1.1 第2课时 集合的表示-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　集合的表示 知识点一　用列举法表示集合 1．用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)方程x2＝3x＋10的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合． 解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15， 所以所求集合可表示为{1，3，5，15}． (2)方程x2＝3x＋10的解是x＝－2或x＝5， 所以所求集合可表示为{－2，5}． (3)由解得即两直线的交点为(1，1)， 所以所求集合可表示为{(1，1)}． 知识点二　用描述法表示集合 2．用描述法表示下列集合： (1)不等式x－2≥3的解组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 解：(1)解x－2≥3得x≥5，所以所求集合可表示为{x|x≥5}． (2)被5除余3的正整数组成的集合可表示为{x∈N＋|x＝5n＋3，n∈N}． (3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合可表示为{y|y＝x2＋2x－10}． 3．用描述法表示图中阴影部分(含边界)内的点构成的集合． 解：用描述法表示为{(x，y)|－2≤x≤3，－1≤y≤2，且xy≤0}． 知识点三　集合表示法的综合应用 4．[多选]方程组的解集可以表示为(　　) A. B. C．{2，1} D．{(2，1)} 答案：ABD 解析：解方程组得∵方程组的解是有序实数对，∴其解集用集合表示应该是点集．故选ABD. 5．给出下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③集合{x|x＝2m＋1，m∈Z}与{x|x＝2m－1，m∈Z}相等． 其中正确说法的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案：C 解析：由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1∉N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确；集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集的正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确；集合{x|x＝2m＋1，m∈Z}表示所有奇数构成的集合，集合{x|x＝2m－1，m∈Z}也表示所有奇数构成的集合，故③正确． 6．已知集合A＝{x∈N＋|x<5}，B＝{(a，b)|a＋b2＝1，b∈A}，用列举法表示集合B＝________． 答案：{(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)} 解析：∵x∈N＋，且x<5，∴x＝1，2，3，4，∴A＝{1，2，3，4}．又a＋b2＝1，且b∈A，∴当b＝1时，a＝0；当b＝2时，a＝－3；当b＝3时，a＝－8；当b＝4时，a＝－15.∴B＝{(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)}． 7．已知集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}，若集合A中只有一个元素，求k的值． 解：集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．应根据k是否为0分两种情况进行讨论：①k＝0，此时A＝{－1}，符合题意；②k≠0，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以k＝0或k＝1. 一、单项选择题 1．已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1，3} D．{1，2，3} 答案：A 解析：因为P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，所以M＝{1}．故选A. 2．方程组的解组成的集合是(　　) A．{2，1} B．(2，1) C．{(2，1)} D．{－1，2} 答案：C 解析：先求出方程组的解再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2，1)．故选C. 3．下列各组集合中，表示同一个集合的是(　　) A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{y|y＝x2} D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)} 答案：B 解析：由于集合中的元素具有无序性，故{3，2}＝{2，3}． 4．集合{x∈N＋|x－3<2}的另一种表示法是(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 答案：B 解析：因为x－3<2，所以x<5，又因为x∈N＋，所以x＝1，2，3，4，所以{x∈N＋|x－3<2}＝{1，2，3，4}．故选B. 5．已知集合P＝{x|x＝27m，m∈N＋}，Q＝{x|x＝111n，n∈N＋}，a＝692－422，则(　　) A．a∉P且a∈Q B．a∈P且a∉Q C．a∈P且a∈Q D．a∉P且a∉Q 答案：C 解析：根据题意可得集合P表示的是27的倍数的集合，集合Q表示的是111的倍数的集合．易知a＝692－422＝(69－42)×(69＋42)＝27×111，可得a既是27的倍数，又是111的倍数．因此可得a∈P且a∈Q.故选C. 6．若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A 解析：由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，解得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a＝0}＝{2}，则其所有元素之和为2.故选A. 7．集合可表示为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵3＝，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n，则分子为2n＋1，且n∈N＋，∴集合为.故选D. 8．若含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b，0}，则a2025＋(b－1)2025的值为(　　) A．4 B．－1 C．3 D．－2 答案：D 解析：由可得a≠0，a≠1，由题意，知或解得所以a2025＋(b－1)2025＝2×(－1)2025＝－2. 二、多项选择题 9．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则(　　) A．－1∉A B．0∈A C.∈A D．2∈A 答案：AB 解析：因为A＝{x∈N|－≤x≤}＝{0，1}，所以－1∉A，0∈A，∉A，2∉A.故选AB. 10．下列集合中，与集合{－1，1}表示同一个集合的是(　　) A．{x||x|＝1} B．{x|x2＝1} C．{(x，y)|x＝－1，y＝1} D. 答案：ABD 解析：对于A，{x||x|＝1}＝{－1，1}，故A符合题意；对于B，{x|x2＝1}＝{－1，1}，故B符合题意；对于C，{（x，y）|x＝－1，y＝1}＝{（－1，1）}≠{－1，1}，故C不符合题意；对于D，只有当x＝1和x＝－1时，y＝－∈Z，故＝{－1，1}，故D符合题意．故选ABD. 11．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A．x1x2∈A B．x2x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A 答案：ABC 解析：由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．故选ABC. 三、填空题 12．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为________． 答案：(2，5) 解析：由题意知，a∈A，a∈B，所以a是方程组的解，解得即a为(2，5)． 13．若集合A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________． 答案：{4，9，16} 解析：当t＝－2，2，3，4时，x＝4，4，9，16，故集合B＝{4，9，16}． 14．给出下列说法： ①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0}； ②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}不是同一个集合． 其中说法正确的是________(填序号)． 答案：①③ 解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x，y)，所以①正确；对于②，方程＋|y＋2|＝0的解为解集为{(2，－2)}或，所以②不正确；对于③，因为集合{y|y＝x2－1，x∈R}等于集合{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}等于R，故这两个集合不是同一个集合，所以③正确． 15．已知集合A＝{－2，－1，1，2}，B＝，则集合B＝(　　) A．{－2，－1，0，1，2} B．{－2，－1，1，2} C. D. 答案：D 解析：由题意知，m＝＋，当x＝y时，m＝2；当x＝－y时，m＝－2；当x＝－2，y＝－1或x＝2，y＝1或x＝－1，y＝－2或x＝1，y＝2时，m＝；当x＝2，y＝－1或x＝－2，y＝1或x＝－1，y＝2或x＝1，y＝－2时，m＝－，故B＝.故选D. 16．[多选]已知集合A＝，则满足A中有8个元素的m的值可能为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：AC 解析：当m＝6时，满足x∈Z，∈Z的x有6，3，2，1，－1，－2，－3，－6，即集合A中有8个元素，故A符合题意；当m＝7时，满足x∈Z，∈Z的x有7，1，－1，－7，即集合A中有4个元素，故B不符合题意；当m＝8时，满足x∈Z，∈Z的x有8，4，2，1，－1，－2，－4，－8，即集合A中有8个元素，故C符合题意；当m＝9时，满足x∈Z，∈Z的x有9，3，1，－1，－3，－9，即集合A中有6个元素，故D不符合题意．故选AC. 17．对于任意两个正整数m，n，定义运算“*”：当m，n都是偶数或奇数时，m*n＝m＋n；当m，n中一个为偶数、另一个为奇数时，m*n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a*b＝16}中的元素个数是________． 答案：17 解析：当a，b都是偶数或奇数时，1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16；当a，b一奇一偶时，1×16＝16.集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有8×2＋1＝17个． 18．已知集合A＝{x|x2－(a＋1)x＋b＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B. 解：因为A＝{－3，1}， 所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1. 由根与系数的关系，得 解得 所以x2－2ax＋b＝0，即x2＋6x－3＝0， 解得x＝－3±2， 所以B＝{－3－2，－3＋2}． 19．对正整数n，记In＝{1，2，3，…，n}，Pn＝. (1)用列举法表示集合P3； (2)求集合P7中元素的个数． 解：(1)已知In＝{1，2，3，…，n}，当n＝3时，I3＝{1，2，3}． 对于P3＝， 当k＝1，m＝1时，＝1； 当k＝1，m＝2时，＝2； 当k＝1，m＝3时，＝3； 当k＝2，m＝1时，＝＝； 当k＝2，m＝2时，＝； 当k＝2，m＝3时，＝＝； 当k＝3，m＝1时，＝＝； 当k＝3，m＝2时，＝＝； 当k＝3，m＝3时，＝. 综上，P3＝. (2)当k＝1时，m＝1，2，…，7，此时P7中有7个元素，分别为1，2，…，7； 当k＝2时，m＝1，2，…，7，此时P7中有7个不同的元素， 且(m＝1，2，…，7)与k＝1时的元素不同； 当k＝3时，同理m＝1，2，…，7，此时P7中有7个不同的元素； 当k＝4时，P7＝＝，这里面有3个数1，2，3与k＝1时P7中的数重复； 当k＝5时，m＝1，2，…，7，此时P7中有7个不同的元素，且(m＝1，2，…，7)与前面的元素都不同； 当k＝6时，m＝1，2，…，7，此时P7中有7个不同的元素，且(m＝1，2，…，7)与前面的元素都不同； 当k＝7时，m＝1，2，…，7，此时P7中有7个不同的元素，且(m＝1，2，…，7)与前面的元素都不同． 计算P7中元素的个数，总共有7×7种的组合，但是k＝4时与前面重复了3个元素，所以P7中元素的个数为7×7－3＝46. 1 学科网（北京）股份有限公司 $