5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 知识点一　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝1，φ＝－ B．ω＝1，φ＝ C．ω＝2，φ＝－ D．ω＝2，φ＝ 答案：B 解析：由题图可知，＝－＝π，即T＝2π，由＝2π，得ω＝1.由＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，－<φ<，得φ＝.故选B. 2.如图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则函数f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2sin 解析：由题图可得A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.又函数f(x)在x＝时取最大值，∴×2＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin. 3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2sin 解析：由图象的最低点为M，得A＝2.又x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.由点M在图象上，得2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin. 4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的部分图象如图所示，则f＝________． 答案：－1 解析：由图象，得A＝2，周期T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋θ)，又f(0)＝2cosθ＝，0≤θ≤，所以θ＝，所以f(x)＝2cos，所以f＝2cos＝－1. 知识点二　三角函数性质的综合应用 5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：依题意，得3cos＝0，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，因此|φ|的最小值是. 6．[多选]已知点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该函数图象的对称轴的距离的最小值为，则(　　) A．f(x)的最小正周期是π B．f(x)的值域为[1，3] C．φ＝ D．f(x)在区间上单调递增 答案：BD 解析：由题意，得且f(x)的最小正周期T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式，得φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故f(x)的值域为[1，3]，A，C错误，B正确；令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，令k＝1，则≤x≤，故f(x)在区间上单调递增，D正确．故选BD. 7．已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2π，________． 在①f(x)的图象过点；②f(x)的图象关于直线x＝对称；③f(x)的图象关于点对称这三个条件中任选一个，补充到横线上，并解答下列问题． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间． 解：(1)若选①，由已知，得T＝＝2π，则ω＝1， 于是f(x)＝2sin(x＋φ)． 因为f(x)的图象过点， 所以sin＝， 由－<φ<0，得－<φ＋<， 所以φ＋＝， 即φ＝－，故f(x)＝2sin. 若选②，由已知，得T＝＝2π，则ω＝1， 于是f(x)＝2sin(x＋φ)． 因为f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z. 因为－<φ<0，所以φ＝－， 故f(x)＝2sin. 若选③，由已知，得T＝＝2π，则ω＝1， 于是f(x)＝2sin(x＋φ)． 因为f(x)的图象关于点对称， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z. 因为－<φ<0，所以φ＝－， 故f(x)＝2sin. (2)由已知，得g(x)＝2sin ＝2sin. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故g(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 知识点三　y＝Asin(ωx＋φ)在匀速圆周运动中的应用 8.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮逆时针转动，每分钟转动5圈，如果水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间． (1)将点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数； (2)点P第一次到达最高点需要多长时间？ 解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设角φ是以x轴的非负半轴为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟所转过的角为＝， 则OP在时间t内所转过的角为t. 由题意，知水轮逆时针转动， 则z＝4sin＋2. 当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－. 故所求的函数关系式为z＝4sin＋2. (2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，由t－＝，得t＝4， 故点P第一次到达最高点需要4 s. 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 答案：B 解析：由图象可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，ω＝＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)．又＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.故选B. 2.半径为2 m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为M0.圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为 rad/s.如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且∠M0Ox＝，则点M的横坐标x关于时间t(单位：s)的函数解析式为(　　) A．x＝2cos B．x＝2cos C．x＝2cos D．x＝2cos 答案：D 解析：由三角函数的定义，得＝cos，则x＝2cos.故选D. 3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上满足f(x)≥－，则ω的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(0，4] C．(0，6] D．(0，8] 答案：D 解析：因为0≤x≤，ω>0，所以－≤ωx－≤－，因为f(x)≥－，结合y＝sinx的图象可得－<－≤，解得0<ω≤8.故选D. 4．函数f(x)＝sin2x和g(x)的部分图象如图所示．g(x)的图象由f(x)的图象平移而来，C，D分别在g(x)，f(x)图象上，四边形ABCD是矩形，A，B，则g(x)的表达式是(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝cos D．g(x)＝cos 答案：C 解析：根据题意，由图象知，函数f(x)＝sin2x的图象向右平移×＝个单位长度，得g(x)＝sin＝sin的图象，又sin＝cos＝cos＝cos，所以g(x)＝cos.故选C. 5.已知函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0)的部分图象如图所示，其中A(0，－)，B，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则M＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．2 答案：D 解析：解法一：依题意，得＝－0＝，则T＝，所以ω＝＝3，因为将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则由f＝Msin，可得－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z)，故f(x)＝Msin(k∈Z)，当k为奇数时，f(x)＝Msin；当k为偶数时，f(x)＝Msin.将A(0，－)代入f(x)＝Msin，得M＝2，符合题意；将A(0，－)代入f(x)＝Msin，得M＝－2，不符合题意．故选D. 解法二：依题意，得＝－0＝，则T＝，所以ω＝＝3，因为将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则f＝Msin，又<，则f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称时，在x＝0处，函数取得最小值，所以－＋φ＝－，所以φ＝－，故f(x)＝Msin，将A(0，－)代入，得M＝2.故选D. 6．如图，直线y＝±m与函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)图象交点的横坐标分别为x1，x2，x3，若x1＋x2＝，x2＋x3＝，则f＝(　　) A. B. C. D．1 答案：A 解析：由题图知f(x)图象的对称轴为直线x＝＝，f(x)图象的对称中心为，即，所以函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.由题图可知，f＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin，则f＝sin＝sin＝.故选A. 7．若函数y＝sin2x＋mcos2x的图象关于直线x＝－对称，则下列结论错误的是(　　) A．m＝－ B．函数的最大值为 C．点为函数图象的一个对称中心 D．函数在上单调递减 答案：D 解析：y＝sin2x＋mcos2x＝sin(2x＋φ)(其中tanφ＝m)，因为函数y＝sin2x＋mcos2x的图象关于直线x＝－对称，则2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，则tanφ＝m＝－，所以m＝－，A正确；又y＝sin2x－cos2x＝sin，则函数的最大值为，B正确；令2x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，当k＝1时，x＝，则点为函数图象的一个对称中心，C正确；令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，为单调递减区间，故函数在上不是单调递减的，D错误．故选D. 8.已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A，B，C.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递减区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：D 解析：由题图，得＝－＝，则T＝，ω＝＝3，所以f(x)＝Mcos(3x＋φ)，将B代入f(x)＝Mcos(3x＋φ)，得Mcos＝0，即3×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝－，故f(x)＝Mcos.因为f(0)＝，则Mcos＝，解得M＝3，故f(x)＝3cos.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝3cos的图象，再向左平移个单位长度，得到g(x)＝3cos＝3cos的图象，令2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈Z)．所以函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．故选D. 二、多项选择题 9．动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0，1] B．[1，7] C．[8，10] D．[7，12] 答案：AD 解析：设动点A与x轴正方向的夹角为α，则当t＝0时，点A的坐标是，α＝，由动点12秒旋转一周，可知动点转动的角速度为，故y＝sin.令－＋2kπ≤t＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－5＋12k≤t≤1＋12k，k∈Z，又0≤t≤12，故由k＝0，可得0≤t≤1；由k＝1，可得7≤t≤12.故选AD. 10．已知函数f(x)＝2sin2x＋sin2x，则下列结论错误的是(　　) A．f(x)的最小正周期是π B．f(x)的图象关于点对称 C．f(x)在上单调递增 D．f是偶函数 答案：BD 解析：f(x)＝1－cos2x＋sin2x＝2sin＋1，最小正周期T＝＝π，所以A正确；因为f＝2sin＋1＝2，所以f(x)的图象不关于点对称，所以B错误；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝－1时，－≤x≤－，因为⊆，所以f(x)在上单调递增，所以C正确；因为f＝2sin＋1＝2sin2x＋1，所以f不是偶函数，所以D错误． 11.函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2 B．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－ C．f(x)在区间(k∈Z)上单调递减 D．f(x)的最大值为A 答案：AC 解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故A正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝×＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故B不正确；当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)单调递减，故C正确；若A>0，则f(x)的最大值是A，若A<0，则f(x)的最大值是－A，故D不正确． 三、填空题 12．设函数f(x)＝－sin2x，若f(x＋t)是偶函数，则t的一个可能值是________． 答案：(答案不唯一) 解析：∵f(x)＝－sin2x，∴f(x＋t)＝－sin[2(x＋t)]＝－sin(2x＋2t)，∵f(x＋t)是偶函数，∴2t＝＋kπ(k∈Z)，即t＝＋(k∈Z)，则t的一个可能值是，答案不唯一． 13.已知y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则其解析式为________． 答案：y＝2sin 解析：由题图可知A＝2，且当x＝0时，y＝，∴2sinφ＝，∵|φ|<π，∴φ＝或φ＝，∵所给图象的最高点在y轴的左侧，∴φ＝.又ω＋φ＝π，∴ω＝2.故所求的解析式为y＝2sin. 14．将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝________，若函数y＝g(x)在区间与上均单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案：sin　 解析：根据条件可知g(x)＝sin＝sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝0，1，得单调递增区间为，，结合条件可知解得≤a≤. 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为M(0，1)，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(5，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C(B位于M与N之间)，若△OBC的面积为10(其中O为原点)，则函数f(x)的最小正周期为(　　) A．6 B．6π C．12 D．12π 答案：C 解析：如图所示，因为S△OBC＝S△ONB＋S△ONC＝×5×A＋×5×A＝10，所以A＝2，所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)，因为图象与y轴的交点为M(0，1)，所以f(0)＝2sinφ＝1，即sinφ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，又因为图象与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(5，0)，所以f(5)＝2sin＝0，所以5ω＋＝π，所以ω＝，所以T＝＝12.故选C. 16．[多选]已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，且∀x∈R，都有f＝－f成立．现将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数g＋g＝0 B．函数g(x)的图象相邻的对称轴距离为π C．函数g是奇函数 D．函数g(x)在区间上单调递增 答案：ABD 解析：因为∀x∈R，都有f＝－f成立，所以f(x)＝－f，f＝－f(x＋π)，所以∀x∈R，都有f(x)＝－(－f(x＋π))＝f(x＋π)成立，可得f(x)的周期T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin，将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得g(x)＝2sin的图象．对于A，g＋g＝2sin＋2sin＝2sin(－x)＋2sinx＝0，故A正确；对于B，函数g(x)的周期为T＝＝2π，所以g(x)的图象相邻的对称轴距离为＝π，故B正确；对于C，g＝2sin＝2sin＝2cosx是偶函数，故C错误；对于D，当≤x≤时，0≤x－≤，所以函数g(x)在区间上单调递增，故D正确．故选ABD. 17．已知函数f(x)＝Acos(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，若不等式[g(x)]2－(m＋2)g(x)＋2m＋3≤0在上恒成立，则m的取值范围是________． 答案： 解析：由题图，有A＝2，f＝2cos＝0，所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z，由题图可知，函数f(x)的最小正周期T满足π<T＝<π＋，所以<ω<2，则<－k<2，k∈Z，所以－<k<，又k∈Z，所以k＝0，所以ω＝，所以f(x)＝2cos，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos，当x∈时，x＋∈，故cos∈，所以g(x)∈[－2，1]，令t＝g(x)，t∈[－2，1]，原不等式即化为t2－(m＋2)t＋2m＋3≤0在[－2，1]上恒成立，令h(t)＝t2－(m＋2)t＋2m＋3，该二次函数的图象开口向上，要使上式恒成立，则 解得m≤－，故m的取值范围是. 18.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，π]时，方程g(x)＝2a有两个不等的实根x1，x2，求实数a的取值范围． 解：(1)由题图知，A＝2，＝－，即T＝π，ω＝＝2. 由2sin＝2，即sin＝1，得 ＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又φ∈， ∴φ＝，∴f(x)＝2sin. 令2x＋＝＋kπ，k∈Z， 则x＝＋，k∈Z， ∴函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. (2)由题意可得g(x)＝2sin， ∵x∈[0，π]，∴x－∈， ∴g(x)＝2sin∈[－1，2]， ∴方程g(x)＝2a有两个不等的实根时，y＝g(x)的图象与直线y＝2a有两个不同的交点， 作图可得1≤2a＜2，∴≤a＜1. 故实数a的取值范围为. 19.某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T＝24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12(可视为点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． (1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h(t)的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时t的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值． 解：(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系为h(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，t≥0)， 由题意，知A＝28，b＝30， 则h(t)＝28sin(ωt＋φ)＋30(ω>0)， 依题意，知T＝24分钟，则ω＝＝(弧度/分)， 当t＝0时，由h(t)＝30，可得φ＝0. 所以h(t)＝28sint＋30(t≥0)． (2)令h(t)＝16，即28sint＋30＝16， 整理，得sint＝－， 由0≤t≤24，则0≤t≤2π， 所以t＝或t＝， 解得t＝14或t＝22， 所以当t＝14分钟或t＝22分钟时，1号座舱与地面的距离为16米． (3)依题意1号座舱与地面的高度h1＝28sint＋30，4号座舱与地面的高度h4＝28sin＋30＝28sin＋30＝28cost＋30， 所以H＝ ＝28＝28. 令t－＝＋kπ(k∈N)， 解得t＝9＋12k(k∈N)， 所以当t＝9＋12k(k∈N)时，H取得最大值28. 1 学科网（北京）股份有限公司 $