2.2 第1课时 基本不等式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第1课时　基本不等式 知识点一　基本不等式应用的条件 1．下列不等式的证明过程正确的是(　　) A．若a≠0，b≠0，则＋≥2＝2 B．若x∈R，y≠0，则＝|x|＋≥2 C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4 D．若x≠0，则x2＋≥2＝2 答案：D 解析：对于A，当a为负数时，与均为负数，故直接用基本不等式是错误的，A错误；对于B，若x∈R，y≠0，当x，y异号时，≠|x|＋，B错误；对于C，因为x<0，所以<0，所以x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时，等号成立)，C错误．故选D. 知识点二　直接利用基本不等式求最值 2．设x>0，y>0，x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案：C 解析：因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，所以xy的最大值为81. 3．已知实数a>0，则a＋＋3的最小值是(　　) A．3＋3 B．2＋3 C．6 D．5 答案：B 解析：因为a>0，所以a＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当a＝，即a＝时，等号成立，所以a＋＋3的最小值是2＋3.故选B. 4．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值是________． 答案： 解析：因为正数x，y满足x＋2y＝2，由基本不等式得x＋2y≥2，即2≥2，解得xy≤，当且仅当x＝2y，x＋2y＝2，即x＝1，y＝时，等号成立，所以xy的最大值是. 5．已知a>0，b>0，ab＝4，m＝b＋，n＝a＋，求m＋n的最小值． 解：因为m＝b＋，n＝a＋， 所以m＋n＝b＋＋a＋. 由ab＝4，得b＝，所以b＋＋a＋＝＋＋a＋＝＋≥2＝5， 当且仅当＝，即a＝2，b＝2时，等号成立， 所以m＋n的最小值是5. 知识点三　间接利用基本不等式求最值 6．若x>1，则x＋的最小值是(　　) A. B．2 C．3 D．2 答案：C 解析：x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以x＋的最小值为3.故选C. 7．已知0<x<，则y＝x(1－3x)的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为0<x<，所以1－3x>0，y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立，所以y＝x(1－3x)的最大值为.故选A. 8．设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 解：解法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18， 当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 解法二：由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，得＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18， 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 一、单项选择题 1．已知x＞2，则x＋的最小值为(　　) A．6 B.4 C.2 D.3 答案：A 解析：因为x>2，所以x－2>0，由基本不等式可知y＝x＋＝x－2＋＋2≥ 2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，故y＝x＋(x>2)的最小值为6.故选A. 2．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：D 解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时，等号成立．故选D. 3.(x>1)的最小值为(　　) A．2 B. C．4 D．2 答案：A 解析：当x>1时，x－1>0，＝＝x－1＋≥2＝2，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以(x>1)的最小值为2.故选A. 4．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 答案：C 解析：因为ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以A，B错误；因为≥＝1，所以a2＋b2≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以C正确；当a＝2，b＝0时，满足a＋b＝2，但a2＋b2＝4，所以D错误．故选C. 5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案：B 解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，∴0<x<8，∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝时，等号成立，此时x＝2，y＝1，所以x＋2y＝4.故选B. 6．已知x，y是正实数，且2x＋y＝1，则＋＋的最小值为(　　) A．16＋4 B．11＋2 C．12 D．7＋4 答案：B 解析：＋＋＝(2x＋y)＋(2x＋y)2＝11＋＋≥11＋2，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立．故选B. 7．设a>0，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为(　　) A．3 B．18 C. D. 答案：A 解析：因为(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋≤3，即＋的最大值为3. 8．设正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A. B．17 C．8＋4 D．16 答案：C 解析：由题意，知＝＝＝＋＋8≥2＋8＝8＋4，当且仅当＝，且a＋2b＝1，即a＝b＝时，等号成立．因此的最小值为8＋4.故选C. 二、多项选择题 9．下列说法错误的是(　　) A．x＋的最小值是2 B.(0<x<2)的最大值是1 C.＋的最小值是2 D．4－2x－(x>1)的最大值是0 答案：ACD 解析：对于A，当x<0时，x＋<0，最小值不是2，A错误；对于B，≤＝1，当且仅当x＝1时，等号成立，B正确；对于C，＋≥2，当且仅当＝1时，等号成立，这样的x不存在，C错误；对于D，原式可变形为4－，当x>0时，根据基本不等式，得2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时，等号成立，由于x>1，故上述不等式无法取等号，D错误．故选ACD. 10．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　) A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2 C．ab有最大值3＋2 D．ab有最小值3＋2 答案：AD 解析：由题意，得b＝，a＋b＝a＋＝a－1＋＋2≥2＋2(当且仅当a＝b＝＋1时，等号成立)，故A正确，B错误；ab＝＝a－1＋＋3≥3＋2(当且仅当a＝b＝＋1时，等号成立)，即ab有最小值3＋2，故C错误，D正确．故选AD. 11．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则(　　) A．16xy≤2 B.＋≥9 C．x2＋4y2≥ D．(x＋1)y≤ 答案：ABC 解析：对于A，因为x＋2y＝1≥2，则xy≤，当且仅当x＝2y，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以16xy≤2，故A正确；对于B，＋＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，故B正确；对于C，由A项分析可知xy≤，所以x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy≥1－4×＝，当且仅当x＝，y＝时，等号成立，故C正确；对于D，因为(x＋1)y＝(x＋1)·2y≤＝，当且仅当2y＝x＋1，x＋2y＝1，即x＝0，y＝时，等号成立，这与x，y均为正数矛盾，故(x＋1)y<，故D错误．故选ABC. 三、填空题 12．已知x>1，则的最大值为________． 答案： 解析：由x>1，得x－1>0，则＝＝≤＝，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，等号成立，所以的最大值为. 13．若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为________． 答案：2 解析：∵a>0，b>0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时，等号成立，∴＋＋b的最小值为2. 14．已知正数x，y满足2x＋y＝1，则的最小值是________． 答案：25 解析：因为2x＋y＝1，所以＝＝1＋＝1＋＋＝1＋(2x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当y＝2x，即y＝，x＝时，等号成立，因此的最小值是25. 15．已知a>b>0，＋＝4，则5a－4b的最小值为(　　) A. B．4 C. D．2 答案：D 解析：设5a－4b＝s(a－b)＋t(a＋b)＝(s＋t)a－(s－t)b，则解得则5a－4b＝(a－b)＋(a＋b)＝＝≥＝2，当且仅当＝，＋＝4，即a＝，b＝时，等号成立，所以5a－4b的最小值为2.故选D. 16．[多选]已知a>0，a2＋ab＝4，则下列结论一定正确的是(　　) A．5a＋b的最小值为8 B.＋的最小值为1 C．2a2＋2ab＋b2的最小值为4 D．3a2＋b2的最小值为8 答案：ABD 解析：因为a>0，a2＋ab＝4，所以a(a＋b)＝4，a＋b>0.对于A，因为a(a＋b)＝4，所以4a(a＋b)＝16，因为a＋b>0，a>0，所以5a＋b＝4a＋(a＋b)≥2＝2＝8，当且仅当4a＝a＋b，即a＝1，b＝3时，等号成立，故A正确；对于B，因为a＋b>0，a>0，所以＋＝＝≥＝1，当且仅当a＝a＋b，即a＝2，b＝0时，等号成立，故B正确；对于C，因为a>0，a2＋ab＝4，所以2a2＋2ab＝8，所以2a2＋2ab＋b2＝8＋b2≥8，故C错误；对于D，由a>0，a2＋ab＝4，得b＝－a，所以3a2＋b2＝3a2＋＝3a2＋－8＋a2＝4a2＋－8≥2－8＝8，当且仅当4a2＝，即a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD. 17．若x>0，y>0，x2＋y2＝xy(x2y2＋2)，则＋的最小值为________． 答案：2 解析：由x2＋y2＝xy(x2y2＋2)，得(x－y)2＝(xy)3，则两边同除以(xy)2，得＝xy，又因为＝＋4·＝xy＋≥2＝4，当且仅当xy＝，即或时，等号成立，所以＋≥＝2，即＋的最小值为2. 18．已知x＋y＝1，x>0，y＞0. (1)求x2＋y2＋xy的最小值； (2)求＋的最大值； (3)求x(1－3y)的最小值． 解：(1)∵x＋y＝1，x>0，y>0， ∴xy≤＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立， ∴x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1－xy≥1－＝， ∴x2＋y2＋xy的最小值为. (2)由(1)知，xy≤，则(＋)2＝x＋y＋2＝1＋2≤1＋2＝2， ∴＋≤，即＋的最大值为. (3)∵x＋y＝1，x>0，y>0， ∴x＝1－y，0<y<1， 则x(1－3y)＝(1－y)(1－3y)＝3y2－4y＋1＝3－， ∴当y＝时，x(1－3y)取得最小值－. 19．已知a，b，c为正实数，ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c. (1)求ab的最大值； (2)求c的最大值． 解：(1)解法一：因为a，b为正实数， 所以ab＝a＋2b≥2， 所以≥2，则ab≥8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时，等号成立．故ab的最大值为8. 解法二：因为a，b为正实数，ab＝a＋2b， 所以＋＝1， 所以ab＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝， 即a＝4，b＝2时，等号成立． 故ab的最大值为8. (2)由(1)知，ab－1≥7>0，故由abc＝a＋2b＋c，可得c＝＝＝1＋≤，当且仅当a＝4，b＝2时，等号成立．所以c的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $