第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第二章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若不等式a＞b与＞同时成立，则必有(　　) A．a＞b＞0 B．0＞＞ C．a＞0＞b D.＞＞0 答案：C 解析：若a＞b＞0，则＜，若0＞a＞b，则＜，只有当a＞0＞b时，满足＞.故选C. 2．已知0＜x＜1，则当x(3－3x)取得最大值时，x的值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：x(3－3x)＝3x(1－x)≤3×＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是(　　) A．{x|x≥5，或x≤－1} B．{x|x＞5，或x＜－1} C．{x|－1＜x＜5} D．{x|－1≤x≤5} 答案：B 解析：不等式x2－2x－5＞2x可化为x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1.故选B. 4．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2 kg的草莓，服务员先将1 kg的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1 kg的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是(　　) A．等于2 kg B．小于2 kg C．大于2 kg D．不确定 答案：C 解析：设天平左臂长为x1，右臂长为x2，且x1≠x2，设草莓A有a1 kg，草莓B有a2 kg，则有所以a1＝，a2＝，a1＋a2＝＋>2＝2.故选C. 5．若对任意的x＞－2，x2＋(4－a)x＋7－2a≥0恒成立，则实数a的最大值为(　　) A. B．3 C．2 D．6 答案：C 解析：对任意的x＞－2，x2＋(4－a)x＋7－2a≥0恒成立，即x2＋4x＋7≥a(x＋2)在x＞－2上恒成立，所以a≤＝＝(x＋2)＋在x＞－2上恒成立，又(x＋2)＋≥2＝2，当且仅当x＋2＝，即x＝－2时，等号成立，所以a≤2，则实数a的最大值为2.故选C. 6．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋ab＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a(a－b)＝且ab＝，即a＝，b＝时，等号成立．故选D. 7．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0 B．1 C. D．3 答案：B 解析：因为正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，所以＝＝≤＝1(当且仅当x2＝4y2，即x＝2y时，等号成立)，此时z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1.故选B. 8．关于x的不等式(ax－1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为(ax－1)2＜x2恰有2个整数解，即[(a＋1)x－1][(a－1)x－1]＜0恰有2个整数解，所以(a＋1)(a－1)＞0，解得a＞1或a＜－1.①当a＞1时，不等式的解集为，因为0<<，故2个整数解为1和2，则2＜≤3，即2a－2＜1≤3a－3，解得≤a＜；②当a＜－1时，不等式的解集为，因为－<<0，故2个整数解为－1，－2，则－3≤＜－2，即－2(a＋1)＜1≤－3(a＋1)，解得－＜a≤－.综上所述，实数a的取值范围为.故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 答案：BC 解析：若a>0>b，0>c>d，则ac<bd，故A错误；若ab>0，bc－ad>0，则>0，化简，得－>0，故B正确；若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝，故D错误．故选BC. 10．已知a>0，b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4 C.≥2 D.> 答案：ABC 解析：a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A成立；(a＋b)·≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C成立；∵a＋b≥2，a>0，b>0，∴≤1，≤，当且仅当a＝b时，等号成立，故D不成立． 11．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，则(　　) A．x1x2＋x1＋x2<0的解集为 B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－ C．x1＋x2＋的最大值为－ D．x1＋x2＋的最小值为 答案：ABC 解析：∵不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，由根与系数的关系，可得x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，则x1x2＋x1＋x2<0可化为3a2＋4a<0，解得－<a<0，∴A正确；∵x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a＝3－≥－，∴B正确；∵x1＋x2＋＝4a＋，且a<0，∴－4a－≥ 2＝，当且仅当－4a＝－，即a＝－时取等号，∴4a＋≤－，故x1＋x2＋的最大值为－，∴C正确，D错误．故选ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知x＞1，比较大小：x3＋2x________x2＋2. 答案：＞ 解析：∵x＞1，∴x3＋2x－(x2＋2)＝(x－1)·(x2＋2)＞0，故x3＋2x＞x2＋2. 13．若正实数x，y满足x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是________，最小值是________． 答案：4　1 解析：由x＋y＋＋＝5，得(x＋y)＋＝5，即5＝(x＋y)＋≥(x＋y)＋，(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4，最小值是1. 14．设a∈R，若关于x的方程7x2－(a＋13)x＋a2＋a－2＝0有两个实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，则实数a的取值范围是______________． 答案：{a|－2<a<－2，或1<a<2} 解析：因为x1，x2是方程7x2－(a＋13)x＋a2＋a－2＝0的两个实数根，且0＜x1＜1＜x2＜2，所以即所以－2＜a＜－2或1＜a＜2. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)(1)若实数x，y，z满足y＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4.试确定x，y，z的大小关系； (2)已知a，b，x，y均为正实数，且＞，x＞y，求证：＞. 解：(1)因为y－z＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，所以y≥z. 又y＋z＝3x2－4x＋6， 所以z－x＝－x＝1＋x2－x＝＋＞0，所以z＞x，所以y≥z＞x. (2)证明：因为＞且a>0，b>0， 所以b＞a＞0. 又x＞y＞0，所以bx＞ay＞0. 所以－＝＞0， 所以＞. 16．(本小题满分15分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6. 证明：因为a，b，c均为正数， 所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.① 同理可得，＋＋≥＋＋，② 故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3，即a＝b＝c＝时，③式等号成立． 17．(本小题满分15分)已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3<x<2}． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围． 解：(1)因为y>0的解集为{x|－3<x<2}， 所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根， 所以解得 所以y＝－3x2－3x＋18. (2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0， 解得c≤－， 所以c的取值范围为. 18．(本小题满分17分)某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(单位：万件)与年广告费x(单位：万元)之间的函数关系为Q＝(x>0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要再投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等． (1)试将年利润P(单位：万元)表示为年广告费x(单位：万元)的函数； (2)当年广告费投入为多少万元时，企业年利润最大？ 解：(1)P＝(32Q＋3)·150%＋x·50%－(32Q＋3)－x＝－－＋49.5(x>0)． (2)P＝－＋49.5≤－2×4＋49.5＝41.5， 当且仅当＝，即x＝8时，P有最大值41.5万元． 所以当年广告费投入为8万元时，企业年利润最大． 19．(本小题满分17分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)>0，其中k∈R. (1)当k变化时，试求不等式的解集A； (2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)，试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 解：(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}； 当k>0且k≠2时，A＝； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}； 当k<0时，A＝. (2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素的个数无限； 当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为k＋＝－≤－4， 当且仅当k＝－2时取等号， 所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少． 此时A＝{x|－4<x<4}， 故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $