精品解析：四川省资阳市安岳中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

安岳中学高2025级第一学期第一次月考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则的子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 3 已知命题p：，，命题q：，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. p和都真命题 D. 和都是真命题 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C D. 或 5. 设，，若，则的最小值为 A. B. 8 C. 9 D. 10 6. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若不等式的解集为，则必有 D. 命题“，使得.”的否定为“，使得.” 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，，则 11. 下列命题正确的是（     ） A. 若，且， B. 已知正数、满足，则的最小值为 C. 若，则的最大值是 D. 若，，，则的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，则“”是“”的__________条件. 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围为__________ 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合或，关于的不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 16. 解关于的不等式. （1）； （2）； （3）. 17. 若正实数，满足： （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 18. 设全集，集合. （1）当命题:,为真命题时，实数的取值集合为，求； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2025级第一学期第一次月考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A，再利用交集的定义求解即得． 【详解】依题意，，而， 所以． 故选：B 2. 设集合，，则的子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A，求出，进而判断其子集个数. 【详解】集合或，， ， 中元素的个数为3，子集个数为 故选：A. 3. 已知命题p：，，命题q：，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】举出例子，说明p是假命题，q是真命题，从而得到结论. 【详解】当时，显然不成立，所以p是假命题，是真命题； 当时，显然成立，所以q是真命题，是假命题. 故选：B 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先移项使得右边为，再通分并作等价转化，注意分母不为，解一元二次不等式即可. 【详解】由，得，即， 因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 5. 设，，若，则的最小值为 A. B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案． 【详解】由题意知，，，且，则 当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等． 6. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若不等式的解集为，则必有 D. 命题“，使得.”的否定为“，使得.” 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，满足题意，但不成立，即充分性不成立； 例如，则， 即，满足题意，但不成立，即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确； 对于选项B：若，满足，但不满足， 故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确； 对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确； 对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确. 故选：C. 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 8. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 10. 下列说法中正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 故选：AB. 11. 下列命题正确的是（     ） A. 若，且， B. 已知正数、满足，则的最小值为 C. 若，则的最大值是 D. 若，，，则的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误； 对于选项，，所以， 则， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确； 对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确； 对于选项，因为，所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误． 故选：． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，则“”是“”的__________条件. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】先解不等式求出其解集，再根据集合间包含关系确定条件类型． 【详解】，解得， ， 若属于“”，不一定满足“”，如，即充分性不成立； 若属于“”则属于“”一定成立，即满足必要性，故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合或，关于的不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】 （1）由，解不等式，即可求出集合； （2）由，可得，进而列出不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，即或， 所以集合或. （2）因为，所以， 由或，或， 可得，即. 所以实数的取值范围是. 16. 解关于的不等式. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）变形得到，求出不等式的解集； （2）分和两种情况，结合根的判别式和因式分解得到不等式的解集； （3）原不等式转化，分，和三种情况，求出不等式解集. 【小问1详解】 不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 ，当时，，，解集为， 当时，原不等式转为，即，解得， 所以不等式解集为； 【小问3详解】 ， 原不等式转化为， 当时，解得； 当时，解得， 当时，，解集为， 综上， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 若正实数，满足： （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）1 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，求的最大值； （2）由，利用基本不等式求的最小值； （3）由，利用基本不等式求最小值即可. 小问1详解】 正实数，满足：， 则有，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为1. 【小问2详解】 正实数，满足：， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 正实数，满足：， ， ，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以时，的最小值为2. 18. 设全集，集合. （1）当命题:,为真命题时，实数的取值集合为，求； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，可知方程有解，由可求出集合，然后解分式不等式求出集合，再利用交集的运算求解即可； （2）由已知可确定真包含于，根据集合的包含关系，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 依题意，方程有解， 则恒成立，解得：， 所以集合， 又因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以真包含于， 由（1）知，则集合， 又， 则，解得：， 所以实数的取值范围为：. 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）①，②36 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $