2.1 第2课时 不等式的性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　不等式的性质 知识点一　用不等式的性质判断命题真假 1．下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，则ac>bc B．若a>b，则a2>b2 C．若a<b<0，则ab>b2 D．若a<b<0，则ab>a2 答案：C 解析：对于A，当c＝0时，ac＝bc，故A是假命题；对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2<b2，故B是假命题；对于C，∵a<b，b<0，∴ab>b2，故C是真命题；对于D，∵a<b，a<0，∴a2>ab，故D是假命题．故选C. 2．下列命题为假命题的是(　　) A．若a<b<0，则<1 B．若a>|b|，则a2>b2 C．若a>b>－1，则< D．若a>b>0且c<0，则> 答案：A 解析：对于A，因为a<b<0，所以>1，故A是假命题；对于B，若a>|b|，则a为正数，两边平方，得a2>b2，故B是真命题；对于C，因为a>b>－1，所以a＋1>b＋1>0，所以<，故C是真命题；对于D，因为a>b>0，所以a2>b2>0，所以0<<，又c<0，所以>，故D是真命题．故选A. 知识点二　用不等式的性质比较大小 3．已知a＜b＜|a|，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．|b|＜－a B．ab＞0 C．ab＜0 D．|a|＜|b| 答案：A 解析：由条件a<b<|a|，知a＜0，∴|a|＝－a，∴a<b<－a，∴|b|<|a|＝－a.故选A. 4．若x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＝N B．M＜N C．M≤N D．M＞N 答案：B 解析：∵x＞0，y＞0，∴1＋x＋y＞1＋x＞0，1＋x＋y＞1＋y＞0，∴＜，＜，故M＝＝＋＜＋＝N，即M＜N.故选B. 知识点三　用不等式的性质证明不等式 5．(1)已知a＜b＜0，求证：＜； (2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0. 证明：(1)证法一：∵a<b<0，∴－a>－b>0， ∴0<－<－，　① ∵0<－b<－a，　② ①②相乘，得<. 证法二：－＝＝， ∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴＜0，故＜. (2)∵＜，∴－＜0，即＜0， 又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0. 6．若a>b>0，c<d<0，证明：>. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0， 则有0<<， 又a>b>0，∴>. 知识点四　用不等式的性质求取值范围 7．已知12＜a＜60，15＜b＜36，求的取值范围． 解：∵15＜b＜36，∴＜＜， 又12＜a＜60，∴＜＜，∴＜＜4. 8．已知1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2，求10a－5b的取值范围． 解：令10a－5b＝x(2a＋b)＋y(a－2b)＝(2x＋y)a＋(x－2y)b， 则解得 ∴10a－5b＝3(2a＋b)＋4(a－2b)． ∵1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2， ∴3≤3(2a＋b)≤12，－4≤4(a－2b)≤8， ∴－1≤3(2a＋b)＋4(a－2b)≤20， 即－1≤10a－5b≤20. 一、单项选择题 1．已知a>b>0，c>d>0，则(　　) A．a＋d>b＋c B．a－d>c－b C．ac2>bc2 D．ad>bc 答案：C 解析：对于A，B，若a＝2，b＝1，c＝3，d＝2，则a＋d＝b＋c，a－d<c－b，故A，B错误；对于C，由题意知c2>0，则ac2>bc2，故C正确；对于D，若a＝1.1，b＝1，c＝3，d＝2，ad<bc，故D错误．故选C. 2．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．0<α－β<1 答案：A 解析：因为－1<α<β<1，所以所以－2<α－β<0.故选A. 3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是(　　) A.< B.>0 C.> D.a|c|>b|c| 答案：C 解析：当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但>，A不恒成立；当c＝0时，＝0，B不恒成立；因为>0，a>b，所以>，故C恒成立；当c＝0时，a|c|＝b|c|，D不恒成立．故选C. 4．下列命题中正确的是(　　) A．若a＞b，则an>bn(n∈N) B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1 C．若a＞b＞0，m＞0，则＜ D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 答案：C 解析：对于A，当a＝－2，b＝－3，n＝2时，(－2)2<(－3)2，故A错误；对于B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故B错误；对于C，因为a＞b＞0，所以＜，又m＞0，从而＜，故C正确；对于D，当a＝－1，b＝－2，c＝－3，d＝－4时，ac<bd，故D错误．故选C. 5．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞＞ B.＞＞a C.＞a＞ D.＞＞a 答案：D 解析：由题意，知＞0，b2>1，则＞a，且＜0，所以＞＞a.故选D. 6．已知a，b，c均为正实数，若＜＜，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a 答案：A 解析：∵＜，∴c(b＋c)＜a(a＋b)，bc＋c2＜a2＋ab，移项后因式分解，得(a－c)(a＋b＋c)＞0，∵a，b，c均为正实数，∴a＞c，同理可得b＞a，∴c＜a＜b.故选A. 7．已知3<a＋b<4，1<a－b<2，则2ab的取值范围是(　　) A．4<2ab<18 B．2<2ab<9 C．5<2ab<15 D.<2ab< 答案：D 解析：因为所以即所以 则5<4ab<15，所以<2ab<.故选D. 8．已知a，b为正实数，且a2－b2＝1，则(　　) A．a－b<0 B．a－b<1 C．a4－b4<1 D.－>1 答案：B 解析：对于A，因为a2－b2＝1>0，故a2>b2，又a>0，b>0，所以a>b，从而a－b>0，故A错误；对于B，由题意可知，a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝1，因为a>b>0，所以a－b＝<a＋b，故(a＋b)2>1，即a＋b>1，从而a－b＝<1，故B正确；对于C，因为a2－b2＝1，所以a2＝1＋b2，所以a4－b4＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a2＋b2＝1＋b2＋b2＝1＋2b2>1，故C错误；对于D，因为()2－(＋1)2＝a－b－1－2<0，所以<＋1，即－<1，故D错误．故选B. 二、多项选择题 9．下列四个命题中正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则a－d>b－c B．若a2x≥a2y，则x≥y C．若a>b，则> D．若<<0，则ab<b2 答案：AD 解析：对于A，由c>d可得－d>－c，又a>b，所以a－d>b－c，故A正确；对于B，当a2＝0时，对任意x，y都有a2x≥a2y，所以得不出x≥y，故B不正确；对于C，取a＝2，b＝－1，则a>b，但<，故C不正确；对于D，<<0，则b<a<0，所以ab<b2，故D正确．故选AD. 10．若0<a<b<1，则下列不等式一定成立的是(　　) A.＋>1 B.< C．a2＋b2<1 D．0<b－a<1 答案：ABD 解析：对于A，因为0<a<b<1，所以>1，>1，所以＋>2，故＋>1，故A正确；对于B，因为0<a<b<1，所以a－b<0，所以－＝＝<0，所以<，故B正确；对于C，因为0<a<b<1，所以0<a2<1，0<b2<1，所以0<a2＋b2<2，故C错误；对于D，因为0<a<b<1，所以－1<－a<0，b－a>0，故0<b－a<1，故D正确．故选ABD. 11．若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是(　　) A.＞ B．a＋＞b＋ C．a＋＞b＋ D.＞ 答案：AD 解析：∵a>b>0，则－＝＝<0，∴>一定不成立．∵a＋－b－＝(a－b)，当ab>1时，a＋－b－>0；当ab＝1时，a＋－b－＝0；当0<ab<1时，a＋－b－<0，∴a＋>b＋可能成立．∵a＋－b－＝(a－b)>0，∴a＋>b＋恒成立．∵－＝<0，∴>一定不成立．故选AD. 三、填空题 12．给出下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，其中能推得＜成立的是________． 答案：①②④ 解析：∵＜⇔＜0，∴①②④能使它成立． 13．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________． 答案：＋≥＋ 解析：＋－＝.因为a2b2＞0，所以只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．a3＋b3－ab2－a2b＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以＋≥＋. 14．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－3y的取值范围为________． 答案：－6≤9x－3y≤9 解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，则解得∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9. 15．[多选]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列命题正确的是(　　) A．以，，为边长的三角形一定存在 B．以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在 C．以，，为边长的三角形一定存在 D．以ab，bc，ca为边长的三角形一定存在 答案：AC 解析：不妨设a≥b≥c>0，则b＋c>a.对于A，(＋)2－()2＝b＋c－a＋2>0，所以＋>，所以以，，为边长的三角形一定存在，故A正确；对于B，b2＋c2－a2＝(b＋c)2－2bc－a2>0不一定成立，因此以a2，b2，c2为边长的三角形不一定存在，故B不正确；对于C，＋－＝c>0，因此以，，为边长的三角形一定存在，故C正确；对于D，取a＝5，b＝4，c＝2，满足b＋c>a，而ac＋bc<ab，因此以ab，bc，ca为边长的三角形不一定存在，故D不正确．故选AC. 16．已知正数x，y，z满足3x＋2y＋2z≥4或x＋3y＋3z≥3，记M＝max{x，y，z}(M为x，y，z中的最大者)，则M的最小值为________． 答案： 解析：若3x＋2y＋2z≥4，由M＝max{x，y，z}，可得所以7M≥3x＋2y＋2z≥4，即M≥；若x＋3y＋3z≥3，则所以7M≥x＋3y＋3z≥3，即M≥.故M的最小值为. 17．已知实数a>b>0，且满足a2b＋＝4b，则a＋2b＝________． 答案：2 解析：当a≥2时，a2b≥4b，又a>b>0，∴>0，则a2b＋>4b，不符合题意；当0<a<2时，由a2b＋＝4b，得a2b(a－b)－4b(a－b)＋1＝0，整理成关于b的一元二次方程，即(a2－4)b2＋(4a－a3)b－1＝0　①，判别式Δ＝(4a－a3)2＋4(a2－4)＝a2(a2－4)2＋4(a2－4)＝(a2－2)2(a2－4)，当0<a<2时，(a2－2)2≥0，a2－4<0，∴Δ≤0，又方程①有解，∴Δ＝0，即(a2－2)2(a2－4)＝0，即a2－2＝0，又0<a<2，∴a＝，将a＝代入方程①，得－2b2＋2b－1＝0，解得b＝，∴a＋2b＝＋2×＝2. 18．(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤； (2)已知a>1，求证：a＋2>. 证明：(1)证法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad. ∵bd＞0，∴≥， ∴＋1≥＋1，即≤. 证法二(作差比较)： －＝＝， ∵ad－bc≤0，bd＞0， ∴≤0，∴≤. (2)∵a>1，∴>0. (a＋2)－＝＝. 又a2＋a＋1＝＋≥>0， ∴>0，即a＋2>. 19．已知若a>0，b>0，则＋≤. (1)若存在常数M，使得不等式＋≤M≤＋对任意正数a，b恒成立，试求常数M的值，并证明不等式M≤＋； (2)已知a>0，b>0，证明不等式＋≤＋成立． 解：(1)当a＝b时，≤M≤，故M＝. 由＋＝＋ ＝2－2， 且＋≤，利用不等式的性质，得 ≤＋. (2)证明：欲证＋≤＋， 只需证－≤－， 即证≤. ①当a＝b时，显然不等式≤成立． ②当a≠b时，不妨令a>b，即a－b>0， 故≤⇔3a＋2b≥2a＋3b， 由于a>b，显然3a＋2b≥2a＋3b成立， 故原不等式＋≤＋成立； 同理，当a<b时，原不等式＋≤＋也成立． 综上所述，对任意a>0，b>0，不等式＋≤＋成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $