精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市四校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度（上）九年级第一次月考数学试题 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 2 4 2 … 有下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 一元二次方程的根是______． 12. 二次函数y=x2+4x﹣1的最小值是_____． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是 __________． 15. 设抛物线的顶点在x轴上，则k的值为___________． 16. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________． 17. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 18. 已知二次函数的图象的最高点为，则_____． 19. 如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要331枚棋子．则________． 三、解答题 20. 解下列方程 （1） （2） （3）． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 22. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． （1）求二次函数解析式； （2）若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 23. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求，两点的坐标； （2）将抛物线向下平移________个单位长度后经过原点； （3）结合图象直接回答问题：当取何值时， 25. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式________． （2）设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 26. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（上）九年级第一次月考数学试题 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）整理后二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对各个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，当时，方程化为，不含二次项，故不是一元二次方程； B、，符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； C、，含有两个未知数，故不是一元二次方程； D、，不是整式方程，故不是一元二次方程； 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程一般形式，先把方程化为一般形式，再根据一般形式确定二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】解：方程的一般形式是：， 二次项是，一次项是，常数项是， 的系数是，的系数是，常数项是． 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标．根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接读取h和k的值． 【详解】解：∵ 抛物线方程为，可化为， ∴ 顶点坐标为． 故答案为：D． 4. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 6. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解．根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：B． 7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程x2﹣6x+8=0得：x=2和x=4， ∵2+2=4， ∴2、2、4不能构成三角形， ∴三角形的三边长为2、4、4， 则周长为：2+4+4=10. 故选：B． 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 9. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 10. 在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 2 4 2 … 有下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故选：C． 二、填空题 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 二次函数y=x2+4x﹣1的最小值是_____． 【答案】-5 【解析】 【分析】将二次函数y=x2-4x-1配方成顶点式，即可得到最小值． 【详解】∵y=x2+4x﹣1=x2+4x+4﹣5=（x+2）2﹣5， ∴二次函数y=x2+4x﹣1的最小值是﹣5． 故答案为﹣5． 【点睛】此题考查了二次函数的最值，将一般式化为顶点式，即可直接得出二次函数的最值． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 14. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．对于二次函数，令，解得，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则有， 所以，该函数图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 15. 设抛物线的顶点在x轴上，则k的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有一个交点，可知，进而得出答案． 【详解】∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解与抛物线和x轴交点的关系是解题的关键． 16. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________． 【答案】（，0） 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点P和点Q关于直线对称， 又∵点P的坐标为（4，0）， ∴点Q的坐标为（-2，0）． 故答案为（-2，0）． 17. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出时y的值，就可得到y的取值范围． 【详解】由二次函数可知： 抛物线开口向上，顶点为， ∴函数有最小值， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，结合图像可得函数的最值是解题的关键． 18. 已知二次函数的图象的最高点为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入求出，然后根据抛物线开口向下得到，求出． 【详解】根据题意可得， 将代代入得，， 解得， ∵抛物线的最高点为， ∴抛物线开口向下， ∴，即， ∴． 故答案为：． 19. 如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要331枚棋子．则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，找出第n个图案中棋子的数量是解题的关键． 根据前3个图案需要的棋子枚数找出规律，得到第n个图案需要的棋子枚数，再根据摆第个图案需要331枚棋子列出方程，求解即可． 【详解】解：摆第1个图案需要7枚棋子，而； 摆第2个图案需要19枚棋子，而； 摆第3个图案需要37枚棋子，而； ……； 摆第n个图案需要棋子数量为（枚）． ∴当摆第个图案需要331枚棋子时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 三、解答题 20. 解下列方程 （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用公式法求解即可； （3）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 或， ． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）该方程的另一个根为2 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 22. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． （1）求二次函数解析式； （2）若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 23. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能 设后，的面积等于根据题意，得， ， ． 此方程无实数根， 的面积不能等于． 【解析】 【分析】本题通过动点的形式考查一元二次方程求解及利用判别式判定是否存在实数根； （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求得时间； （2）根据题意列出一元二次方程，用判别式求解方程根的情况，即可说明是否存在． 【小问1详解】 解：设后，的面积等于根据题意，得 解得，． 当时，不合题意，舍去， 答：后，的面积等于； 【小问2详解】 略 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求，两点的坐标； （2）将抛物线向下平移________个单位长度后经过原点； （3）结合图象直接回答问题：当取何值时， 【答案】（1）， （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）令，则，解方程即可得到点A，B的坐标； （2）设抛物线向下平移n个单位长度，则新抛物线解析式为，将原点坐标代入解析式，即可求得n的值； （3）求时x的取值，即求抛物线在x轴下方对应的自变量x的取值范围，结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴，． 【小问2详解】 解：设抛物线向下平移n个单位长度，则新抛物线解析式为， ∵新抛物线过原点， ∴，解得， ∴将抛物线向下平移4个单位长度后经过原点． 故答案为：4． 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于，， ∴由图象可得，当或时，． 25. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式________． （2）设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元 （3）70元或80元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用，关键是根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式，然后由二次函数的性质求出函数最大值； （3）把代入（2）中所求的W关于x的函数解析式，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系， ∴设， 由表可得当时，；当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，为2025元， ∴当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元． 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， ∴公司想要每天获利2000元，销售单价应定为70元或80元． 26. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）存在，点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【小问3详解】 解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $