专题八 平面解析几何 第二讲 椭圆、双曲线和抛物线专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题八 平面解析几何 第二讲 椭圆、双曲线和抛物线专题测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 3.已知抛物线与圆（）交于A，B两点，且，则( ) A. B. C.2 D.1 4.已知双曲线（，）的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则( ) A. B. C. D. 5.已知椭圆与函数的图像相交于四个不同的点，其中两个点为、，且在这两点处椭圆的切线斜率均与函数在该点的导数相等.则椭圆E的离心率为( ) A. B. C. D. 6.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段的长为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为( ) A. B. C. D. 8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点P，Q分别是抛物线和上的动点，若抛物线C的焦点为F，则的最小值为( ) A.6 B. C. D.5 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.过双曲线的一个焦点的直线与C的一条渐近线平行，且与C交于点P，则( ) A.C的实轴长为 B.C的离心率为 C.P到的右焦点的距离为 D.C的一个顶点坐标为 10.下列说法正确的是( ) A.圆的半径为 B.椭圆的离心率为 C.双曲线的实轴长为2 D.抛物线的焦点坐标为 11.已知抛物线，过C的焦点F作直线，若C与l交于A，B两点，，则下列结论正确的有( ) A. B. C.或 D.线段中点的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则__________. 13.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则C的离心率为_______________. 14.已知过抛物线的焦点F，且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.（13分）已知抛物线的焦点F在直线上 (1)求抛物线C的方程 (2)设直线l经过点，且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程 16.（15分）已知双曲线的实轴长为2，离心率为.直线与双曲线C相交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程． 17.（15分）已知一动圆C与直线相切且过定点. (1)求圆心C的轨迹方程； (2)A、B是C的轨迹上异于原点O的两点； (i)若，求面积最小值； (ii)直线、的倾斜角分别为与，当时，试问：直线是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 18.（17分）已知双曲线经过点，动直线l与E恰有1个公共点，且与E的两条互相垂直的渐近线分别交于点M，N. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，求证：的面积为定值； (3)过E的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与E交于A，B两点，与E交于C，D两点，若的中点为P，的中点为Q，求证：直线与y轴垂直. 19.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，已知点A在直线上运动，且，当时，点A在椭圆上 (1)求椭圆C的方程； (2)设A是椭圆C外，过点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且直线、与直线分别交于M、N，求的值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，所以实数k的取值范围是.故选：D. 2.答案：A 解析：由双曲线的定义知，所以.又，所以，因此双曲线的标准方程为.故选：A. 3.答案：A 解析：设，（）， 由，得，所以.因为在圆上，所以，得，故选：A. 4.答案：D 解析：根据双曲线的离心率，得，即，即，所以，，所以双曲线的渐近线方程为，易知渐近线与圆相交. 方法一：由得.设，，则，.所以.故选D. 方法二：圆心到渐近线的距离，所以，故选D. 5.答案：B 解析：因为，则，则，下面证明椭圆E在其上一点处的切线方程为，由题意可得，联立，可得，则，所以椭圆E在其上一点处的切线方程为，由题意椭圆E在点处的切线方程为，其斜率为，由题意可得，故该椭圆的离心率为.故选：B. 6.答案：A 解析：由题知，抛物线方程为，所以抛物线焦点为，所以该直线方程为，即，联立，得，设，，则，所以.故选：A 7.答案：D 解析：如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C， 设，，由图形的对称性知.由A，B两点在双曲线上知，，作差得到，其中，故直线的斜率，此时直线的方程为，与双曲线的方程联立得，化简得，即或，那么或.又直线的斜率为，所以或，解得，故选：D. 8.答案：B 解析：易知抛物线的焦点，，不在圆E上，将圆变形为：，，即，，，当且仅当P，Q，M三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号；所以，故，所以的最小值为，故选：B. 9.答案：BC 解析：直线与坐标轴的交点分别为和，因此双曲线的一个焦点为，即，又双曲线的一条渐近线与直线l平行，所以，由，解得， 选项A，实轴长为，A错； 选项B，离心率为，B正确； 选项C，双曲线方程为，由解得，即，右焦点为，则，C正确； 选项D，曲线C的顶点坐标为，D错误；故选：BC. 10.答案：ABD 解析：对于A，圆的标准方程为：，半径为，故A正确； 对于B，，，，得，故B正确； 对于C，双曲线的实轴长为4，故C错误； 对于D，由方程的，，焦点坐标为：，故D正确.故选：ABD. 11.答案：ABD 解析：抛物线的焦点F在x轴上，过F作直线，可知， 则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线l的方程代入抛物线方程，得.设，， 由韦达定理有，，，得，解得，，或，，，则或，C选项错误； 则，，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确.故选：ABD. 12.答案：4 解析：根据题意，椭圆的方程为，其中，其右焦点坐标为，则抛物线的焦点为，则，则，故答案为：4. 13.答案：2 解析：双曲线的一条渐近线不妨设为：，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有，，可得，即.故答案为：2. 14.答案： 解析：抛物线的焦点F的坐标为，斜率为且过焦点的直线方程为，代入，化简得，易知，设，，其中，.所以，，所以，，，所以. 15.答案：(1) (2)l的方程为、、 解析：(1)抛物线的焦点在y轴上，且开口向上， 直线与y轴的交点为，则， 所以，，抛物线的方程为. (2)当直线l的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点. 那个直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， ，， ，解得或. 所以直线l的方程为或. 综上所述，l的方程为、、. 16.答案：(1)； (2). 解析：(1)根据题意，双曲线的实轴长为2，离心率为， 则，解得，所以双曲线C的方程为. (2)由(1)知，双曲线C的方程为， 设，，联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线l的方程为. 17.答案：(1)； (2)(i) (ii)是，定点为. 解析：(1)设，由题意有，则； (2)(i)设，，联立抛物线， 则，且，，则， 由，可得，即， 所以直线恒过点， 则， 当且仅当时取等号，所以面积最小值为； (ii)由题设且，联立， 可得，同理， 所以， 则， 由， 所以， 当时，， 所以直线过定点. 18.答案：(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 解析：(1)双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线垂直可得，所以. 将点代入，得，解得，所以E的方程为. (2) 证明：当动直线l的斜率不存在时，，，. 当动直线l的斜率存在时，不妨设直线， 故由得， 从而，化简，得. 又因为双曲线E的渐近线方程为，由得 所以，同理可得， 所以， 又原点O到直线的距离，所以， 又，所以.综上所述，的面积为定值1. (3)由题意可得，双曲线E的右焦点为， 当直线与的斜率都存在时， 设直线的方程为，，，由得，且， 所以， 因为点P是的中点，所以. 因为，所以将换成，得. 因为点P与点Q的纵坐标相同，所以直线与y轴垂直， 当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，易得，； 当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，易得，. 所以直线的方程为，与y轴垂直.综上所述，直线与y轴垂直. 19.答案：(1) (2)0 解析：(1)设，易知，，，则，解得； 由题意可知时，点在椭圆C上，即可得， 且，所以，；因此椭圆C的方程为. (2)易知过点的直线斜率存在，设，，， 当其斜率为0时，直线，此时， 则直线的方程为，可得，同理可得； 则； 当直线斜率不为0时，不妨设其方程为，如下图所示： 联立可得，显然； 可得，， 直线的方程为， 令，可得；同理可得； 所以， 易知， 即，可得；综上可得. 学科网（北京）股份有限公司 $