1.4.2 充要条件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 1．4.2　充要条件 知识点一　充要条件的判断 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x2－2x＋1＝0，得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 2．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 答案：D 解析：a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D. 3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：充分性：当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，可以推出A⊆B，故充分性成立；必要性：若A⊆B，则{1，a}⊆{1，2，3}，可得a＝2或a＝3，故必要性不成立．所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件． 4．已知集合A＝{x|x＝4t＋1，t∈Z}，B＝{x|x＝4t－3，t∈Z}，则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为4t＋1＝4(t＋1)－3，t∈Z，t＋1∈Z，所以A中的元素都是B中的元素，又因为4t－3＝4(t－1)＋1，t∈Z，t－1∈Z，所以B中的元素都是A中的元素，所以A＝B，所以“x∈A”是“x∈B”的充要条件．故选C. 5．若集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，则“2<a<3”是“B⊆A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：∵B＝{x|－1＋a＜x＜1＋a}，B⊆A，∴解得2≤a≤3，∴2<a<3⇒B⊆A，反之不成立．故选A. 知识点二　充要条件的证明与应用 6．已知A＝{x|3x＋a≥0}，B＝{x|x≥2}，若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则a＝________． 答案：－6 解析：由3x＋a≥0，得x≥－.由题意，知＝{x|x≥2}，所以－＝2，a＝－6. 7．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx. 当x＝0时，y＝0. 所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)． ②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)， 所以0＝0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0. 8．求证：等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2. 证明：充分性：若a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2， 则等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2显然对任意实数x恒成立，充分性成立． 必要性：由于等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立， 分别将x＝0，x＝1，x＝－1代入可得 解得必要性成立． 故等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2. 9．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明：充分性：若a2－b2＝1， 则a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立． 必要性：若a4－b4－2b2＝1， 则a4－b4－2b2－1＝0， 即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，∴a4－(b2＋1)2＝0， ∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0， ∵a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0， 即a2－b2＝1成立． 综上所述，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 一、单项选择题 1．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为a≤b≤c，所以a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．故选C. 2．“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：菱形为特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形，故“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件．故选B. 3．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|. 4．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：a＋b<0不能推出a<0，b<0，例如a＝－2，b＝1，满足a＋b<0，但是a<0，b>0，所以充分性不成立；若a<0，b<0，则a＋b<0，所以必要性成立，所以“a＋b<0”是“a<0，b<0”的必要不充分条件．故选C. 5．等式|3a－5b|＝3|a|＋5|b|成立的充要条件是(　　) A．ab<0 B．ab≤0 C．ab>0 D．ab≥0 答案：B 解析：因为|3a－5b|＝3|a|＋5|b|，两边平方，得9a2－30ab＋25b2＝9a2＋30|ab|＋25b2，所以－ab＝|ab|，即ab≤0，所以等式|3a－5b|＝3|a|＋5|b|成立的充要条件是ab≤0.故选B. 6．已知下列所给的各组p，q中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：a<0，q：|a|>0 B．p：两个三角形全等，q：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．p：a＝b，q：a2＝b2 D．p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等 答案：B 解析：对于A，由|a|>0，解得a>0或a<0，所以a<0⇒|a|>0，但|a|>0a<0，故p是q的充分不必要条件，故A不符合题意；对于B，根据全等三角形的性质及判定可知，p⇔q，故p是q的充要条件，故B符合题意；对于C，由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件，故C不符合题意；对于D，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形的斜边相等，两直角三角形不一定全等，例如：Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，斜边AC＝2，Rt△DEF中，∠E＝90°，DE＝EF＝2，斜边DF＝2，故p是q的必要不充分条件，D不符合题意．故选B. 7．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2，3)∈A∩的充要条件是(　　) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 答案：A 解析：∁UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，∵P(2，3)∈A∩(∁UB)，∴∴m＞－1，n＜5.故选A. 8．设集合A＝{3，a2，0}，B＝{4，a－2}，则“A∩B＝{4}”是“a＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若A∩B＝{4}，则4∈A，所以a2＝4，解得a＝±2.当a＝2时，A＝{3，4，0}，B＝{4，0}，此时A∩B＝{4，0}，不符合题意，舍去；当a＝－2时，A＝{3，4，0}，B＝{4，－4}，此时A∩B＝{4}，符合题意，综上，a＝－2，则充分性成立，反之，亦得必要性成立，所以“A∩B＝{4}”是“a＝－2”的充要条件．故选C. 二、多项选择题 9．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则下列结论正确的是(　　) A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件 C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 答案：ABD 解析：Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，A正确；Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，B正确；方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根Δ＝b2－4ac>0，C错误；Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根，D正确． 10．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 答案：CD 解析：对于A，因为当a＝b时，ac＝bc成立，但当ac＝bc且c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题．对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2<b2；当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B为假命题．对于C，因为a<3时，一定有a<5成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，故C为真命题．对于D，“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D为真命题．故选CD. 11．设全集为U，下列条件中为B⊆A的充要条件的是(　　) A．A∪B＝A B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UB)⊆(∁UA) D．A∪(∁UB)＝U 答案：ABD 解析：对于A，当A∪B＝A时，B⊆A，当B⊆A时，A∪B＝A，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，所以A符合题意；对于B，当(∁UA)∩B＝∅时，B⊆A，当B⊆A时，(∁UA)∩B＝∅，所以“(∁UA)∩B＝∅”是“B⊆A”的充要条件，所以B符合题意；对于C，当(∁UB)⊆(∁UA)时，A⊆B，所以C不符合题意；对于D，当A∪(∁UB)＝U时，B⊆A，当B⊆A时，A∪(∁UB)＝U，所以“A∪(∁UB)＝U”是“B⊆A”的充要条件，所以D符合题意．故选ABD. 三、填空题 12．函数y＝2x2＋mx＋3的图象过点(1，0)的充要条件是________． 答案：m＝－5 解析：因为函数y＝2x2＋mx＋3的图象过点(1，0)，所以2＋m＋3＝0，即m＝－5. 13．已知甲：乙：则甲是乙的________条件． 答案：必要不充分 解析：当x＝1，y＝7时，满足甲：此时乙不成立，即充分性不成立；反之，当乙：成立时，可得甲一定成立，即必要性成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 14．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________，一个充分不必要条件可为________． 答案：a≤9　6≤a≤9(答案不唯一) 解析：A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}．若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；若A≠∅，则A⊆B⇔⇔6≤a≤9.综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 15．[多选]已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列结论正确的是(　　) A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．s是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 答案：AB 解析：由条件可知，p⇒r，rp，q⇒r⇒s，且s⇒q.对于A，r⇒s⇒q，即r⇒q，且q⇒r，所以r是q的充要条件，故A正确；对于B，p⇒r⇒q，即p⇒q，所以p是q的充分条件，故B正确；对于C，q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件，故C错误；对于D，r⇒s，s⇒q⇒r，即s⇒r，所以r是s的充要条件，故D错误．故选AB. 16．[多选]有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列命题为假命题的是(　　) A．“A∩B＝∅”的充要条件是“card(A∪B)＝card(A)＋card(B)” B．“A⊆B”的充要条件是“card(A)≤card(B)” C．“A⊆B”的必要不充分条件是“card(A)＝card(B)－1” D．“A＝B”的充要条件是“card(A)＝card(B)” 答案：BCD 解析：由A∩B＝∅，得A∪B中的元素个数为集合A，B的元素个数之和，即card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，必要性成立．由card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，即A∪B中的元素个数为集合A，B的元素个数之和，则A∩B＝∅，充分性成立，故A为真命题；由card(A)≤card(B)，设A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，但A⊆B不成立，充分性不成立，故B为假命题；由A⊆B，设A＝{1}，B＝{1，2，3，4}，此时card(A)＝card(B)－3，故“card(A)＝card(B)－1”不是“A⊆B”的必要条件，故C为假命题；由card(A)＝card(B)，设A＝{1，2}，B＝{2，3}，但A＝B不成立，故D为假命题．故选BCD. 17．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________． 答案：3或4 解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0⇔n≤4.又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，当n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；当n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；当n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；当n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根，所以n＝3或n＝4. 18．已知a≥，设二次函数y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对任意x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤. 证明：因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c图象的对称轴为直线x＝＝，且0<≤1， 当x＝时，y取得最大值＋c， 所以y≤＋c. 先证充分性：因为c≤， 且y≤＋c≤＋＝1， 所以y≤1. 再证必要性：因为y≤1， 所以只需＋c≤1即可， 从而c≤. 即结论得证． 19．设a，b，c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件． 解：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0的公共根为m， 则m2＋2am＋b2＝0，m2＋2cm－b2＝0， 两式相加，得m＝－(a＋c)(m＝0舍去)， 将m＝－(a＋c)代入m2＋2am＋b2＝0，得 [－(a＋c)]2＋2a[－(a＋c)]＋b2＝0， 整理，得a2＝b2＋c2. 充分性：当a2＝b2＋c2时，方程x2＋2ax＋b2＝0等价于x2＋2ax＋a2－c2＝0， 所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0， 该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)． 同理，方程x2＋2cx－b2＝0等价于[x＋(a＋c)][x＋(c－a)]＝0，该方程亦有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)． 显然x1＝x3，两方程有公共根． 故方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $