重难点专题 实数（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

重难点专题 实数 3.1平方根 重难点一 求一个数的(算术)平方根 一、算术平方根的概念理解 1. 定义：若一个非负数( x )的平方等于( a )，即（），则( x )叫做( a )的算术平方根，记作，读作“根号( a )”。 关键点：①被开方数( a )必须是非负数（），负数没有算术平方根；②算术平方根本身也是非负数（）。 二、求算术平方根的基本方法 （一）直接开方法（适用于完全平方数） 1. 原理：若( a )是某个整数的平方（即完全平方数），则通过熟记平方数直接得出结果。 2. 步骤： · 确定被开方数( a )是否为非负数； · 找到一个非负数( x )，使得，则。 （二）估算方法（适用于非完全平方数） 1. 原理：对于非完全平方数( a )，通过找到与( a )相邻的两个完全平方数，确定的范围，再逐步缩小范围，估算近似值。 2. 步骤： · 找到两个连续整数( m )和( n )（( m < n )），使得，则； · 若需要更精确的估算，可在( m )和( n )之间取小数，通过平方比较，逐步逼近的近似值。 （三）计算器法（快速精确计算） 1. 操作步骤： · 开机后，输入被开方数( a )（确保）； · 按下根号键“”，显示屏上的结果即为的近似值。 2. 注意：计算器显示的结果通常是近似值，需根据题目要求保留小数位数（如精确到十分位、百分位等）。 1．的平方根是（   ） A． B．8 C． D． 2．36的平方根是 ． 3．已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 重难点二 算术平方根的非负性 一、核心概念：算术平方根的非负性 1. 定义回顾：若一个非负数( x )的平方等于( a )，即（），则( x )称为( a )的算术平方根，记作。 2. 非负性本质：算术平方根的结果具有双重非负性： 被开方数非负：（负数没有算术平方根）； 结果非负：（算术平方根是一个非负数）。 二、常见应用场景及解题方法 场景1：利用“被开方数非负”确定字母取值范围 方法：若表达式中含有，则直接令被开方数，解不等式即可得到字母的取值范围。 场景2：利用“算术平方根结果非负”求最值 方法：由于，当且仅当( a = 0 )时，（最小值）。若表达式为“常数”，则最小值为该常数。 场景3：多个非负项之和为0，求字母的值 核心依据：若几个非负数的和为0，则每个非负数都必须为0（非负性的重要推论）。常见非负数形式：、( |b| )、。 解题步骤： 1. 识别表达式中的非负项（如算术平方根、绝对值、平方项等）； 2. 令每个非负项等于0，列出方程组； 3. 解方程组，求出字母的值。 场景4：含算术平方根的方程求解 方法：先根据被开方数非负性确定字母的取值范围，再对方程两边平方（注意平方可能产生增根，需验根）。 1．已知与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 2．若，则的平方根为 ． 3．若，求的平方根． 重难点三 (算术)平方根的实际应用 一、问题识别与转化 1. 明确问题类型：判断题目是否涉及面积计算、边长求解、距离问题或平方关系的实际场景（如正方形面积求边长、长方形面积固定时的边长关系等） 2. 提取关键数据：找出题目中的已知量（如面积数值、长度单位、限制条件等）和未知量（待求的边长、距离等） 3. 建立数学模型：将实际问题转化为数学表达式，通常形式为：若（），则（算术平方根，取非负值） 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 2．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 3．如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 重难点四 整数、小数部分 一、核心概念辨析 1. 整数部分与小数部分的定义 对于任意一个实数 ( x )，若存在整数 ( n )，使得，则称 ( n ) 为 ( x ) 的整数部分，记作 ( [x] = n )； ( x ) 减去其整数部分的差称为 ( x ) 的小数部分，记作 ( {x} = x - [x] )，且小数部分满足。 关键特征： 整数部分是不大于 ( x ) 的最大整数； 小数部分是非负的，且小于 1（即使 ( x ) 是整数，其小数部分也为 0）。 二、求整数部分与小数部分的基本方法 1. 正数的整数与小数部分 步骤： · 确定整数部分：找到不大于该数的最大整数。 · 若为有限小数或整数，直接取整数部分（如 ( 3.7 ) 的整数部分是 ( 3 )，( 5 ) 的整数部分是 ( 5 )）； · 若为无理数（如），通过估算范围确定整数部分（，故整数部分为 ( 2 )）。 · 计算小数部分：用原数减去整数部分，即 ( {x} = x - [x] )。 2. 负数的整数与小数部分 注意：负数的整数部分需满足“不大于该负数的最大整数”，即向数轴左侧取整（区别于正数的“四舍五入”思维）。 步骤： 确定整数部分：找到不大于该负数的最大整数（如 ( -1.2 )，不大于它的最大整数是 ( -2 )，而非 ( -1 )）。 计算小数部分：用原数减去整数部分（结果仍为非负，且）。 1．若用a、b表示的整数部分和小数部分，则a、b可表示为（ ） A．4和 B．3和 C．2和 D．5和 2．已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 3．材料：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的．类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是2，于是可用来表示的小数部分． 根据以上材料，解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 3.2从有理数到实数 重难点一 实数分类 一、按定义分类 1. 有理数 整数：包括正整数（如1, 2, 3…）、零（0）和负整数（如-1, -2, -3…）。整数可以看作分母为1的分数，例如5 = 5/1，-3 = -3/1。 分数：由正分数和负分数组成，表现为两个整数的比值（分母不为0），其小数形式为有限小数或无限循环小数。例如1/2 = 0.5（有限小数），1/3 = 0.（无限循环小数）。 2. 无理数 定义：无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值。 常见类型： 开方开不尽的数，如（≈1.4142…）、（≈1.7100…）； 含π的数，如π（≈3.14159…）、2π； 特定结构的无限不循环小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）。 二、按大小分类 1. 正实数：大于0的实数，包括正有理数（如3, 2/5）和正无理数（如, π）。 2. 零（0）：既不是正数也不是负数，是实数中唯一的中性数。 3. 负实数：小于0的实数，包括负有理数（如-2, -3/4）和负无理数（如, -π） 1．下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 2．在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有 个． 3．把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①0  ②   ③  ④  ⑤  ⑥  ⑦ (1)非负整数：___________； (2)分数：___________； (3)正有理数：___________； (4)无理数：___________． 重难点二 实数与数轴结合 一、理解实数与数轴的对应关系 1. 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示 2. 数轴上的每一个点都对应着唯一的一个实数 3. 正实数在原点右侧，负实数在原点左侧，零对应原点 二、利用数轴比较实数大小 1. 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 2. 具体步骤： · 在数轴上标出各实数对应的点 · 按照点的左右位置关系判断数的大小关系 · 从左到右，对应的数依次增大 三、求两点间距离的方法 1. 数轴上两点A、B对应的实数分别为a、b，则A、B两点间的距离为|a-b| 2. 当两点在原点同侧时，距离等于两数差的绝对值 3. 当两点在原点异侧时，距离等于两数绝对值的和 1．如图，点，，在数轴上分别表示实数，，，则下列式子正确的是(   ) A． B． C． D． 2．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： 3．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 重难点三 实数中的大小比较 1．在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填“”、“”或“”） 3．现有四个实数：，0，， ． (1)请在数轴上近似表示出上列四个实数． (2)请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________． 3.3立方根 重难点一 求一个数的立方根 一、立方根的定义理解 若一个数(x)的立方等于(a)，即，则称(x)是(a)的立方根，记作，读作“三次根号(a)”。其中，(a)称为被开方数，3称为根指数（根指数3不能省略）。立方根与平方根的区别在于：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，即任何实数都有且只有一个立方根。 二、求立方根的基本方法 1.根据立方运算逆推（定义法） 原理：通过立方运算的逆过程，找到哪个数的立方等于被开方数。 步骤： 1. 确定被开方数的符号：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。 2. 对绝对值进行立方根计算：若(a > 0)，则先求，再根据符号确定结果；若(a < 0)，则。 2.利用立方根的性质化简 性质1：（负数的立方根等于它绝对值的立方根的相反数）。 · 应用：将负数的立方根转化为正数的立方根求解，如。 性质2：（立方根的立方等于被开方数）。 · 应用：验证立方根的正确性，如。 性质3：（一个数立方的立方根等于这个数本身）。 · 应用：化简含立方的开方运算，如，。 3.分解质因数法（适用于较大或复杂数） 步骤： 1. 将被开方数分解质因数，写成指数形式。 2. 把每个质因数的指数除以3，取商作为结果中该质因数的指数（若指数是3的倍数，直接开方；若有余数，余数部分保留在根号内，但初中阶段主要处理开得尽方的数）。 4.查表法或计算器法（适用于非完全立方数） 对于非完全立方数（如、等），初中阶段可通过计算器直接计算，步骤如下： 1. 输入被开方数。 2. 按下计算器上的“”键（或通过“”键，输入指数）。 1．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的算术平方根是7 C．的平方根是 D．0没有平方根 2．的立方根是 ． 3．如果一个正数x的两个平方根分别是和，b是8的立方根，求的值． 重难点二 (算术)平方根与立方根的综合应用 一、概念辨析与基础应用 1. 算术平方根与平方根的区分 算术平方根：对于非负数(a)，其算术平方根记为，结果唯一且非负（如）。 平方根：对于非负数(a)，其平方根记为，结果有两个且互为相反数（如(16)的平方根是）。 应用关键：根据题目要求判断是否需要考虑正负性，如“边长”“距离”等实际问题只能用算术平方根。 2. 立方根的特性 任意实数(a)的立方根记为，结果唯一，符号与被开方数一致（如，）。 注意：立方根没有“算术”之分，负数也有立方根。 二、综合计算技巧 1. 双重非负性的应用 若，则且（因算术平方根非负，两非负数和为零则各自为零）。 2. 方程求解 平方根方程：形如（），解为；若(a<0)，方程无实数解。 立方根方程：形如，解为（(a)为任意实数）。 三、实际问题与几何应用 1. 面积与体积问题 正方形/正方体：若正方形面积为(S)，则边长为；若正方体体积为(V)，则棱长为。 2. 比较大小 正数：被开方数越大，算术平方根/立方根越大（如，）。 负数：立方根比较时，被开方数越小，立方根越小（如）；负数无算术平方根。 混合比较：将数平方或立方后比较（如比较与，平方得(2)与，故）。 1．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 3．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求a、b的值； 重难点三 平方根与立方根解方程 一、利用平方根解方程 核心原理：若（），则，即方程的解为两个互为相反数的平方根（当时，解为）。 步骤： 1. 化简方程：通过移项、合并同类项等操作，将方程化为的标准形式（等号左边为含未知数的平方项，右边为常数项，且常数项非负）。 2. 开平方求解：直接对等式两边开平方，得到。 注意事项： · 若化简后右边常数项(a < 0)，则方程无实数解（因为平方数非负）。 · 若方程为（），可直接开平方得，再解关于(x)的一元一次方程。 二、利用立方根解方程 核心原理：若（(a)为任意实数），则，即方程的解为唯一的立方根（立方根的符号与被开方数一致）。 步骤： 1. 化简方程：通过移项、合并同类项等操作，将方程化为的标准形式（等号左边为含未知数的立方项，右边为常数项）。 2. 开立方求解：直接对等式两边开立方，得到。 注意事项： · 无论(a)为正数、负数还是0，立方根方程均有唯一实数解。 · 若方程为，可直接开立方得，再解关于(x)的一元一次方程。 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．求下列方程中x的值： (1)； (2) 重难点四 算术平方根与立方根的规律 一、算术平方根的规律与方法 1. 定义理解 若一个非负数( x )的平方等于( a )（即），则( x )称为( a )的算术平方根，记作（）。 关键点：算术平方根具有非负性，即，且被开方数。 2. 大小比较规律 被开方数与算术平方根的关系：当( a > b > 0 )时，（算术平方根随被开方数增大而增大）。 与整数的比较：若（( n )为正整数），则。 3. 运算规律 积的算术平方根：（）。 商的算术平方根：（）。 平方的算术平方根：（）；若，则；若( a < 0 )，则。 二、立方根的规律与方法 1. 定义理解 若一个数( x )的立方等于( a )（即），则( x )称为( a )的立方根，记作（( a )为任意实数）。 关键点：立方根的符号与被开方数一致，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2. 大小比较规律 被开方数与立方根的关系：对于任意实数( a, b )，若( a > b )，则（立方根随被开方数增大而增大）。 与整数的比较：若（( n )为整数），则。 3. 运算规律 积的立方根：（( a, b )为任意实数）。 商的立方根：（( a, b )为任意实数，）。 立方的立方根：，且（( a )为任意实数）。 三、算术平方根与立方根的异同对比 对比项 算术平方根 立方根 被开方数范围 （非负数） ( a )为任意实数（正数、负数、0） 结果符号 非负（） 与被开方数符号一致（正正、负负、0零） 根的个数 正数有1个，0有1个，负数无算术平方根 任意实数都有且仅有1个立方根 逆运算 平方运算（） 立方运算（） 1．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 2．观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则 ． 3．观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 重难点五 华罗庚猜数 适用场景 适用于快速估算一个较大整数的三次方根（非完全立方数的三次方根估算或完全立方数的三次方根求解）。 核心原理 1. 确定范围：找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定三次方根的整数部分。设被开方数为(N)，找到整数(a)，使得，则三次方根的整数部分为(a)。 2. 近似计算：利用公式（其中，）来估算小数部分。此公式基于对展开式的近似处理，当(x)较小时，忽略和项，得到，初步近似为，而华罗庚方法中的分母是对的应用，使估算更接近实际值。 具体步骤 第一步：确定整数部分(a) 1. 熟记常见的立方数：，，，，，，，，，，，，，，等。 2. 对于给定的被开方数(N)，通过比较找到满足的整数(a)。例如，估算，因为，，(125 < 189 < 216)，所以。 第二步：计算(b)的值 ，即被开方数与整数部分立方的差值。如上例，。 第三步：估算小数部分 使用公式计算近似值。对于，，，则（实际值约为5.738，估算值与实际值接近） 1．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 2．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是 ； ． 3．如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 3.4实数的运算 重难点一 实数混合运算 一、运算顺序：遵循“四步法则” 1. 括号优先 先计算小括号()内的算式，再算中括号[]，最后算大括号{}。若括号内含有多层运算，按“先乘方开方，再乘除，后加减”的顺序进行。 2. 乘方与开方 第二级运算，包括平方、立方及算术平方根（如，）。需注意：正数的平方根有两个（互为相反数），但算术平方根仅取非负根；负数没有算术平方根；0的算术平方根是0。 3. 乘除运算 第三级运算，从左到右依次计算。小数与分数混合时，可统一为分数或小数；带分数需化为假分数。 4. 加减运算 最后一级运算，从左到右依次计算。同分母分数直接加减，异分母分数先通分；小数加减注意小数点对齐；可利用加法交换律、结合律简化计算（如凑整、同号合并）。 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 重难点二 程序中的实数 1. 拆解程序流程图 针对教材中的程序流程图（如“输入x→判断x是否为正数→是则计算√x，否则输出‘无意义’”），分步分析每一步的条件和运算： 第一步：确定输入值x的取值范围（实数集）； 第二步：根据条件判断（x＞0？）选择运算路径； 第三步：执行对应运算（开平方）或输出提示（无意义）。 通过“代入具体数值”（如输入x=4→输出2；输入x=-1→输出“无意义”）验证逻辑正确性。 2. 解决实际问题中的实数运算 例如“程序要求输入一个正方形的面积（实数），输出边长”，需明确边长为面积的算术平方根，且面积必须为非负数，若输入负数则程序应提示错误。此类问题需同时考虑数学原理（算术平方根的非负性）和程序规则（输入输出的合理性）。 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为 ． 若输出的y值是且，则输入的x的值为 ． 3．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 重难点三 新定义中的实数 1. 应用实数的基本运算律 若新定义运算满足交换律、结合律或分配律（需通过验证确认），可简化计算。 2. 结合实数的大小比较 若新定义涉及大小关系（如“对于实数x，y，定义x☆y = 若x > y则x - y，否则y - x”），需先判断x与y的大小，再代入对应规则计算。 3. 利用非负性（绝对值、平方数等） 若新定义中含绝对值、平方项等非负元素，可借助“几个非负实数的和为0，则每个非负实数均为0”的性质解题。 1．对实数、定义新运算：例如：，计算：（   ） A． B． C． D． 2．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 重难点四 实数中的规律 1. 优先尝试简单规律：从等差、等比、平方、立方等基础规律入手，逐步过渡到复合规律。 2. 标注项数与数值对应关系：列表格（项数$n$:1,2,3,...；数值:对应值），直观观察$n$与的关系。 3. 特殊值法：若规律不明显，假设时的表达式，尝试归纳通式（如，，猜想）。 核心步骤：观察特征→拆解结构→运算推导→验证规律→应用规律。通过以上方法，可系统解决实数中数列、图形、表格等类型的规律探究问题。 1．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 2．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 3．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 19 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 实数 3.1平方根 重难点一 求一个数的(算术)平方根 一、算术平方根的概念理解 1. 定义：若一个非负数( x )的平方等于( a )，即（），则( x )叫做( a )的算术平方根，记作，读作“根号( a )”。 关键点：①被开方数( a )必须是非负数（），负数没有算术平方根；②算术平方根本身也是非负数（）。 二、求算术平方根的基本方法 （一）直接开方法（适用于完全平方数） 1. 原理：若( a )是某个整数的平方（即完全平方数），则通过熟记平方数直接得出结果。 2. 步骤： · 确定被开方数( a )是否为非负数； · 找到一个非负数( x )，使得，则。 （二）估算方法（适用于非完全平方数） 1. 原理：对于非完全平方数( a )，通过找到与( a )相邻的两个完全平方数，确定的范围，再逐步缩小范围，估算近似值。 2. 步骤： · 找到两个连续整数( m )和( n )（( m < n )），使得，则； · 若需要更精确的估算，可在( m )和( n )之间取小数，通过平方比较，逐步逼近的近似值。 （三）计算器法（快速精确计算） 1. 操作步骤： · 开机后，输入被开方数( a )（确保）； · 按下根号键“”，显示屏上的结果即为的近似值。 2. 注意：计算器显示的结果通常是近似值，需根据题目要求保留小数位数（如精确到十分位、百分位等）。 1．的平方根是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值． 【详解】解：∵， ∴的平方根即8的平方根， ∴的平方根为， 故选：C． 2．36的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的求解，根据平方根的定义求出结果即可． 【详解】解：36的平方根是， 故答案为：． 3．已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，算术平方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，，的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，； ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 重难点二 算术平方根的非负性 一、核心概念：算术平方根的非负性 1. 定义回顾：若一个非负数( x )的平方等于( a )，即（），则( x )称为( a )的算术平方根，记作。 2. 非负性本质：算术平方根的结果具有双重非负性： 被开方数非负：（负数没有算术平方根）； 结果非负：（算术平方根是一个非负数）。 二、常见应用场景及解题方法 场景1：利用“被开方数非负”确定字母取值范围 方法：若表达式中含有，则直接令被开方数，解不等式即可得到字母的取值范围。 场景2：利用“算术平方根结果非负”求最值 方法：由于，当且仅当( a = 0 )时，（最小值）。若表达式为“常数”，则最小值为该常数。 场景3：多个非负项之和为0，求字母的值 核心依据：若几个非负数的和为0，则每个非负数都必须为0（非负性的重要推论）。常见非负数形式：、( |b| )、。 解题步骤： 1. 识别表达式中的非负项（如算术平方根、绝对值、平方项等）； 2. 令每个非负项等于0，列出方程组； 3. 解方程组，求出字母的值。 场景4：含算术平方根的方程求解 方法：先根据被开方数非负性确定字母的取值范围，再对方程两边平方（注意平方可能产生增根，需验根）。 1．已知与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，非负数的性质和相反数的定义，正确掌握相关性质是解题关键．利用算术平方根和绝对值的性质及相反数和为0，列等式可得a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ． ，． ，． 解得，． ． 故选∶ D． 2．若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值的非负性，求一个数的平方根；掌握若，则且是解题的关键． 根据题意得出且，求出、的值，代入求出代数式的值，最跟根据平方根的定义即可解答． 【详解】， 且， 解得，， ， 的平方根为． 故答案为：． 3．若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 重难点三 (算术)平方根的实际应用 一、问题识别与转化 1. 明确问题类型：判断题目是否涉及面积计算、边长求解、距离问题或平方关系的实际场景（如正方形面积求边长、长方形面积固定时的边长关系等） 2. 提取关键数据：找出题目中的已知量（如面积数值、长度单位、限制条件等）和未知量（待求的边长、距离等） 3. 建立数学模型：将实际问题转化为数学表达式，通常形式为：若（），则（算术平方根，取非负值） 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，先求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为． 故选：C． 2．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 3．如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)10cm (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用，正确理解题意是关键； （1）先得到图2的大正方形的面积为，再计算100的算术平方根即可； （2）若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，根据题意可得，求出x的值后再与正方形的边长进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图2的大正方形是由两个面积为的小正方形纸片拼成， ∴图2的大正方形的面积为 ∴图2中拼成的大正方形纸片的边长； （2）解：不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形，理由如下： 若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴长方形的宽为6cm，长为12cm， ∵， ∴不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形． 重难点四 整数、小数部分 一、核心概念辨析 1. 整数部分与小数部分的定义 对于任意一个实数 ( x )，若存在整数 ( n )，使得，则称 ( n ) 为 ( x ) 的整数部分，记作 ( [x] = n )； ( x ) 减去其整数部分的差称为 ( x ) 的小数部分，记作 ( {x} = x - [x] )，且小数部分满足。 关键特征： 整数部分是不大于 ( x ) 的最大整数； 小数部分是非负的，且小于 1（即使 ( x ) 是整数，其小数部分也为 0）。 二、求整数部分与小数部分的基本方法 1. 正数的整数与小数部分 步骤： · 确定整数部分：找到不大于该数的最大整数。 · 若为有限小数或整数，直接取整数部分（如 ( 3.7 ) 的整数部分是 ( 3 )，( 5 ) 的整数部分是 ( 5 )）； · 若为无理数（如），通过估算范围确定整数部分（，故整数部分为 ( 2 )）。 · 计算小数部分：用原数减去整数部分，即 ( {x} = x - [x] )。 2. 负数的整数与小数部分 注意：负数的整数部分需满足“不大于该负数的最大整数”，即向数轴左侧取整（区别于正数的“四舍五入”思维）。 步骤： 确定整数部分：找到不大于该负数的最大整数（如 ( -1.2 )，不大于它的最大整数是 ( -2 )，而非 ( -1 )）。 计算小数部分：用原数减去整数部分（结果仍为非负，且）。 1．若用a、b表示的整数部分和小数部分，则a、b可表示为（ ） A．4和 B．3和 C．2和 D．5和 【答案】A 【详解】试题分析：因为，所以，所以的整数部分a=4，所以，所以选：A． 考点：二次根式的估算 2．已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用的取值范围得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 3．材料：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的．类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是2，于是可用来表示的小数部分． 根据以上材料，解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4； (2)的相反数为 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵是整数，且， ∴， ∴ ， ∴的相反数为． 3.2从有理数到实数 重难点一 实数分类 一、按定义分类 1. 有理数 整数：包括正整数（如1, 2, 3…）、零（0）和负整数（如-1, -2, -3…）。整数可以看作分母为1的分数，例如5 = 5/1，-3 = -3/1。 分数：由正分数和负分数组成，表现为两个整数的比值（分母不为0），其小数形式为有限小数或无限循环小数。例如1/2 = 0.5（有限小数），1/3 = 0.（无限循环小数）。 2. 无理数 定义：无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值。 常见类型： 开方开不尽的数，如（≈1.4142…）、（≈1.7100…）； 含π的数，如π（≈3.14159…）、2π； 特定结构的无限不循环小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）。 二、按大小分类 1. 正实数：大于0的实数，包括正有理数（如3, 2/5）和正无理数（如, π）。 2. 零（0）：既不是正数也不是负数，是实数中唯一的中性数。 3. 负实数：小于0的实数，包括负有理数（如-2, -3/4）和负无理数（如, -π） 1．下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：根据有理数的定义， ，3.14，是有理数，共3个， 故答案为：3． 3．把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①0  ②   ③  ④  ⑤  ⑥  ⑦ (1)非负整数：___________； (2)分数：___________； (3)正有理数：___________； (4)无理数：___________． 【答案】(1)①，⑤ (2)②，⑥ (3)②，⑤ (4)④，⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的概念是解题的关键． （1）根据非负数的定义解答即可； （2）根据分数的定义解答即可； （3）根据正有理数的定义解答即可； （4）根据无理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：非负整数有：0，4 ， 故答案为：①，⑤； （2）解：分数有：，， 故答案为：②，⑥； （3）解：正有理数有：，， 故答案为：②，⑤； （4）解：无理数有：，， 故答案为：④，⑦． 重难点二 实数与数轴结合 一、理解实数与数轴的对应关系 1. 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示 2. 数轴上的每一个点都对应着唯一的一个实数 3. 正实数在原点右侧，负实数在原点左侧，零对应原点 二、利用数轴比较实数大小 1. 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 2. 具体步骤： · 在数轴上标出各实数对应的点 · 按照点的左右位置关系判断数的大小关系 · 从左到右，对应的数依次增大 三、求两点间距离的方法 1. 数轴上两点A、B对应的实数分别为a、b，则A、B两点间的距离为|a-b| 2. 当两点在原点同侧时，距离等于两数差的绝对值 3. 当两点在原点异侧时，距离等于两数绝对值的和 1．如图，点，，在数轴上分别表示实数，，，则下列式子正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数与数轴，绝对值的意义，理解数轴的意义是解决问题的关键．根据点，，在数轴上分别表示实数，，得，，然后对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：依题意得：，， ，故选项A不正确，不符合题意； ， 个单位， 个单位， ，故选项B不正确，不符合题意； ，， ，故选项C正确，符合题意； ， ，故选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根，根据数轴得到a、b的正负号是解题的关键． 由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 3．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 重难点三 实数中的大小比较 1．在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解题的关键．先将，转换为小数，再根据实数的大小比较法则比较数的大小即可解答． 【详解】解：，， ， 最大的数是． 故选：A ． 2．比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握大小比较法则是解题关键．通过比较与 的大小，利用负数的性质：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，即， 而， 所以， 所以， 故答案为：． 3．现有四个实数：，0，， ． (1)请在数轴上近似表示出上列四个实数． (2)请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查的是在数轴上表示实数，实数的大小比较，熟记算术平方根的含义是解本题的关键； （1）先化简绝对值，求解算术平方根，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴在数轴上表示各数如下： （2）由数轴可得： ； 3.3立方根 重难点一 求一个数的立方根 一、立方根的定义理解 若一个数(x)的立方等于(a)，即，则称(x)是(a)的立方根，记作，读作“三次根号(a)”。其中，(a)称为被开方数，3称为根指数（根指数3不能省略）。立方根与平方根的区别在于：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，即任何实数都有且只有一个立方根。 二、求立方根的基本方法 1.根据立方运算逆推（定义法） 原理：通过立方运算的逆过程，找到哪个数的立方等于被开方数。 步骤： 1. 确定被开方数的符号：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。 2. 对绝对值进行立方根计算：若(a > 0)，则先求，再根据符号确定结果；若(a < 0)，则。 2.利用立方根的性质化简 性质1：（负数的立方根等于它绝对值的立方根的相反数）。 · 应用：将负数的立方根转化为正数的立方根求解，如。 性质2：（立方根的立方等于被开方数）。 · 应用：验证立方根的正确性，如。 性质3：（一个数立方的立方根等于这个数本身）。 · 应用：化简含立方的开方运算，如，。 3.分解质因数法（适用于较大或复杂数） 步骤： 1. 将被开方数分解质因数，写成指数形式。 2. 把每个质因数的指数除以3，取商作为结果中该质因数的指数（若指数是3的倍数，直接开方；若有余数，余数部分保留在根号内，但初中阶段主要处理开得尽方的数）。 4.查表法或计算器法（适用于非完全立方数） 对于非完全立方数（如、等），初中阶段可通过计算器直接计算，步骤如下： 1. 输入被开方数。 2. 按下计算器上的“”键（或通过“”键，输入指数）。 1．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的算术平方根是7 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根和算术平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据立方根、平方根和算术平方根的定义逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】， ∴ 的立方根是，故A正确，符合题意． ∵ ， 7的算术平方根是，故B错误，不符合题意． ∵， 的平方根是，故C错误，不符合题意． ∵ ， ∴ 0的平方根是0，故D错误，不符合题意． 故选A． 2．的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 3．如果一个正数x的两个平方根分别是和，b是8的立方根，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义求出、的值． 先根据正数的两个平方根互为相反数求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，解得：， 是8的立方根， ， 则， ． 重难点二 (算术)平方根与立方根的综合应用 一、概念辨析与基础应用 1. 算术平方根与平方根的区分 算术平方根：对于非负数(a)，其算术平方根记为，结果唯一且非负（如）。 平方根：对于非负数(a)，其平方根记为，结果有两个且互为相反数（如(16)的平方根是）。 应用关键：根据题目要求判断是否需要考虑正负性，如“边长”“距离”等实际问题只能用算术平方根。 2. 立方根的特性 任意实数(a)的立方根记为，结果唯一，符号与被开方数一致（如，）。 注意：立方根没有“算术”之分，负数也有立方根。 二、综合计算技巧 1. 双重非负性的应用 若，则且（因算术平方根非负，两非负数和为零则各自为零）。 2. 方程求解 平方根方程：形如（），解为；若(a<0)，方程无实数解。 立方根方程：形如，解为（(a)为任意实数）。 三、实际问题与几何应用 1. 面积与体积问题 正方形/正方体：若正方形面积为(S)，则边长为；若正方体体积为(V)，则棱长为。 2. 比较大小 正数：被开方数越大，算术平方根/立方根越大（如，）。 负数：立方根比较时，被开方数越小，立方根越小（如）；负数无算术平方根。 混合比较：将数平方或立方后比较（如比较与，平方得(2)与，故）。 1．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 3．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求a、b的值； 【答案】a、b的值分别为2与 【分析】本题考查了平方根的性质，立方根等知识，掌握这些知识是解题的关键；由正数的两个平方根互为相反数得，可求得a的值；由立方根为的数得，可求得b的值． 【详解】解：∵和是某正数的两个不相等的平方根， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， 综上，a、b的值分别为2与． 重难点三 平方根与立方根解方程 一、利用平方根解方程 核心原理：若（），则，即方程的解为两个互为相反数的平方根（当时，解为）。 步骤： 1. 化简方程：通过移项、合并同类项等操作，将方程化为的标准形式（等号左边为含未知数的平方项，右边为常数项，且常数项非负）。 2. 开平方求解：直接对等式两边开平方，得到。 注意事项： · 若化简后右边常数项(a < 0)，则方程无实数解（因为平方数非负）。 · 若方程为（），可直接开平方得，再解关于(x)的一元一次方程。 二、利用立方根解方程 核心原理：若（(a)为任意实数），则，即方程的解为唯一的立方根（立方根的符号与被开方数一致）。 步骤： 1. 化简方程：通过移项、合并同类项等操作，将方程化为的标准形式（等号左边为含未知数的立方项，右边为常数项）。 2. 开立方求解：直接对等式两边开立方，得到。 注意事项： · 无论(a)为正数、负数还是0，立方根方程均有唯一实数解。 · 若方程为，可直接开立方得，再解关于(x)的一元一次方程。 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，把方程化为，再解方程即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选C 【点睛】本题考查的是利用立方根的含义解方程，掌握立方根的含义是解本题的关键. 2．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求立方根，解题的关键是通过移项、系数化为1等步骤将方程转化为的形式，再根据立方根的定义求出方程的解． 先将常数项移到等号右边，再把未知数的系数化为1，得到的值，最后根据立方根的定义求出x的值． 【详解】解： 移项得： 系数化为1得： 两边开立方得： 故答案为：． 3．求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 重难点四 算术平方根与立方根的规律 一、算术平方根的规律与方法 1. 定义理解 若一个非负数( x )的平方等于( a )（即），则( x )称为( a )的算术平方根，记作（）。 关键点：算术平方根具有非负性，即，且被开方数。 2. 大小比较规律 被开方数与算术平方根的关系：当( a > b > 0 )时，（算术平方根随被开方数增大而增大）。 与整数的比较：若（( n )为正整数），则。 3. 运算规律 积的算术平方根：（）。 商的算术平方根：（）。 平方的算术平方根：（）；若，则；若( a < 0 )，则。 二、立方根的规律与方法 1. 定义理解 若一个数( x )的立方等于( a )（即），则( x )称为( a )的立方根，记作（( a )为任意实数）。 关键点：立方根的符号与被开方数一致，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2. 大小比较规律 被开方数与立方根的关系：对于任意实数( a, b )，若( a > b )，则（立方根随被开方数增大而增大）。 与整数的比较：若（( n )为整数），则。 3. 运算规律 积的立方根：（( a, b )为任意实数）。 商的立方根：（( a, b )为任意实数，）。 立方的立方根：，且（( a )为任意实数）。 三、算术平方根与立方根的异同对比 对比项 算术平方根 立方根 被开方数范围 （非负数） ( a )为任意实数（正数、负数、0） 结果符号 非负（） 与被开方数符号一致（正正、负负、0零） 根的个数 正数有1个，0有1个，负数无算术平方根 任意实数都有且仅有1个立方根 逆运算 平方运算（） 立方运算（） 1．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 2．观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题中所给规律可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键． 3．观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 重难点五 华罗庚猜数 适用场景 适用于快速估算一个较大整数的三次方根（非完全立方数的三次方根估算或完全立方数的三次方根求解）。 核心原理 1. 确定范围：找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定三次方根的整数部分。设被开方数为(N)，找到整数(a)，使得，则三次方根的整数部分为(a)。 2. 近似计算：利用公式（其中，）来估算小数部分。此公式基于对展开式的近似处理，当(x)较小时，忽略和项，得到，初步近似为，而华罗庚方法中的分母是对的应用，使估算更接近实际值。 具体步骤 第一步：确定整数部分(a) 1. 熟记常见的立方数：，，，，，，，，，，，，，，等。 2. 对于给定的被开方数(N)，通过比较找到满足的整数(a)。例如，估算，因为，，(125 < 189 < 216)，所以。 第二步：计算(b)的值 ，即被开方数与整数部分立方的差值。如上例，。 第三步：估算小数部分 使用公式计算近似值。对于，，，则（实际值约为5.738，估算值与实际值接近） 1．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 2．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是 ； ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．仿照题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵；， ∴是两位数， ∵19683的个位数是3， ∴的个位数是7． ∵；， ∴是两位数， ∵110592的个位数是2， ∴的个位数是8． 如果划去110592后面的三位592得到数110，而，， 由此确定的十位数是4， 所以， 所以． 故答案为：，； 3．如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42 (2) (3)39 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，理解题意，能够仿照题意的方法求算术平方根和立方根是解题的关键． （1）根据题意提供的思路和方法，进行推理验证得出答案即可； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可； （3）参照（1）的方法、步骤，计算立方根即可． 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 3.4实数的运算 重难点一 实数混合运算 一、运算顺序：遵循“四步法则” 1. 括号优先 先计算小括号()内的算式，再算中括号[]，最后算大括号{}。若括号内含有多层运算，按“先乘方开方，再乘除，后加减”的顺序进行。 2. 乘方与开方 第二级运算，包括平方、立方及算术平方根（如，）。需注意：正数的平方根有两个（互为相反数），但算术平方根仅取非负根；负数没有算术平方根；0的算术平方根是0。 3. 乘除运算 第三级运算，从左到右依次计算。小数与分数混合时，可统一为分数或小数；带分数需化为假分数。 4. 加减运算 最后一级运算，从左到右依次计算。同分母分数直接加减，异分母分数先通分；小数加减注意小数点对齐；可利用加法交换律、结合律简化计算（如凑整、同号合并）。 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根和绝对值的概念．根据算术平方根的非负性、立方根的性质以及平方运算规则，逐一判断各选项． 【详解】解：A．，故原计算错误； B． ，故原计算错误； C．，，则，故原计算错误； D．，故原计算正确， 故选：D． 2． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、算术平方根、立方根、绝对值的运算，熟练掌握各运算的定义和性质是解题的关键． 分别计算乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、用直接开方法解方程． 根据算术平方根的定义、立方根的定义把和化简，根据指数幂的意义可得：，从而可得：原式，再根据有理数的加法法则计算； 把算式的各部分分别化简，可得：原式，再根据运算法则计算； 把未知项的系数化为，可得：，再把方程两边直接开平方，即可求出方程的解； 把常数项移到等号的右边，可得：，再把方程两边直接开立方，即可求出方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， 系数化为得：， 两边直接开平方得：， 解得：，； （4）解：， 移项得：， 两边直接开立方得：， 解得：． 重难点二 程序中的实数 1. 拆解程序流程图 针对教材中的程序流程图（如“输入x→判断x是否为正数→是则计算√x，否则输出‘无意义’”），分步分析每一步的条件和运算： 第一步：确定输入值x的取值范围（实数集）； 第二步：根据条件判断（x＞0？）选择运算路径； 第三步：执行对应运算（开平方）或输出提示（无意义）。 通过“代入具体数值”（如输入x=4→输出2；输入x=-1→输出“无意义”）验证逻辑正确性。 2. 解决实际问题中的实数运算 例如“程序要求输入一个正方形的面积（实数），输出边长”，需明确边长为面积的算术平方根，且面积必须为非负数，若输入负数则程序应提示错误。此类问题需同时考虑数学原理（算术平方根的非负性）和程序规则（输入输出的合理性）。 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，结合算术平方根和平方根按照程序计算即可． 【详解】解：取算术平方根为， 不是无理数， 取的平方根为，是有理数， ，故无平方根，舍去， 再取的算术平方根，而的算术平方根为是无理数， 输出值． 故选：A． 2．如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为 ． 若输出的y值是且，则输入的x的值为 ． 【答案】 19或 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． （1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：或25，根据，即可得出结论． 【详解】解：输入的x值为10时，，取算术平方根为是有理数， 则返回是有理数，返回取算术平方根为，无理数则输出， 则y的值为， 故答案为：； 按数值转换器，进行逆运算， 输出的y是，且， 上一步应该是5或25， 当或25时，或或19或， ， 或， 故答案为：19或． 3．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 重难点三 新定义中的实数 1. 应用实数的基本运算律 若新定义运算满足交换律、结合律或分配律（需通过验证确认），可简化计算。 2. 结合实数的大小比较 若新定义涉及大小关系（如“对于实数x，y，定义x☆y = 若x > y则x - y，否则y - x”），需先判断x与y的大小，再代入对应规则计算。 3. 利用非负性（绝对值、平方数等） 若新定义中含绝对值、平方项等非负元素，可借助“几个非负实数的和为0，则每个非负实数均为0”的性质解题。 1．对实数、定义新运算：例如：，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据新定义的运算，分别计算 和 ，然后求它们的乘积． 【详解】解：， ， ∴． 故选：A． 2．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）4，45；（2）1，2，3；（3）3；（4）． 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知,即，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对200进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是，根据操作过程进行解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ，； 故答案为： （2），，且， ，2，3； 故答案为：，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对200连续求根整数，3次之后结果为1； 故答案为：3 （4）最大的正整数是， 理由是：∵，，，，， ∴，，，， 对只需进行4次操作后变为1， 只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是． 重难点四 实数中的规律 1. 优先尝试简单规律：从等差、等比、平方、立方等基础规律入手，逐步过渡到复合规律。 2. 标注项数与数值对应关系：列表格（项数$n$:1,2,3,...；数值:对应值），直观观察$n$与的关系。 3. 特殊值法：若规律不明显，假设时的表达式，尝试归纳通式（如，，猜想）。 核心步骤：观察特征→拆解结构→运算推导→验证规律→应用规律。通过以上方法，可系统解决实数中数列、图形、表格等类型的规律探究问题。 1．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 2．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 3．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 42 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $