第1章 阶段练习1 集合-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 阶段练习1　集合 一、单项选择题 1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x≥2}，则A∩B＝(　　) A．{－1，1，2} B．{1，2} C．{－1，2} D．{2} 答案：D 解析：因为A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2}．故选D. 2．已知集合M＝{1，5，9，13，17}，则集合M用描述法可表示为(　　) A．{x|x＝2n＋1，n∈N，n≤8} B．{x|x＝2n－1，n∈N，n≤9} C．{x|x＝4n＋1，n∈N，n≤4} D．{x|x＝4n－3，n∈N，n≤5} 答案：C 解析：因为集合M＝{1，5，9，13，17}，根据集合中5个元素的特点知x＝4n＋1，n∈N，n≤4.所以集合M用描述法可表示为{x|x＝4n＋1，n∈N，n≤4}．故选C. 3．已知集合M＝{1，2}，N＝{2，3，4}，若P＝M∪N，则P的子集个数为(　　) A．14 B．15 C．16 D．32 答案：C 解析：因为M＝{1，2}，N＝{2，3，4}，所以P＝M∪N＝{1，2，3，4}，故P的子集个数为24＝16.故选C. 4．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，x≥y}，B＝{(x，y)|x＋y＝6}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：由A＝{(x，y)|x，y∈N＋，x≥y}，B＝{(x，y)|x＋y＝6}，得当x＝3时，y＝3；当x＝4时，y＝2；当x＝5时，y＝1，所以A∩B＝{(3，3)，(4，2)，(5，1)}，所以A∩B中有3个元素．故选B. 5．已知全集U＝{x∈N|x<7}，集合M＝{1，2，3，4}，N＝{1，3，4，6}，则∁U(M∩N)的非空子集个数为(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 答案：C 解析：因为U＝{x∈N|x<7}＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，3，4}，N＝{1，3，4，6}，则M∩N＝{1，3，4}，所以∁U(M∩N)＝{0，2，5，6}，则∁U(M∩N)的非空子集个数为24－1＝15.故选C. 6．集合A，B，C满足A∪B＝A∪C，则下列等式成立的是(　　) A．B＝C B．(∁RA)∩B＝(∁RA)∩C C．A∩B＝A∩C D．A∩(∁RB)＝A∩(∁RC) 答案：B 解析：当B⊆A且C⊆A时，A∪B＝A∪C，而集合B，C不一定相等，所以A，C，D错误；此时(∁RA)∩B＝(∁RA)∩C＝∅，故B正确．故选B. 7．某民族学校有92%的学生喜欢民歌或民舞，62%的学生喜欢民歌，80%的学生喜欢民舞，则该学校既喜欢民歌又喜欢民舞的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．48% B．50% C．52% D．60% 答案：B 解析：由Venn图，可得该校既喜欢民歌又喜欢民舞的学生数占该校学生总数的比例是62%＋80%－92%＝50%.故选B. 8．已知正整数集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{a，a，a}，其中a1<a2<a3.若A∩B＝{a2}，且a1＋a3＝7，则A∪B中所有元素之和为(　　) A．52 B．56 C．63 D．64 答案：A 解析：因为a1，a2，a3∈N＋，且a1<a2<a3，所以a>a2，a>a2，所以a2＝a⇒a1＝.由a1＋a3＝7，可得a2≤5.故由a1＝可得a2＝4，a1＝2，所以a3＝5，故A＝{2，4，5}，B＝{4，16，25}，所以A∪B＝{2，4，5，16，25}，所以A∪B中所有元素之和为52.故选A. 二、多项选择题 9．已知全集U＝{x|－2≤x≤1}，集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x2＋x－2＝0}，C＝{x|－2≤x＜1}，则(　　) A．A⊆C B．C⊆∁UA C．∁UB＝C D．∁UA＝B 答案：AD 解析：易知A⊆C，∁UA＝{－2，1}，B＝{－2，1}，∁UB＝{x|－2＜x＜1}，从而∁UA＝B.故选AD. 10.已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．M∩(∁UN)＝∅ B．M∪(∁UN)＝U C．(∁UM)∪(∁UN)＝∁UM D．(∁UM)∩(∁UN)＝∁UM 答案：BD 解析：由Venn图可知，M∩(∁UN)≠∅，M∪(∁UN)＝U，(∁UM)∪(∁UN)＝∁UN，(∁UM)∩(∁UN)＝，故A，C错误，B，D正确．故选BD. 11．设集合A＝{x∈R|x2－2x－3＝0}，B＝{x∈R|ax2＋2(a＋1)x＋a－2＝0}，如果A∪B＝A，则a的可能取值是(　　) A．－4 B．－ C．0 D. 答案：AB 解析：因为A＝{x∈R|x2－2x－3＝0}，所以A＝{－1，3}．由A∪B＝A，得B⊆A.当B＝A，即B＝{－1，3}时，得－＝2，＝－3，无解；当B＝∅时，得Δ＝4(a＋1)2－4a(a－2)＝16a＋4<0，解得a<－；当B＝{－1}时，得16a＋4＝0，a－2a－2＋a－2＝0，无解；当B＝{3}时，得16a＋4＝0，9a＋6a＋6＋a－2＝0，解得a＝－.所以a的取值范围为.故选AB. 三、填空题 12．已知集合{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}只有一个元素，则实数a的取值集合为________． 答案：{0，1} 解析：①当a＝0时，A＝，满足条件；②当a≠0时，因为A中只有一个元素，所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，实数a的取值集合为{0，1}． 13．若集合A＝{x∈R|x2－mx＋3＝0}，B＝{x∈R|x2－x＋n＝0}，且A∪B＝{0，1，3}，则m＝________，n＝________． 答案：4　0 解析：若0∈A，则3＝0，显然不成立，所以0∉A，所以0∈B，即02－0＋n＝0，解得n＝0，所以B＝{x∈R|x2－x＝0}＝{0，1}，所以3∈A，即32－3m＋3＝0，解得m＝4. 14．设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义m＝n＝ (1)若A⊆B，则对任意x∈R，m(1－n)＝________； (2)若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B的关系为________． 答案：(1)0　(2)A＝∁RB 解析：(1)∵A⊆B，则当x∉A时，m＝0，m(1－n)＝0；当x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.综上，m(1－n)＝0. (2)对任意x∈R，m＋n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，则x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，且当x∈A时，必有x∉B，或当x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A＝∁RB. 15．定义集合P＝{x|a≤x≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝{x|m≤x≤m＋1}，N＝，且M，N都是集合{x|2≤x≤4}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意知，集合M，N的“长度”分别为1和，集合{x|2≤x≤4}的“长度”为2，因为M，N都是集合{x|2≤x≤4}的子集，所以当或时，集合M∩N的“长度”取得最小值，为1＋－2＝. 16．[多选]设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中恒成立的是(　　) A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b 答案：BCD 解析：根据条件“对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b”．对于A，无法确定(a*b)*a＝a是否一定成立，故A错误；对于B，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，故B正确；对于C，b*(b*b)＝b，故C正确；对于D，将a*b看成一个整体，则a*b∈S，故(a*b)*[b*(a*b)]＝b，故D正确．故选BCD. 17．设M＝{a|a＝x2－y2，x，y∈Z}，则对任意整数n，形如4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3的数中，不属于集合M的元素为________． 答案：4n＋2 解析：∵4n＝(n＋1)2－(n－1)2，∴4n∈M，∵4n＋1＝(2n＋1)2－(2n)2，∴4n＋1∈M，∵4n＋3＝(2n＋2)2－(2n＋1)2，∴4n＋3∈M，若4n＋2∈M，则存在x，y∈Z，使得4n＋2＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∵x＋y与x－y的奇偶性相同，若x＋y与x－y都是奇数，则(x＋y)(x－y)为奇数，而4n＋2为偶数；若x＋y与x－y都是偶数，则(x＋y)(x－y)能被4整除，而4n＋2不能被4整除，∴4n＋2∉M.∴不属于集合M的元素为4n＋2. 18．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－2x＋b＝0}，同时满足B是A的真子集，C是A的子集的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 解：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， 由x2－ax＋(a－1)＝0， 解得x＝1或x＝a－1. ∵B是A的真子集， ∴a－1＝1，∴a＝2. ∵C是A的子集， ∴若C＝∅，则Δ＝4－4b<0，∴b>1； 若C≠∅，则C＝{1}或{2}或{1，2}， 当Δ＝0时，b＝1，C＝{1}， 当Δ>0时，无解． 综上所述，a的值为2，b的取值范围为{b|b≥1}． 19．已知集合B＝{b1，b2，…，bn}(1≤b1<b2<…<bn，n∈N，n≥3)具有性质Q：对任意i，j(1≤i≤j≤n)，bibj与至少有一个属于集合B. (1)判断集合M＝{1，2，4}和N＝{2，4，6}是否具有性质Q，并说明理由； (2)已知B＝{b1，b2，b3}具有性质Q，当b2＝5时，求集合B. 解：(1)集合M＝{1，2，4}中， 因为1×2＝2∈M，1×4＝4∈M，＝2∈M，1×1＝1∈M，2×2＝4∈M，＝1∈M，＝1∈M， 所以集合M具有性质Q. 集合N＝{2，4，6}中， 因为2×6＝12∉N，＝3∉N， 所以集合N不具有性质Q. (2)因为1≤b1<b2<b3，且B＝{b1，b2，b3}具有性质Q， 所以b3b3∉B，＝1∈B，则b1＝1. 又因为b2b3>b3， 所以b2b3∉B，则∈B， 由集合的互异性知＝b2，而b2＝5， 所以b3＝25， 故B＝{1，5，25}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $