专题06 实数重难点题型汇编（十四大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题06 实数重难点题型汇编 【题型01求一个数的算术平方根】....................................1 【题型02利用算术平方根的非负性解题................................3 【题型03与算术平方根有关的规律探索题】............................5 【题型04求一个数的平方根】........................................9 【题型05已知一个数的平方根，求这个数】.............................10 【题型06利用平方根解方程】........................................13【题型07已知一个数的立方根，求这个数】..............................15 【题型08算术平方根和立方根的综合应用】.............................17 【题型09无理数的定义】............................................18 【题型10实数的性质】...............................................19 【题型11实数与数轴】..............................................20 【题型12无理数的大小估算】........................................21 【题型13无理数整数部分有关计算】..................................23【题型14 实数混合运算】...........................................24 【题型15 实数应用】..............................................26 【题型01求一个数的算术平方根】 1．9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：因为, ∴9的算术平方根3， 故选：A． 2．的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可判断，掌握平方根和算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，根据算术平方根并结合无理数计算即可得解． 【详解】解：当输入x的值为81时， ∵，不是无理数， ∴继续进行取算术平方根运算； ∵，不是无理数， ∴继续进行取算术平方根运算； ∵是无理数，故输出y的值是， 故答案为：． 4．计算 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查二次根式的化简求值，应先计算根号内的值，再求其算术平方根． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型02利用算术平方根的非负性解题】 1．已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得到，求解即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 【详解】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 3．若，满足，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根非负数的性质，先根据非负数的性质求出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 4．已知，都为实数，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根、有理数乘方等知识点，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为是解题的关键． 根据非负数的性质得到关于、的等式，求得、的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ． 故答案为：． 5．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 6．已知，则的算术平方根是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根，绝对值与算术平方根的非负性．根据算术平方根和绝对值的非负性得到，得到，根据算术平方根的的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ， 解得， ， ∴的算术平方根是 3 ， 故答案为：3． 【题型03与算术平方根有关的规律探索题】 1．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 2．若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位．被开方数是把的小数点向左移动2位后得到的，则的值是把的值小数点向左移动1位；62400是把小数点向右移动4位，则是将的值向右移动2位得到． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 3．观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算规律探究，分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． 根据题意找规律写出结果即可． 【详解】解：由， ， ， 所以． 故答案为：． 4．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 5．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解； （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得 ，即可求解； ②根据关系得 ，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 【题型04求一个数的平方根】 1．16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：16的平方根是． 故选：C． 2．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、平方根的定义，将化简是解题的关键．先化简，然后再求得它的平方根即可． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为： ． 3．的负的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，可得，求出的负的平方根即可． 【详解】解：， ， 的负的平方根是， 故答案为：． 【题型05已知一个数的平方根，求这个数】 1．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为（   ） A．4 B．8 C． D．64 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数有两个平方根，且互为相反数，列出方程计算即可得出答案， 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 故选：A， 2．如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（   ） A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，相反数， 先根据正数的平方根互为相反数求出a，再根据平方根的定义求出答案即可. 【详解】解：∵一个正数x的两个平方根是与， ∴， 解得， ∴. ∵9的平方根是， ∴. 故选：D. 3．一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为0，由此建立方程求解m的值，再代入任一平方根表达式并平方得到原正数． 【详解】解： 由题意，正数的两个平方根为和，它们互为相反数， 故有： 解得： ∴， ∴原正数为， 因此，这个正数为4， 故选：D． 4．若一个正数的两个平方根是和，则的值为 ． 【答案】49 【分析】本题重点考查​平方根的性质​，特别是“一个正数的两个平方根互为相反数”这一概念，​利用这一性质列出方程并求解参数，进而求出的值是解题的关键​． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求出，计算即可． 【详解】解：，， ∴，， 故答案为：49． 5．若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式，得，再求出这个正数，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数是 故答案为：1 6．已知一个数的两个不相等的平方根分别为和． (1)求这个数； (2)平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的求法和性质是解题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据平方根的定义列方程解出求出，再求出和中，平方后可得的值； （2）求出，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个数的两个不相等的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴，， ∴数的两个不相等的平方根分别为和， ∴数； （2）解：， ∴平方根为． 7．已知正数的两个平方根分别是和 (1)求代数式的值； (2)当时，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)的算术平方根是． 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出，再整体代入即可求解； （2）把代入，求得，进而可求出x的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴正数x的值为， ∴， ∴的算术平方根是． 【题型06利用平方根解方程】 1．求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）先求得，再根据平方根的性质求解即可； （2），根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 2．计算： （1）                        （2） 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）移项，利用平方根的性质求解； （2）移项，利用平方根的性质求解. 【详解】解：（1） ； （2） ，. 【点睛】本题考查了平方根的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 3．求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． （1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：移项得，， 两边都除以9得，， 由平方根的定义得，； （2）移项得，， 合并同类项得，， 由平方根的定义得，， 即或； （3）移项得，， 两边都除以3得，， 由平方根的定义得，， 即或； 【题型07已知一个数的立方根，求这个数】 1．若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，首先根据a的立方根是4求出a，然后根据平方根的定义求出a的平方根． 【详解】解：∵a的立方根是4， ∴， ∴a的平方根是：， 故选：A． 2．，则的值为（    　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3.已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【答案】D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 4．若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，立方根和平方根定义，根据算术平方根定义和立方根定义求出或，，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当，时，， 当，时，， 综上分析可知，的值为6或0． 故选：C． 【题型08算术平方根和立方根的综合应用】 1．已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解： 的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 3．已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 4．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 【题型09无理数的定义】 1．下列实数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的定义．根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数，而有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，由此可判断． 【详解】解： 有理数有：、 无理数有： 故选：D． 2．在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解： ， 在实数，，，，，中，无理数有，，共个， 故选：B． 【题型10实数的性质】 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，实数的运算，根据绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：B． 2．实数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的绝对值，根据绝对值的含义求解即可． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：. 3．的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行解答． 【详解】的相反数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查相反数，算术平方根，解题关键在于掌握相反数的定义． 4．的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】先求出绝对值的值，根据相反数的定义，即可得出答案． 【详解】解：， ∴其相反数是， 故答案为： 【点睛】本题考查化简绝对值，求一个数的相反数，掌握相反数的定义是本题的关键． 【题型11实数与数轴】 1．如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 2．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查实数与数轴、圆的周长公式，理解数与数轴上的点的对应关系是解答的关键． 求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【详解】解：圆的直径为1个单位长度， 该圆的周长为． 当圆向左滚动时，点表示的数为； 当圆向右滚动时，点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 故答案为：或 3．如图，实数，在数轴上的对应点可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数、实数的大小比较，因为，所以实数在数轴上对应的点在和之间． 【详解】解：， ， ， 数轴上只有点表示的数在和之间， 在数轴上的对应点可能是点． 故答案为：D． 【题型12无理数的大小估算】 1．估计的大小，应在（   ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．3到4之间 D．2到3之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数． 通过找出与10相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 3．估算的值，与它最接近的两个整数是（   ） A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据与、的大小可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的减法、无理数的估算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键．利用二次根式的减法化简，再根据无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 估计的值应在1和2之间． 故选：B． 5．无理数在哪两个整数之间（    ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， 即在5和6之间， 故选：D． 【题型13无理数整数部分有关计算】 1．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．已知分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是用夹逼法确定无理数的取值范围，进而确定无理数的整数部分即可解决问题． 先算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求整数部分a和小数部分b，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴的整数部分 ∴小数部分 ∴． 故选：B． 3．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 那么， ， 即的值在1和2之间， 故选：C． 4．已知的整数部分为a，的小数部分为b，则的值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方根的估算可知，，即a=9，b=，由此即可求得结果． 【详解】解：∵9<13<16， ∴， ∴，， ∴a=9，b=， ∴=， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是实数的估算，掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【题型14 实数混合运算】 1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，掌握相应的运算法则是关键． 先计算开方和求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先分别计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和有理数的混合运算． （1）根据绝对值的定义可知：，根据立方根的定义可知：，所以可得：原式，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据乘方的定义可知：，根据乘方的定义可知：，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可； （2）利用绝对值的性质化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 2．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 实数重难点题型汇编 【题型01求一个数的算术平方根】....................................1 【题型02利用算术平方根的非负性解题................................2 【题型03与算术平方根有关的规律探索题】............................2 【题型04求一个数的平方根】........................................4 【题型05已知一个数的平方根，求这个数】.............................4 【题型06利用平方根解方程】........................................5【题型07已知一个数的立方根，求这个数】..............................5 【题型08算术平方根和立方根的综合应用】.............................6 【题型09无理数的定义】............................................6 【题型10实数的性质】...............................................7 【题型11实数与数轴】..............................................7 【题型12无理数的大小估算】........................................7 【题型13无理数整数部分有关计算】..................................8【题型14 实数混合运算】...........................................8 【题型15 实数应用】..............................................9 【题型01求一个数的算术平方根】 1．9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 2．的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ． 4．计算 ． 【题型02利用算术平方根的非负性解题】 1．已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．若，满足，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 4．已知，都为实数，若，则 ． 5．若，则 ． 6．已知，则的算术平方根是 ． 【题型03与算术平方根有关的规律探索题】 1．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，，则 ， ． 3．观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 4．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 5．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【题型04求一个数的平方根】 1．16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 2．的平方根是 ． 3．的负的平方根是 ． 【题型05已知一个数的平方根，求这个数】 1．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为（   ） A．4 B．8 C． D．64 2．如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（   ） A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1 3．一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若一个正数的两个平方根是和，则的值为 ． 5．若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 6．已知一个数的两个不相等的平方根分别为和． (1)求这个数； (2)平方根． 7．已知正数的两个平方根分别是和 (1)求代数式的值； (2)当时，求的算术平方根． 【题型06利用平方根解方程】 1．求下列各式中的x： (1)； (2)． 2．计算： （1）                        （2） 3．求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)． 【题型07已知一个数的立方根，求这个数】 1．若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 2．，则的值为（    　） A． B． C． D． 3.已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 4．若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 5．若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 【题型08算术平方根和立方根的综合应用】 1． 已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 3．已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 4．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【题型09无理数的定义】 1．下列实数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【题型10实数的性质】 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．实数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．的相反数是 ． 4．的相反数是 ． 【题型11实数与数轴】 1．如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 2．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为 ． 3．如图，实数，在数轴上的对应点可能是点 ． 【题型12无理数的大小估算】 1．估计的大小，应在（   ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．3到4之间 D．2到3之间 2．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 3．估算的值，与它最接近的两个整数是（   ） A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8 4．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 5．无理数在哪两个整数之间（    ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【题型13无理数整数部分有关计算】 1．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A． B． C．2 D．5 3．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 4．已知的整数部分为a，的小数部分为b，则的值为（    ） A．12 B． C． D． 【题型14 实数混合运算】 1．计算： 2．计算：． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1) (2) 【题型15 实数的应用】 1．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 2．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $