5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 知识点一　两角和与差的余弦公式的应用 1．sin7°cos37°－sin83°cos53°＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：A 解析：sin7°cos37°－sin83°cos53°＝cos83°cos37°－sin83°sin37°＝cos(83°＋37°)＝cos120°＝－.故选A. 2．已知<α<π，tanα＝－，则cos的值是(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：B 解析：∵<α<π，tanα＝－，∴sinα＝，cosα＝－.∴cos＝cosαcos－sinαsin＝－×－×＝－. 3．已知sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，求角α＋β的值． 解：因为＜α＜，所以－＜－α＜0. 因为＜β＜，所以＜＋β＜. 由已知可得cos＝，cos＝－， 则cos(α＋β)＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝－. 因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 知识点二　两角和与差的正弦公式的应用 4．sin20°cos40°＋sin70°cos50°＝________． 答案： 解析：原式＝sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin(20°＋40°)＝sin60°＝. 5．已知cosθ＝，则sin的值为________，sin的值为________． 答案：　 解析：因为cosθ＝，所以sinθ＝＝，所以sin＝sinθcos＋cosθsin＝×＝.sin＝sinθcos－cosθsin＝×－×＝. 6．已知0＜α＜＜β＜π，sinα＝，sin(α＋β)＝，求sinβ的值． 解：由0＜α＜＜β＜π，得＜α＋β＜， 又sinα＝，sin(α＋β)＝， ∴cosα＝，cos(α＋β)＝－， ∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝. 知识点三　两角和与差的正切公式的应用 7．[多选]若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α，β的值可能为(　　) A.， B.， C.， D.， 答案：AB 解析：由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，得1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，∴＝，即tan(α＋β)＝.又α，β都是锐角，∴α＋β＝.故A，B符合，C，D不符合．故选AB. 8．求下列各式的值： (1)tan；(2)； (3)； (4)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°. 解：(1)原式＝tan＝ ＝＝2－. (2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝. (3)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1. (4)∵tan45°＝tan(12°＋33°)＝＝1， ∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°tan33°. ∴tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1. 一、单项选择题 1.＝(　　) A. B．1 C. D. 答案：A 解析：＝ ＝＝＝.故选A. 2．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：C 解析：∵α为钝角，且sin＝，∴cos＝－，∴cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝－. 3．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(3，4)，若将角α的终边绕原点顺时针旋转得到角β，则sinβ＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意得cosα＝，sinα＝，则sinβ＝sin＝sinαcos－cosαsin＝×－×＝.故选C. 4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α＝ (　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．又α为锐角，∴α＝－＝. 5．已知α，β∈，若sin＝，cosβ＝，则cos(α＋β)＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：A 解析：由诱导公式得sin＝cosα＝，因为α，β∈，cosα＝，cosβ＝，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.故选A. 6．已知α，β∈，cos(α－β)＝，tanαtanβ＝4，则α＋β＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由已知可得解得∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－，∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故选D. 7．已知角α的终边经过点P(3，1)，β∈，且sin(α＋β)＝，则sinβ＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为角α的终边经过点P(3，1)，所以sinα＝，cosα＝，因为β∈，α∈(k∈Z)，所以α＋β∈(k∈Z)，又sin(α＋β)＝，所以cos(α＋β)＝－＝－，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.故选A. 8．若2sinβsin＝sin，则tan(α＋β)＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：A 解析：解法一：由题意得2sinβ＝sin(α－β)＋cos(α－β)，所以2sinαsinβ－2cosαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ，即sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝0，即sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝0，显然cos(α＋β)≠0，故tan(α＋β)＝－1.故选A. 解法二：令α－＝θ，则α＝＋θ，所以2sinβ·sin＝sin可化为2sinβsinθ＝sin，即2sinβsinθ＝cos(θ－β)，所以2sinβsinθ＝cosθcosβ＋sinθsinβ，即cosθcosβ－sinθsinβ＝0，所以cos(θ＋β)＝0，则θ＋β＝＋kπ，k∈Z，所以tan(α＋β)＝tan＝tan＝tan＝－1(k∈Z)．故选A. 二、多项选择题 9．对任意的锐角α，β，下列不等关系恒成立的是(　　) A．sin(α＋β)<cosα＋cosβ B．cos(α＋β)<sinα＋sinβ C．sin(α－β)<cosα＋cosβ D．cos(α－β)<sinα＋sinβ 答案：AC 解析：对于A，若sin(α＋β)<cosα＋cosβ，则sinαcosβ＋cosαsinβ<cosα＋cosβ，整理可得，(sinβ－1)cosα<(1－sinα)cosβ，对任意的锐角α，β，(sinβ－1)cosα<0<(1－sinα)cosβ恒成立，故A符合题意；对于B，当α＝β＝0.0001°时，cos(α＋β)≈1，sinα＋sinβ≈0，1>0，故B不符合题意；对于C，若sin(α－β)<cosα＋cosβ，则sinαcosβ－cosαsinβ<cosα＋cosβ，整理可得，(sinα－1)cosβ<(1＋sinβ)cosα，对任意的锐角α，β，(sinα－1)cosβ<0<(1＋sinβ)cosα恒成立，故C符合题意；对于D，当α＝β＝30°时，cos(α－β)＝1，sinα＋sinβ＝＋＝1，1＝1，故D不符合题意．故选AC. 10．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，则sin的值可能为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：BD 解析：依题意，sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，即sinβ＝－，显然β是第三象限角或第四象限角，所以cosβ＝－或cosβ＝.当cosβ＝－时，sin＝－sin＝－(sinβ＋cosβ)＝；当cosβ＝时，sin＝－sin＝－(sinβ＋cosβ)＝－.所以sin的值可能为，－.故选BD. 11．已知α，β∈，若cos(α－β)＝，tan(α＋β)＋tanα＋tanβ＝0，则(　　) A．tanαtanβ＝ B．cosαcosβ＝ C．sinαsinβ＝ D．cos(α＋β)＝ 答案：BC 解析：因为tan(α＋β)＋tanα＋tanβ＝0，所以＋tanα＋tanβ＝0，所以(tanα＋tanβ)·＝0，又因为α，β∈，所以tanαtanβ＝2，即＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ＝，所以cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－.故选BC. 三、填空题 12．sin＝________． 答案： 解析：sin＝－sin＝－sin＝sin＝sin＝sincos－cossin＝. 13．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________． 答案： 解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝. 14．已知π<α<α＋β<2π，且满足cosα＝－，cos(α＋β)＝，则β＝________． 答案： 解析：∵cosα＝－，cos(α＋β)＝，且π<α<α＋β<2π，∴sinα＝－，sin(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－.又π<α<α＋β<2π，∴0<β<π，∴β＝. 15．已知4sinα＝sin(α＋2β)，tanβ＝，则tanα＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由已知可得4sin(α＋β－β)＝sin(α＋β＋β)，即4sin(α＋β)cosβ－4cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ，则tan(α＋β)＝tanβ＝1，所以tanα＝tan(α＋β－β)＝＝＝.故选C. 16．[多选]在△ABC中，已知A为钝角，那么下列关系可能成立的是(　　) A．sinA<cosB B．sinA>cosB C．sinA＝cosB D．cosA>sinB 答案：ABC 解析：由题意，A为钝角，故<A<π，sinA>0，cosA<0，而B＝π－(A＋C)，∴cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)，sinA－cosB＝sinA－[－cos(A＋C)]＝sinA＋cos(A＋C)＝sinA＋cosAcosC－sinAsinC＝sinA(1－sinC)＋cosAcosC，∵C∈，∴0<sinC<1，0<cosC<1，又sinA>0，1－sinC>0，故sinA(1－sinC)>0，cosAcosC<0，当|sinA(1－sinC)|>|cosAcosC|时，sinA>cosB，B成立；当|sinA(1－sinC)|＝|cosAcosC|时，sinA＝cosB，C成立；当|sinA(1－sinC)|<|cosAcosC|时，sinA<cosB，A成立；由于0<B<，故sinB>0，cosA<sinB，D不成立．故选ABC. 17．求值：＝________． 答案：2－ 解析：＝＝ ＝ ＝＝＝＝＝＝2－. 18．(1)已知<β<α<，sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值； (2)已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解：(1)∵<β<α<， ∴0<α－β<，π<α＋β<. ∴cos(α－β)＝＝， cos(α＋β)＝－＝－， ∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)] ＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝×＋×＝－. (2)∵tan(α－β)＝，tanβ＝－， ∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝＜1. ∵α∈(0，π)，∴0＜α＜，∴0＜2α＜. 又tanβ＝－＜0，β∈(0，π)， ∴＜β＜π，∴－π＜2α－β＜0. 又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝＝＝1， ∴2α－β＝－. 19．已知5sinx＋5cosx＝6，siny＋cosy＝1，且x∈，y∈，求cos(x＋y)的值． 解：由5sinx＋5cosx＝6，得10＝6， 所以sin＝. 由siny＋cosy＝1， 得2＝1， 所以sin＝. 因为x∈，y∈， 所以x＋∈，y＋∈. 所以cos＝＝＝， 同理可得，cos＝－. 所以cos(x＋y)＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝. 10 学科网（北京）股份有限公司 $