第21 章 一元二次方程 专题卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21 章《一元二次方程》专题卷 高频考点一 一元二次方程的概念 1.把方程2x(x-1)=3x化成 的形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ， ， 2.若x=0是一元二次方程 的一个根，则a 的值为 . 高频考点二 解一元二次方程 3.解下列方程： (一)直接开平方法 (二)配方法 (三)公式法 (四)因式分解法 (8)3x(x-2)-2(2-x)=0. 高频考点三 根的判别式 4.若关于x的方程 有实数根，则a 的取值范围是 . 5.若关于x的方程 且k 为整数)有两个不相等的整数根，则k 的值为 . 6.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根； (2)若方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍，求整数t 的值. 高频考岛贸号机与系数备并数学 7.已知 m,n 是方程 的两根，求 的值. 8.已知方程 的两根为x₁，x₂，不解方程，求下列各式的值： 高频考点五 根的判别式及根系关系的运用 9.已知关于x 的一元二次方程 (1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若((2a+b)(a+2b)=20,求m的值. 10.已知关于x 的方程 有两个不相等的实数根 (1)填空: (2)求 及 的值；(用含 p 的式子表示) (3)若 求p 的值. 11.已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根： (1)求m 的取值范围； (2)若 满足 求m 的值. 学科网（北京）股份有限公司 高频考点六实际问题与一元二次方程 (一)数字问题 12.赏诗词中的数学：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜?(注：三十而立) (二)循环问题 13.在一次老同学聚会上，大家见面相互握手(每两人只握一次手)，并且在聚会后，每两人都互赠礼物一份. (1)若大家共握手91次，求参加聚会的人数； (2)若聚会后大家共赠礼物272份，求参加聚会的人数. (三)分支问题 14.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支? (四)传染问题 15.有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感. (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染? (五)增长率问题 16.为了引导学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2023年该校用于购买图书的费用为5 000元，2025年用于购买图书的费用是7 200元. (1)求2023~2025年购买图书费用的年平均增长率； (2)如果按照(1)中的增长率，预计2026年用于购买图书的费用是多少元? (六)营销问题 17.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. (1)如果每件盈利30元，平均每天可售出多少件? (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元? (七)面积问题 18.如图,在 中， ，动点P 从点 A 开始沿着边AB 向点 B 以2cm/s的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿着边 BC 向点C 以 4 cm/s的速度移动(不与点C 重合).若P，Q两点同时移动t(s). (1)当移动几秒时， 的面积为 (2)设四边形APQC 的面积为 ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为 19.如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m),面积为 现将边AB 增加1m. (1)如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，求b的值； (2)如图2，若边AD 增加2m，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为 求 s 的值. 1.2 - 5 0 2.2 3.解: (7)(x-7)(x+2)=0, ∴x-7=0或x+2=0, 4. a≥15.2 6.解:(1)∵△=[-(t-1)]²-4×(t- ∴对于任意实数t，方程都有实数根； (x-t+2)(x-1)=0, 解得 ∵方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍， ∴t-2=3×1,解得t=5; 或3(t-2)=1,解得 (舍去). 故整数t的值为5. 7.解：由题意，得 n²=2024n-3,m+n=2024,mn=3, ∴原式=(m+1)(n+1) = mn+(m+n)+1 =3+2024+1 =2028. 8.解:(1)-1; (2)3; (3)3; (4)7. 9.解:( m)=1>0, ∴无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 的两个实数根为a，b， ∵(2a+b)(a+2b)=20, 即 解得m=1或m=-2. 10.解:(1)p,1; 即 当p=3时, 当p=-1时, ∴p=3. 11.解:( 20-4m≥0,解得 m≤5; ①② 又 联立①③，解得. ∴8=m+4,m=4. 12.解：由题意知周瑜去世时的年龄是一个两位数. 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x-3， 依题意，得 解得 当x=5时，这个两位数为25(不合题意，舍去)； 当x=6时，这个两位数为36，符合题意. 答：周瑜去世时的年龄为 36岁. 13.解：(1)设参加聚会的人数为x人，依题意，得 解得 (舍去). 答：参加聚会的人数为14人； (2)设参加聚会的人数为y人，依题意,得y(y-1)=272,解得 (舍去), 答：参加聚会的人数为17人. 14.解：设每个支干长出x个小分支，由题意，得 解得 (舍去).答：每个支干长出8个小分支. 15.解：(1)设每轮传染中平均每人传染了x人， 由题意,得1+x+x(x+1)=36,解得 (舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； (2)36×5=180(人). 答：不及时控制，第三轮将又有 180人被传染. 16.解:(1)设 2023~2025 年购买图书费用的年平均增长率为x， 由题意，得 解得. 0(不符合题意，舍去). 答:2023~2025年购买图书费用的年平均增长率为20%； (2)7 200×(1+20%)=8640(元).答：预计2026年用于购买图书的费用是8640元. 17.解:(1)20+2×(40-30)=40(件). 答：平均每天可售出40件； (2)设每件商品降价x元， 则每件盈利(40-x)元，平均每天可售出(20+2x)件, 依题意,得(40-x)(20+2x)=1 050, 整理，得 解得 又∵每件盈利不少于25元，∴40-x≥25,解得x≤15,∴x=5. 答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元. 18.解:(1)运动时间为 t 秒时(0≤t<6),PB=AB-2t=12-2t,BQ=4t, =32, 解得 答:当移动 2 秒或 4 秒时,△BPQ的面积为32 cm²; =108,解得 答：当移动3 秒时，四边形 APQC的面积为 108cm². 19.解:(1)∵边 AD 减少 1m ,得到的矩形面积不变， ∴5b=(5+1)×(b-1), 解得b=6; (2)根据题意知 ∵边 AB 增加 1 m,边 AD 增加2m,得到的矩形面积为2s(m²), ∴(a+1)(b+2)=2s, 整理，得 ∵有且只有一个 a 的值使得到的矩形面积为2s， ∴△=0,即( 解得 (不符合题意舍去) 或 故 $