5.1认识二元一次方程组导学案2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二元一次方程、方程组及解的概念，通过植树活动、公园门票等实际情境导入，以一元一次方程知识为支架，引导学生发现含两个未知数的数量关系，建立新旧知识联系。 资料注重情境创设与问题探究，通过辨析方程类型、寻找方程组解等活动，培养学生的推理意识和运算能力，发展数学思维。分层设计的习题与实际问题结合，帮助学生理解模型意识，提升用数学语言表达现实世界的能力。

第五章 二元一次方程组 5.1认识二元一次方程组导学案 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。 2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。 3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。 学习重点：二元一次方程组的含义 学习难点：判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。 ► 课前自测 1.含有未知数的 叫方程，如： . 2.若方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程，这样的方程叫 ，如： . 3.满足方程左右两边未知数的值叫做方程的 . 4.若x=2是关于x的一元一次方程ax+2=8的解，则a= . 5.方程x+y=8是一元一次方程吗？ ； 6. 是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ） A 、2 B、-2 C、± 2 D、4 ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 小明和小颖课外参加植树活动，他们分别种了若干株绿植，小明比小颖多2棵，如果小颖种植的给小明1棵，那么小明种植的小颖种植的2倍。 （1） 情境中有哪些数量关系？ . （2）设小明种植的绿植x棵，小颖种植的绿植y棵，能得到怎样的方程 . 二、合作交流、新知探究 探究一：二元一次方程的概念 昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元,每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，成年人多少人？儿童多少人？ 设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程? X+y=8; 5x+3y=34 观察比较 X-y=2; x+1=2(y-1) X+y=8; 5x+3y=34 上面所列方程各含有几个未知数?（2个未知数） 含有未知数的项的次数是多少?（1） 二元一次方程的定义： 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程. 做一做： 在(1) 2x+3 ；(2) ；(3) ；(4) (5) 5xy=6, (6) x+y=8中， 是方程的有. ,是一元一次方程的有 ， 请写出你所找出的一元一次方程的解 , 二元一次方程有： , 解析：二元一次方程具备的条件： ①左右两边必须是整式； ②方程中必须含2个未知数； ③未知项的次数为1，而不是未知数的次数为1 探究二：二元一次方程组的概念 昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元,每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，成年人多少 人？儿童多少人？ 方程x+y=8,5x+3y=34中x和y的含义相同吗？ 相同，方程x+y=8,5x+3y=34中x表示成年人人数,y表示儿童人数。 把两个二元一次方程联立起来,得: X+y=8 5x+3y=34 像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. 做一做 下列哪些是二元一次方程组？ 1) x+y= 2 x-y=1 【 】 (2) x = y 【 】 (3) x=0 y=1 【 】 （4） z=x+1 2x-y=5 【 】 (5) x-3y=8 xy=6 【 】 (6) 3x=5y 2x-y=0 【 】 【强调】判断二元一次方程组的三个要素：含有两个未知数；含有两个未知数1；整式方程。 探究三：二元一次方程的解概念 问题： （1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗 ? x＝5 , y＝3呢? x＝4 , y＝4呢? 你还能找到其他x , y的值适合方程x＋y＝8吗 ? (2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗? x＝2 , y＝8呢? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解,记作 X=6 Y=2 X=1 x=2 x=5 Y=7 y=6 y=3 所以，二元一次方程有无数个解 做一做 1.判断给出的x、y的值是否是方程的解 (1) 2x-3y=6 【 】 (2) 5x+2y=8 【 】 2、 在 中，是方程x+y=22的解的有 (填 序号) 探究四：二元一次方程组的解概念 x＝5 ,y ＝3是方程 x＋y＝8的一个解 那x＝5 , y ＝3是否为方程 5x ＋3y＝34的一个解? 定义：二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解 例如方程组：x+y=8 的解是 x=5 5x+3y=34 y=3 做一做： 1、方程组 的解是（ ） A B. C. D. 2、 已知下列三组数值： A. X= 3 B. x=4 C. x=0 Y=1 y=3 y=2 （1）是方程 2x-y=5 的解的有： . （2）是方程 x+3y=6 的解有： ， （3）方程组 2X-Y=5 的解的是: . X+3Y=6 三、课堂练习、巩固提高 基础达标： 1．下列各式中，是二元一次方程的为（ ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．若方程 是关于x、y的二元一次方程，则（ ） A． B． C． D． 4．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 5．在下列方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 能力提升： 7、已知关于x,y的方程(n-2)x2m+3+3y5|n|-9=4. (1)若方程是二元一次方程,求m2+n2的值; (2)若方程是一元一次方程,求m,n的值或取值范围. 拓展迁移： 8.方程2x-y=3是 元 次方程，它可以变形为 y= ，也可以变形为x = ． 9. 若是关于x，y的二元一次方程组，则a= ， b= , c= ． 10．已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 4、 总结反思、拓展升华 认识二元一次方程组 1、二元一次方程：①含有两个未知数 ②所含未知数的项的次数是1 2、二元一次方程组：①共含有两个未知数 ②两个一次方程 3、二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解 五、【作业布置】 基础达标： 1．下列方程中，是二元一次方程的是(　　) A．y＝3x－1　　　B．xy＝1　　　C．x＋＝2　　　D．x＋y＋z＝1 2．二元一次方程3a＋b＝9在正整数范围内的解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( 　　) A. B. C. D. 4．已知是二元一次方程组的解，则m－n的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5. 方程组的解是(　　) A． B． C． D． 6.若关于x、y的方程xm＋1＋yn－2＝0是二元一次方程，则m＋n＝　 　. 7．若是二元一次方程ax＋by＝2的一个解，则2a－b－6的值是　 　. 8.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有　 　种. 能力提升： 9.方程 是关于x，y的方程，试问当k为何值时， （1） 方程为一元一次方程？ （2）方程为二元一次方程？ 拓展迁移： 10.小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染，“■”和“▲”表示被污染的内容，他着急翻开书后面的答案，这道题的解 你能帮助他补上“■”和“▲”的内容吗？说出你的方法． 11．根据题意列出方程组： (1) 明明到邮局买0.8元与2元的邮票13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？ (2) 将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 课堂作业参考答案： 1、 C 2、 C 3、 B 4、 C 5、 B 6、 D 7、【解析】(1)由题意得2m＋3＝1, 5|n|－9＝1且n－2≠0, 解得m＝－1,n＝－2. ∴m2＋n2＝(－1)2＋(－2)2＝5. (2)若已知方程是关于x的一元一次方程时,有n－2≠0,2m＋3＝1,且5|n|－9＝0, 解得m＝－1且n＝±. 若已知方程是关于y的一元一次方程时,有5|n|－9＝1,解得n＝±2; 当n＝2时,m为任意实数；当n＝－2时,2m＋3＝0, 即m＝－ 综上所述,若已知方程是一元一次方程,m＝－1且n＝±或m＝－且n＝－2或m为任意实数且n＝2. 8、二，一， 2x-3 ， 9、3或2，-2，-3 10、【解析】：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0， 解得：m=5． 课外作业参考答案： 1、 A 2、 C 3、 C 4、 D 5、 D 6、 3 7、 -4 8、 2 9解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以： ①，解得k＝－2； ②，无解， 所以k＝－2时，方程为一元一次方程． （2）根据二元一次方程的定义可知 ， 解得k＝2， 所以k＝2时，方程为二元一次方程 10、■＝7，▲＝11 11、（1）解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意，得 （2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $