5.1认识二元一次方程组 学案 2025-2026学年北师大版（2024 ）数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“5.1认识二元一次方程组”，核心知识点为二元一次方程、方程组及解的概念。通过小明栽种绿植、公园徒步等生活情境导入，引导学生从实际问题中抽象等量关系，衔接一元一次方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境化探究与分层练习结合，通过观察归纳、小组合作等方式，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型观念（数学语言），助力学生从生活中发现数量关系，提升应用意识与逻辑表达能力，习题覆盖基础到拓展，兼顾不同层次需求。

分课时学案 课题 5.1认识二元一次方程组 单元 第五单元 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，能判断给定式子是否为二元一次方程（组），能检验一组值是否为方程（组）的解； 2.能从实际情境中抽象出两个独立等量关系，列出二元一次方程（组），发展模型思想与抽象思维能力； 3.通过小组合作探究，体会数学与生活的紧密联系，增强应用意识，提升合作交流与逻辑表达能力。 重点 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的核心概念； 2.能从实际情境中准确抽象等量关系，列出二元一次方程（组）。 难点 理解二元一次方程组的解是组成方程组的两个方程的公共解，及从实际情境中精准提取两个独立等量关系。 教学过程 导入新课 情景引入： 小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍。 (1)这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了y株绿植，由此你能得到怎样的方程？ 新知讲解 探究活动一： 尝试思考： 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元。已知每张成人票5元，每张学生票3元。 (1)这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)设他们中有成人x人、学生y人，由此你能得到怎样的方程？ 探究活动二： 观察思考： 在上面两个情境中，我们分别得到方程x-y=2和x+1=2(y-1)，以及x+y=8和5x+3y=34。观察这些方程，它们有什么共同特征？ 提示：可以从未知数的个数、次数方面思考 总结归纳：二元一次方程： _________________________________________________________________________ 练习：判断下列方程是不是二元一次方程？ (1)x+y=11；(2)m+1=2；(3)x2+y=5；(4)3x-π=11； (5)-5x=4y+2；(6)7+a=2b+11c；(7)x-=2；(8)4xy+5=0. 探究活动三： 思考交流： 方程x+y=8和5x+3y=34中，x所代表的对象相同吗？y呢？ 总结：二元一次方程组的概念： 例如，和都是二元一次方程组。 练习：判断下列方程组是不是二元一次方程组，并说明理由. (1)　(2)　(3)　(4)(5) 探究活动四： 尝试思考： (1)x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他x，y的值适合方程x+y=8吗？ (2)x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？ 二元一次方程的解： 注意：一般情况下二元一次方程的解的个数有无数多个. 练习：二元一次方程x-3y=1的整数解可能是　　　　.  (3)你能找到一组x，y的值同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？ 课堂练习 巩固训练 1.以 为解的二元一次方程组是（ ） A.　B. C.　D. 2.如果是方程组的解，那么m＝____，n＝ ____. 3.写出一个以为解的二元一次方程为_________________. 4.若方程2x2m+3+3y3n-7＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝____，n＝____. 5.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程x-3y＝1的解？ A. 　B. C.　 D. 作业布置 基础达标： 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是 (　　) A. B. C. D. 2.下列四组数值中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是 (　　) A. B. C. D. 3.已知3x|m|+(m+1)y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 (　　) A.1 B.-1 C.±1 D.2 4.某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4 kg荔枝，每个小箱装3 kg荔枝。该果农现采摘有32 kg荔枝，根据市场销售需求，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为 (　　) A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱 5.若方程2x2m+3+(n+3)y|n|-2=4是关于x，y的二元一次方程，则mn=　　　　。  能力提升： 6.若关于x，y的二元一次方程组的解是则m+n的值为　　　　。  7.小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2 kg，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克。设小亮妈妈买了甲种水果x kg，乙种水果y kg，则可列方程组为　 。  8.观察下列方程组：① ②…。若第④个方程组满足上述方程组的数字规律，则第④个方程组为　　　　　　。  9.若关于x，y的方程(a-2)x2+3ax+2y=4是二元一次方程，当x=时，求y的值。 拓展迁移： 10.若关于x，y的方程组的一个解为x=-2，求k的值。 11.某电视台在黄金时段2 min广告时间内，计划插播长度为15 s和30 s的两种广告。15 s广告每播一次收费0.7万元，30 s广告每播一次收费1.2万元。若要求每种广告播放不少于2次。请问： (1)两种广告的播放次数有几种安排方式？ (2)电视台选择哪种方式播放收益较大？ 参考答案： 巩固训练： 1.D 2.5 1 3.2x+y＝1(答案不唯一) 4.-1 5.解：B，C，D. 作业设计： 1.A　解析：A.是二元一次方程组，符合题意；B.不是二元一次方程组，不符合题意；C.不是二元一次方程组，不符合题意；D.不是二元一次方程组，不符合题意。故选A。 2.D　解析：A.将x=1，y=2代入方程，左边=2+2=4=右边，所以是方程的解；B.将x=2，y=0代入方程，左边=4=右边，所以是方程的解；C.将x=0.5，y=3代入方程，左边=1+3=4=右边，所以是方程的解；D.将x=-2，y=4代入方程，左边=0≠右边，所以不是方程的解。故选D。 3.A　解析：根据题意，得|m|=1且m+1≠0。所以m=±1且m≠-1。所以m=1。故选A。 4.C　解析：设可以装x箱大箱，y箱小箱。根据题意，得4x+3y=32，所以x=8-y。又因为x，y均为正整数，所以或所以x+y=9或10。所以所装的箱数最多为10箱。故选C。 5.-1　解析：根据题意，得2m+3=1，|n|-2=1，解得m=-1，n=±3。因为n+3≠0，解得n≠-3。所以n=3。所以mn=(-1)3=-1。 6.0　解析：将代入原方程组，得解得所以m+n=-2+2=0。 7.　解析：设小亮妈妈买了甲种水果x kg，乙种水果y kg。由题意，得 8.　解析：每个方程组的第二个方程：①2x+y=1，②3x+2y=2，③4x+3y=3，根据规律，得x的系数为序号数加1，y的系数等于序号数，等号右边的数等于序号数，即第④个方程组的第二个方程为5x+4y=4。根据题意，得每个方程组的第一个方程x的系数均为1，y的系数为第二个方程y的系数的相反数，等号右边的数是方程组的序号数乘第二个方程x的系数，即第④个方程组的第一个方程为x-4y=20。 9.解：由题意，得a-2=0，即a=2，则原方程可变形为3x+y=2。 当x=时，+y=2，解得y=。 10.解： 把x=-2代入②，得-2+2y=2。 解得y=2。 把x=-2，y=2代入①，得 2×(-2)+2=1-3k。 解得k=1。 所以k的值为1。 11.解：(1)设15 s广告播放x次，30 s广告播放y次。根据题意，得15x+30y=120。 则y=4-x。 因为x，y为不小于2的正整数，则有当x=2时，y=3；当x=4时，y=2。 所以或 所以有两种播放安排方式，即15 s广告播放4次、30 s广告播放2次，或15 s广告播放2次、30 s广告播放3次。 (2)若x=4，y=2， 则0.7×4+1.2×2=5.2(万元)； 若x=2，y=3， 则0.7×2+1.2×3=5(万元)。 因为5.2万元>5万元， 所以电视台选择15 s广告播放4次，30 s广告播放2次的方式收益较大。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $