5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 知识点一　平移变换 1．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　) A．y＝cos2x 　 B．y＝1＋cos2x C．y＝1＋sin 　 D．y＝cos2x－1 答案：B 解析：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，即y＝sin＝cos2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y＝1＋cos2x. 2．为了得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：C 解析：y＝sinx＝cos的图象y＝cos＝cos的图象．故选C. 3．[多选]将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上所有的点向左平移个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值可能为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 答案：ACD 解析：将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上所有的点向左平移个单位长度，得g(x)＝sin＝sin的图象，若所得图象与原图象重合，则g(x)＝f(x), 即ω＝2kπ，k∈Z，故ω＝4k，k∈Z.结合选项，可知ω的值可能为4，8，12，不可能为6.故选ACD. 知识点二　伸缩变换 4．为了得到y＝cos4x的图象，只需把余弦曲线y＝cosx上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案：B 解析：因为ω＝4>1，因此只需把余弦曲线y＝cosx上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 5．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：D 解析：把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象． 6．将函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为________和________． 答案：　－ 解析：依据图象变换可得函数g(x)＝sin.因为x∈，所以4x＋∈，所以当4x＋＝时，g(x)取得最大值，当4x＋＝时，g(x)取得最小值－. 知识点三　图象变换的综合应用 7．[多选]要得到函数y＝cosx的图象，只需将函数y＝sin图象上所有的点(　　) A．向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) B．向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度 答案：BC 解析：对于A，将y＝sin的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin＝sin2x的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin4x的图象，故A错误；对于B，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin＝cos2x的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝cosx的图象，故B正确；对于C，将y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin＝cosx的图象，故C正确；对于D，将y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得y＝sin＝sin(4x－π)＝－sin4x的图象，故D错误．故选BC. 8．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，关于y轴对称． (1)求函数f(x)的解析式； (2)说明其图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝3sin＝ 3sin. 因为图象平移后关于y轴对称， 所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)， 因为φ∈，所以φ＝. 所以f(x)＝3sin. (2)将函数y＝sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图象，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin的图象． 9．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象； (3)函数f(x)的图象经过怎样的变换可以得到函数y＝sinx的图象？写出变换过程． 解：(1)ω＝＝＝2. (2)由(1)可知f(x)＝sin.列表： 2x－ 0 π 2π x sin 0 1 0 －1 0 作图(如图所示)． (3)将函数f(x)＝sin图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象，将函数y＝sin图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sinx的图象． 一、单项选择题 1．将正弦曲线向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：A 解析：y＝sinx的图象y＝sin的图象 y＝2sin的图象． 2．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：D 解析：y＝cos＝sin＝sin，故要得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度． 3．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　) 答案：A 解析：将y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将所有点向右平移个单位长度即得y＝sin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π，得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图象． 4．若函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，恰好得到函数g(x)＝cos的图象，则φ的值可能为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为g(x)＝cos＝sin＝sin，将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得g(x)＝sin＝sin的图象，所以3φ－＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝；当k≥1(k∈Z)时，φ≥π；当k≤－1(k∈Z)时，φ≤－，结合题意和选项，可知只有D正确． 5．已知函数f1(x)＝cos，f2(x)＝cos，把f1(x)与f2(x)的图象作以下三种变换： ①先把f1(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)； ②先把f1(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移个单位长度； ③先把f2(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)． 在以上三种变换中，能使f1(x)与f2(x)的图象重合的变换的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：对于①，先把f1(x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象，故不重合；对于②，先把f1(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象，故重合；对于③，先把f2(x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象，故重合．故选C. 6．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))的图象按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得到g(x)＝sinx的图象，则f(x)＝(　　) A.sin－1 B.sin＋1 C．3sin＋1 D．3sin－1 答案：A 解析：将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象向左平移个单位长度，得到y＝Asin＋B＝Asin＋B的图象，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到y＝Asin＋B的图象，然后向上平移1个单位长度，得到y＝Asin＋B＋1的图象，最后将纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，得到y＝3＝sinx的图象，则又φ∈(0，2π)，解得A＝，B＝－1，ω＝，φ＝，则f(x)＝sin－1.故选A. 7．对于函数f(x)＝sin，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到 B．函数f(x)的图象可以由函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到 C．若a≠b且f(a)＝f(b)＝0，则|a－b|的最小值为 D．若f为偶函数，则φ＝kπ＋，k∈Z 答案：C 解析：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，所以A不正确；将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝sin的图象，所以B不正确；因为函数f(x)的周期为π，所以a≠b且f(a)＝f(b)＝0，当|a－b|取最小值时，a，b为f(x)相邻的两个零点，故|a－b|的最小值为T＝，所以C正确；若f为偶函数，可得函数f＝sin，φ－＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，所以D不正确．故选C. 8．将函数f(x)＝cos＋(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：函数f(x)＝cos＋＝sinωx－2×＋＝sinωx－cosωx＝2sin，将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝2sin＝2sinωx的图象，所以g(x)＝2sinωx.因为0≤x≤，ω>0，所以0≤ωx≤ω，又y＝g(x)在上为增函数，根据y＝sinx的单调性可知0<ω≤，解得0<ω≤2，所以ω的最大值为2.故选B. 二、多项选择题 9．要得到y＝sin的图象，可以将函数y＝sinx图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 答案：BD 解析：将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象；也可以将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象，再向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象．故选BD. 10．将函数f(x)＝2sinωxcos－1(ω>0)的图象向左平移个单位长度后对应的函数为奇函数，则ω的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案：AC 解析：f(x)＝2sinωx－1＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－1＝sin2ωx－cos2ωx＝sin，f(x)的图象向左平移个单位长度后得g(x)＝sin＝sin的图象，又函数g(x)为奇函数，所以－＝kπ，k∈Z，解得ω＝4k＋1，k∈Z.所以ω的值可能为1，5.故选AC. 11．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin能构成“和谐”函数的是(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin－2 答案：BD 解析：g(x)＝sin.对于A，f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的得到的，函数f(x)的图象经过平移后不会与函数g(x)的图象重合，故A不符合题意；同理，对于C，函数f(x)的图象经过平移后不会与函数g(x)的图象重合，故C不符合题意；对于B，函数f(x)的图象向左平移π个单位长度，可以得到函数g(x)的图象，即经过平移后，f(x)与g(x)的图象可以重合，故B符合题意；对于D，函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度，即可得到函数g(x)的图象，即经过平移后，f(x)与g(x)的图象可以重合，故D符合题意．故选BD. 三、填空题 12．将函数y＝sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________． 答案：y＝sinx 解析：y＝sin2x的图象y＝sinx的图象y＝sinx的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sinx. 13．为了得到函数y＝sin的图象，可将函数y＝sin3x的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是________． 答案： 解析：因为sin[3(x＋m)]＝sin[3(x－n)]＝sin，所以3m＝＋2k1π，－3n＝＋2k2π，k1，k2∈Z，k1≥0，k2≤－1，得m＝＋，n＝－－，k1，k2∈Z，k1≥0，k2≤－1，所以|m－n|＝，k∈Z，当k＝0时，|m－n|的最小值是. 14．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)与g(x)＝2cos＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝________；若将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度所得图象对应的函数是偶函数，则φ＝________． 答案：2　 解析：函数f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，则两个函数的最小正周期相同，所以ω＝2，f(x)＝3sin.y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度所得图象对应的函数为y＝f(x＋φ)＝3sin，要使它为偶函数，则2φ－＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z.因为0<φ<，所以φ＝. 15．将曲线f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)向左平移θ个单位长度后得到曲线y＝g(x)，如图所示，若图中阴影部分的面积为π，则φ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：由题设，易知θ×4＝π，可得θ＝，则g(x)＝2cos，由题图知g＝2cos＝0，且f＝2cos＝2，则＝＝，故ω＝2，所以2×＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，故φ＝－.故选A. 16．[多选]已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的两个相邻零点间的距离为π，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B．函数f(x)在区间[0，π]上单调递减 C．g(x)＝2sin D．函数g(x)在区间[－π，2π]内的零点个数为3 答案：CD 解析：对于A，由题意知函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝＝1，f(x)＝2sin，令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的图象关于直线x＝＋kπ，k∈Z对称，故A错误；对于B，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故B错误；对于C，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin的图象，故C正确；对于D，令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，则函数g(x)在区间[－π，2π]内的零点有－，，，共3个，故D正确．故选CD. 17．已知函数f(x)＝sin，将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到的图象对应的函数为g(x)，若函数F(x)＝f(x)＋g(x)的最大值是一个小于1的正数，写出一个符合条件的φ＝________． 答案：(答案不唯一) 解析：因为f(x)＝sin，根据已知条件有g(x)＝sin＝sin，所以F(x)＝sin＋sin＝sin＋sin＝2sincosφ，因为函数F(x)的最大值是一个小于1的正数，所以0<2|cosφ|<1时，满足题意，所以满足上式的φ都符合题意，如φ＝等． 18．设函数f(x)＝sin＋sin2x－cos2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴； (2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在上的值域． 解：(1)f(x)＝sin＋sin2x－cos2x－＝sin2xcos＋cos2xsin－cos2x－＝sin2x－cos2x－＝sin－， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. 由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z. (2)由题意可得g(x)＝sin－＋1＝sin＋＝－cos2x＋. 因为x∈， 所以2x∈， 所以cos2x∈， 所以－cos2x＋∈， 所以g(x)的值域为. 19．已知函数f(x)＝2sinsinx－2cos2x＋. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若关于x的方程f(x)＋g(x)－a＝0在上有2个不相等的实数解，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝2sinsinx－2cos2x＋＝2cosxsinx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝2sin， 所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)依题意，得g(x)＝2sin＝2sin2x，方程f(x)＋g(x)－a＝0在上有2个不等的实数解， 即方程f(x)＋g(x)＝a在上有2个不等的实数解． 令h(x)＝f(x)＋g(x)＝2sin＋2sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin， 因为x∈， 所以2x－∈， 令t＝2x－，作出函数y＝2sint， t∈的图象，如图， 由图可知，若关于x的方程f(x)＋g(x)－a＝0在上有2个不相等的实数解， 则a∈[，2)． 所以实数a的取值范围为[，2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $