C之间的任何位置(异于B，C)，观光车在t∈的时间内，都要至少经过两次终点站C，则下列说法正确的是(　　) A．该观光车绕行一周的时间小于 B．该观光车在t∈内不一定会经过终点站C C．该观光车的行驶速度一定大于 km/h D．该观光车在t∈内一定会经过一次观景点D 答案：ABD 解析：以O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设点P的纵坐标为y，该观光车的角速度为ω rad/h，则y＝sin(－ωt＋φ)，则经过C时该函数取得最大值，经过D时该函数取得最小值，由题意可知，函数y＝sin(－ωt＋φ)的最小正周期为T<－＝，即A正确；因为T＝<，所以ω>12，则当t∈时，φ－ωt∈，因为<φ<，ω>12，则φ－ω<－，所以函数y＝sin(－ωt＋φ)在上不一定取得最大值，即B正确；当t∈时，φ－ωt∈，由题意可知其中k∈Z，整理，得8－8k<ω<－4－24k(k∈Z)，由可得k<－，当k＝－1时，16<ω<20；当k＝－2时，24<ω<44；…，所以该观光车的行驶速度不一定大于 km/h，即C错误；因为T<，所以<，即区间的长度大于观光车绕行半周的时间，故该观光车在t∈内一定会经过一次观景点D，即D正确．故选ABD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝________． 答案： 解析：cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝cos75°·sin45°＋cos45°sin75°＝sin(45°＋75°)＝sin120°＝. 13．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则tan(α＋β)＝________，tan＝________． 答案：　－2 解析：由题意知，∴tan(α＋β)＝＝＝，∴tan(α＋β)＝＝，∴tan＝或tan＝－2.由a>1，可得tanα＋tanβ＝－4a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，∴tanα<0，tanβ<0，结合α，β∈，∴α，β∈，∈，∴tan<0，故tan＝－2. 14.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，且f(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是____________． 答案： 解析：由题图可知2π在第一个最小值点与第二个最大值点之间，且f(0)＝1，所以sinφ＝，又φ∈，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(ω＞0)．当f(x)＝－2时，令ωx＋＝，得x＝；当f(x)＝2时，令ωx＋＝，得x＝.由题意可得≤2π＜，解得≤ω＜.故ω的取值范围是. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知tanα＝. (1)求的值； (2)求sin(π－α)sin的值． 解：(1)∵tanα＝， ∴＝＝＝. (2)sin(π－α)sin＝sinα(－cosα) ＝－sinαcosα＝＝ ＝＝－. 16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosxcos. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)求函数f(x)在闭区间上的最大值以及此时对应的x的值． 解：(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosxcos＝－cos2x＋2cosx ＝－cos2x＋＋sin2x ＝sin2x－cos2x＋ ＝sin＋. 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (3)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤， 所以－≤sin≤1. 当2x－＝，即x＝时， f(x)取得最大值，为. 17．(本小题满分15分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2sin2＋cos2C＝1. (1)求角C的大小； (2)若sin2A－sin2B＝sin2C，试求sin的值． 解：(1)由2sin2＋cos2C＝1，得 1－cos(A＋B)＋2cos2C－1＝1. 又A＋B＋C＝π，将上式整理，得 2cos2C＋cosC－1＝0， 即(2cosC－1)(cosC＋1)＝0. ∴cosC＝或cosC＝－1(舍去)． 又0<C<π，∴C＝. (2)由sin2A－sin2B＝sin2C，得 2sin2A－2sin2B＝sin2C， 即1－cos2A－1＋cos2B＝， ∴cos2B－cos2A＝. ∵A＋B＝，∴B＝－A. ∴cos－cos2A＝， ∴－cos2A－sin2A＝， ∴cos2A＋sin2A＝－， ∴sin＝－. 18．(本小题满分17分)在①点A(x1，1)和B(x2，1)为函数f(x)图象的两个相邻的对称中心，且|x1－x2|＝；②f＝1；③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴这三个条件中任选两个将下面题目补充完整，并根据要求解答． 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋1，满足条件________与________． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．当x∈时，函数g(x)的值域为，求实数m的取值范围． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)若选①②：由①知T＝2×＝π，ω＝＝2. 由②知sin＋1＝1， 即sin＝0， 所以＋φ＝kπ(k∈Z)， 解得φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜， 所以φ＝. 所以f(x)＝sin＋1. 若选①③：由①知T＝2×＝π，ω＝＝2. 由③知＋φ＝mπ＋(m∈Z)， 解得φ＝mπ－(m∈Z)． 又因为|φ|＜，所以φ＝. 所以f(x)＝sin＋1. 若选②③：由②知sin＋1＝1， 即sin＝0， 所以＋φ＝kπ(k∈Z)， 由③知＋φ＝mπ＋(m∈Z)， 两式相减，得＝(m－k)π＋(k，m∈Z)， 所以ω＝4(m－k)＋2(k，m∈Z)． 因为0＜ω＜3，所以ω＝2. 当ω＝2时，φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以φ＝. 所以f(x)＝sin＋1. (2)将f(x)＝sin＋1的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin＋1＝sin＋1的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝sin＋1的图象． 由x∈，得x－∈. 因为g(x)的值域为， 所以y＝sin，x∈的值域为，所以≤m－≤， 即≤m≤π， 所以实数m的取值范围为. 19．(本小题满分17分)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠DAB＝∠CDB＝θ，0<θ<，∠ADB＝，BE⊥CD于点E. (1)求四边形ABCD面积的最大值； (2)求DA＋DB＋DE的取值范围． 解：(1)因为∠ADB＝，AB＝2，∠DAB＝θ， 所以DA＝2cosθ，DB＝2sinθ. 又因为∠CDB＝θ， 所以BE＝DBsinθ＝2sin2θ，DE＝DBcosθ＝2sinθcosθ. 则S四边形ABCD＝S△DAB＋S△DCB＝DA·DB＋CD·BE＝2sinθcosθ＋2sin2θ＝sin2θ＋(1－cos2θ)＝2sin＋. 因为0＜θ＜，所以－＜2θ－＜， 所以－＜sin≤1， 当2θ－＝， 即θ＝时，S四边形ABCD取得最大值，为2＋. (2)因为DA＋DB＋DE＝2cosθ＋2sinθ＋2sinθcosθ. 设t＝cosθ＋sinθ， 则t2＝cos2θ＋sin2θ＋2sinθcosθ＝1＋2sinθcosθ， 所以2sinθcosθ＝t2－1， 则DA＋DB＋DE＝2t＋t2－1＝(t＋1)2－2. 因为t＝sin，0＜θ＜， 所以t∈(1，]． 又y＝(t＋1)2－2在(1，]上单调递增， 所以DA＋DB＋DE的取值范围是(2，1＋2]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $