第1章 专项训练1 集合的新定义-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 专项训练1　集合的新定义 一、单项选择题 1．已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其“累积值”即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的“累积值”为n.若n＝3，则这样的集合A的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：若n＝3，根据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1，3}，这样的集合A共有2个．故选B. 2．定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}．设集合A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，则集合A◇B的真子集的个数为(　　) A．32 B．31 C．30 D．15 答案：B 解析：因为A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，所以A◇B＝{2，3，4，5，6}，由于集合A◇B中共有5个元素，则集合A◇B的真子集的个数为25－1＝31.故选B. 3．定义非空数集M的“和睦数H”如下：将M中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合{1，2，3，4，5}的“和睦数”是5＋4－3＋2－1＝7，{2，4}的“和睦数”是4＋2＝6，{1}的“和睦数”是1.对于集合A＝，其所有子集的“和睦数”的总和为(　　) A．82 B．74 C．12 D．70 答案：A 解析：由题意可得A＝{1，2，3，6}，非空子集有15个．当子集为单元素集{1}，{2}，{3}，{6}时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；当子集为双元素集{1，2}，{1，3}，{1，6}，{2，3}，{2，6}，{3，6}时，“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；当子集为三元素集{1，2，3}，{1，2，6}，{1，3，6}，{2，3，6}时，“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；当子集为四元素集{1，2，3，6}时，“和睦数”为6＋3－2＋1＝8.故“和睦数”的总和为12＋36＋26＋8＝82.故选A. 4．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝，记A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．则下列等式成立的是(　　) A．A∪B＝A B．A∩B＝A C．A－B＝{1，2} D．B－A＝∅ 答案：C 解析：由∈N可得6－x的可能取值有1，2，3，6，即x＝5，4，3，0，均满足x∈N，故B＝{5，4，3，0}．对于A，A∪B＝{0，1，2，3，4，5}≠A，故A不符合题意；对于B，A∩B＝{3，4，5}≠A，故B不符合题意；对于C，因为A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，所以A－B＝{1，2}，故C符合题意；对于D，依题意有，B－A＝{x|x∈B，且x∉A}，则B－A＝{0}≠∅，故D不符合题意．故选C. 5．我们称数集T为数域T，当且仅当数集T中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法(除数不为0)四则运算后，其运算结果仍在数集T中，则下列数集能称作数域的是(　　) A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 答案：C 解析：对于A，1－2＝－1不在自然数集里，故A不符合题意；对于B，不是整数，故B不符合题意；对于C，有理数经过加法、减法、乘法、除法四则运算后，仍为有理数，故C符合题意；对于D，×＝2不在无理数集里，故D不符合题意．故选C. 6．对于非空集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(ai≥0，i＝1，2，3，…，n)，其所有元素的几何平均数记为E(A)，即E(A)＝.若非空数集B满足下列两个条件：①BA；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“保均值真子集”，则集合A＝{1，2，4，8，16}的“保均值真子集”的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为A＝{1，2，4，8，16}，则E(A)＝＝4，所以集合A＝{1，2，4，8，16}的“保均值真子集”有{4}，{1，16}，{2，8}，{1，4，16}，{2，4，8}，{1，2，8，16}，共6个．故选C. 7．记R(A)为非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则R(S)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由定义，得R(A)＝2，又A*B＝1，则R(B)＝1或R(B)＝3，由方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0，得x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0，当R(B)＝1时，方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0只有一个实数根，而方程x2＋ax＝0有一根为0，则另一根必为0，即－a＝0，此时x2＋ax＋2＝0无实根，因此a＝0；当R(B)＝3时，必有a≠0，方程x2＋ax＝0有两个不相等的实数根x1＝0，x2＝－a，并且x1＝0，x2＝－a都不是方程x2＋ax＋2＝0的根，显然方程x2＋ax＋2＝0有两个相等的实数根，且异于x1＝0，x2＝－a，于是Δ＝a2－8＝0，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0的根为0，－2，－，满足题意，当a＝－2时，方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0的根为0，2，，满足题意，因此a＝2或a＝－2，所以S＝{0，2，－2}，R(S)＝3.故选C. 8．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　) A．77 B．49 C．45 D．30 答案：C 解析：因为A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)，(－1，0)}，则集合A中有5个元素，即5个点，如图中黑点所示，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内部及正方形ABCD边上的整点，所以x1＋x2＝－3或－2或－1或0或1或2或3，共7个值，y1＋y2＝－3或－2或－1或0或1或2或3，共7个值，所以A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作下图中正方形A1B1C1D1内部及正方形A1B1C1D1边上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45(个)．故选C. 二、多项选择题 9．若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m(m≤n)个元素的子集，称为S的m子集．若在n数集S的任何一个t(4≤t≤n)子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得a＋b＝c＋d，则称该S的t子集为S的等和子集．下列结论正确的是(　　) A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合C＝{1，5，6，9，11}，则集合C没有等和子集 D．若集合D＝{1，2，3，4，6}，则集合D的等和子集有2个 答案：ABC 解析：3数集A有23－2＝6个非空真子集，A正确；假设B＝{x，y，z，p}，则B的2子集有{x，y}，{x，z}，{x，p}，{y，z}，{y，p}，{z，p}，共6个，B正确；因为在集合C中不存在4个不同的数a，b，c，d，使得a＋b＝c＋d，所以C没有等和子集，C正确；集合D的等和子集有{1，2，3，4}，{1，3，4，6}，{1，2，3，4，6}，共3个，D错误．故选ABC. 10．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合．下列说法中不正确的是(　　) A．集合M＝{－2，－1，0，1，2}为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 答案：ABD 解析：对于A，由于－2，－1∈M，但是(－2)＋(－1)＝－3∉M，故集合M＝{－2，－1，0，1，2}不为闭集合，故A不正确；对于B，对于正整数集N＋，有1，2∈N＋，但是1－2＝－1∉N＋，故B不正确；对于C，任取n1，n2∈M，则n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则(k1＋k2)，(k1－k2)，(k2－k1)∈Z，所以n1＋n2＝3(k1＋k2)∈M，n1－n2＝3(k1－k2)∈M，n2－n1＝3(k2－k1)∈M，故集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合，故C正确；对于D，由C项分析可得A1＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合，同理A2＝{n|n＝2k，k∈Z}为闭集合，所以A1∪A2＝{n|n＝3k，或n＝2k，k∈Z}，则有2，3∈A1∪A2，但2＋3＝5∉A1∪A2，所以A1∪A2不为闭集合，故D不正确．故选ABD. 11．设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a>0，都存在x∈X，使得0<|x－x0|<a，称x0为集合X的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合是(　　) A．{x|x∈R，x≠0} B．{x∈Z|x≠0} C. D. 答案：AC 解析：对于A，对任意a>0，都存在x＝，使得0<|x－0|＝<a，所以0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；对于B，对于某个实数a>0，比如a＝0.5，此时对任意x∈{x∈Z|x≠0}，都有|x－0|≥1，也就是说不可能有0<|x－0|<0.5，从而0不是集合{x∈Z|x≠0}的聚点；对于C，对任意a>0，都存在n>，即<a，使得0<|x－0|＝<a，所以0是集合的聚点；对于D，因为＝1－，随着n的增大而增大，的最小值为＝，故当a<时，不存在x，使得0<|x－0|<a，所以0不是集合的聚点．故选AC. 三、填空题 12．定义集合A*B＝{(x－y，xy)|x∈A，y∈B}，其中集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则A*B中元素的个数为________． 答案：4 解析：x∈A，y∈B，当x＝1，y＝2时，x－y＝－1，xy＝2，(x－y，xy)＝(－1，2)；当x＝1，y＝4时，x－y＝－3，xy＝4，(x－y，xy)＝(－3，4)；当x＝3，y＝2时，x－y＝1，xy＝6，(x－y，xy)＝(1，6)；当x＝3，y＝4时，x－y＝－1，xy＝12，(x－y，xy)＝(－1，12)．所以A*B中元素的个数为4. 13．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________． 答案：7 解析：具有伙伴关系的元素组有1，1；，2；，3共三组，它们中任一组、二组或三组均可组成非空伙伴关系集合，即{1}，，，，，，，共7个． 14．高一的花花发现对于一个有限集A，一般都可以找到两个非空数集A1和A2，满足A1∩A2＝∅，且A1∪A2＝A，记集合{A1，A2}为A的一个“划分集”．若A中有n(n≥2，n∈N＋)个元素，则不同的“划分集”共有________个(用含n的表达式填空)． 答案：2n－1－1 解析：集合中的每个元素都有属于A1或属于A2两种情况，故共有2n种情况，排除全都属于A1或A2的两种情况，考虑对称情况，故不同的“划分集”共有(2n－2)＝2n－1－1个． 15．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”：X*Y＝∁U(X∩Y)．若全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合X＝{1，2，3}，Y＝{3，4，5}，Z＝{2，4，7}，则(X*Y)*Z＝(　　) A．{2，4，8} B．{1，3，5，6，8} C．{1，3，5，6} D．{5，6，8} 答案：B 解析：由题意可得X∩Y＝{3}，所以X*Y＝∁U(X∩Y)＝{1，2，4，5，6，7，8}，所以{1，2，4，5，6，7，8}∩Z＝{2，4，7}，故∁U({1，2，4，5，6，7，8}∩Z)＝{1，3，5，6，8}，所以(X*Y)*Z＝{1，3，5，6，8}． 16．[多选]由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　) A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 答案：BD 解析：对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，所以M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A不符合题意；对于B，设M＝{x|x<0，x∈Q}，N＝{x|x≥0，x∈Q}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B符合题意；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C不符合题意；对于D，设M＝{x|x<，x∈Q}，N＝{x|x≥，x∈Q}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D符合题意．故选BD. 17．已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M(A)为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M(A)的和记为S6，则S6＝________． 答案：120 解析：由M＝{1，2，3，4，5，6}，得M的任意非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，…，最小值为6的只有20＝1个，S6＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋6＝120. 18．已知有限实数集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N)，若a1＋a2＋…＋an＝a1a2…an，则称A为“和积平衡集”． (1)分别判断集合P＝{1，2}，集合Q＝{－1，－，－1，2＋2}是否为“和积平衡集”； (2)已知实数x，y，若集合{x，y}为“和积平衡集”，是否存在实数z满足z2＝xy，且使得{x，y，z}为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数z；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵1×2≠1＋2， ∴集合P不是“和积平衡集”． ∵－1×(－)×(－1)×(2＋2)＝－1＋(－)＋(－1)＋(2＋2)＝2， ∴集合Q是“和积平衡集”． (2)若存在符合题意的实数z， 则 ∴z2＋z＝z3，即z(z2－z－1)＝0， 解得z＝0或z＝或z＝. 当z＝0时，x＝0，y＝0，不符合题意； 当z＝时，x＋y＝，xy＝， 由此可得x，y是方程t2－t＋＝0的实数解， 但此时Δ＝－4×＝<0，方程无实数解，所以不符合题意； 同理，当z＝时，不符合题意． 综上，不存在符合题意的实数z. 19．定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，b∈R，有a⊕b＝ab，a⊗b＝.设全集U＝{x|x＝(a⊕b)＋(a⊗b)，－2<a≤b<1且a∈Z，b∈Z}，集合A＝，B＝{x|x2－3x＋m＝0}． (1)求集合U和A； (2)集合A，B是否能满足(∁UA)∩B＝∅？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 解：(1)全集U中x＝(a⊕b)＋(a⊗b)＝ab＋， 当a＝－1时，b＝0或b＝－1， 此时x＝－或x＝1； 当a＝0时，b＝0，此时x＝0， 所以U＝，集合A中x＝2(a⊕b)＋＝2ab＋， 当a＝0时，b＝1，此时x＝－，即A＝. (2)因为∁UA＝{0，1}，当(∁UA)∩B＝∅时，B＝∅或B＝A. 当B＝∅时，方程无实根， 则Δ＝(－3)2－4m<0，解得m>； 当B＝A时，方程有两个相等实根，为－， 则无解． 综上，实数m的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $