7.2 认识证明 第2课时 公理与定理（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦“公理与定理”，系统讲解公理、定理及证明的概念，通过命题辨析（区分命题、改写形式、判断真假）的课堂导入，搭建从已有命题知识到新知的学习支架，引导学生理解证实真命题的必要性。 其特色在于融合《原本》公理化思想与《周髀算经》等数学文化，以“对顶角相等”等例题示范规范证明步骤，培养推理意识。拓展作业联系生活实例，发展应用意识，助力学生提升逻辑思维与文化认同，为教师提供系统的教学资源与活动设计。

2 认识证明 第2课时　公理与定理 第七章 证明 北师大版2024·八年级上册 章节导读 证明 1.1 为什么要证明 1.2 认识证明 定义 命题 证明 直觉或者观察未必可靠 感受证明的重要性 1.3 平行线的证明 平行线的判定 平行线的性质 7.1学 习 目 标 1 2 初步感悟公理化思想，了解北师大版教科书所采用的基本事实，理解证明的必要性，了解定理、公理、证明的概念。 能依据基本事实、定理等证明“同角（或等角）的补角相等”“对顶角相等”“三角形的任意两边之和大于第三边”等定理，掌握证明的基本步骤和格式。 3 在证明定理的过程中，学会分析问题、寻找证明依据的方法，提升数学思维的条理性。感受数学的严谨性和逻辑性，激发对数学证明的兴趣，培养理性精神。体会数学知识的系统性，增强对数学学科的认同感。 课堂引入 1.回答下列问题: ①今天是晴天吗？ ②同旁内角相等; ③同角的余角相等; ④作线段AB的垂直平分线; ⑤如果a2>b2,那么a>b; ⑥对顶角相等. (1)在上面的句子中,属于命题的是 　;  (2)在上面的句子中,把是命题的改写成“如果……那么……”的形式,并说出它们的条件和结论; (3)在上面的命题中,是假命题的是　　　　,是真命题的是　　　.  ②③⑤⑥ ②⑤ ③⑥ 2. 说明一个命题是假命题通常用的方法是 。 举一个反例 如何证实一个命题是真命题呢? 探究新知：公理、证明、定理的定义 《几何原本》（欧几里得，古希腊） 这是几何证明史上的里程碑式著作。全书以5个公理、5个公设和23个定义为基础，通过演绎推理证明了460多个命题，建立了人类史上第一个完整的公理演绎体系。他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据 例如，书中对“对顶角相等”“三角形内角和为180°”等定理的证明，成为后世几何证明的典范。它的中文译本有多个版本，如1607年利玛窦与徐光启合译的前6卷，以及后来李善兰与伟烈亚力合译的完整版本，对中国数学的发展影响深远。 追根溯源 探究新知：公理、证明、定理的定义 追根溯源 《几何原本》: 1.原名： 2.公理： 3.证明： 4.定理： 数学名词称为原名。 公认的真命题称为公理。 演绎推理的过程称为证明。 经过证明的真命题称为定理。 总结：每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 探究新知：公理、证明、定理的定义 追根溯源 九条基本事实： ①两点确定一条直线； ②两点之间线段最短； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 探究新知：公理、证明、定理的定义 追根溯源 九条基本事实： ⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； ⑧三边分别相等的两个三角形全等； ⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（未学） 说明：数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如，如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样可以作为证明的依据。 探究新知：公理、证明、定理的定义 追根溯源 证实其他命 题的正确性 推 理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 原名、公理 一些条件 探究新知：公理、证明、定理的定义 追根溯源 定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系: （1）联系:这四者都是命题. （2）区别:定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据. 探究新知：证明的过程 回顾·思考 1.回顾七年级和八年级上册课本上的定理 - 补角性质：同角（或等角）的补角相等。 - 余角性质：同角（或等角）的余角相等。 - 对顶角性质：对顶角相等。 - 平行线判定定理： - 同位角相等，两直线平行。 - 内错角相等，两直线平行。 - 同旁内角互补，两直线平行。 - 平行线性质定理： - 两直线平行，同位角相等。 - 两直线平行，内错角相等。 - 两直线平行，同旁内角互补。 探究新知：证明的过程 回顾·思考 1.回顾七年级和八年级上册课本上的定理 - 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 - 全等三角形判定定理： - 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 - 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 - 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 - 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 探究新知：证明的过程 回顾·思考 1.回顾七年级和八年级上册课本上的定理 - 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 - 勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 - 线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 - 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 探究新知：证明的过程 尝试·交流 例1 证明：对顶角相等 （1）该命题的条件和结论分别是什么？ （2）已知的是什么？要求证的是什么？ （3）图形怎么画？ 探究新知：证明的过程 尝试·思考 例1 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证： ∠AOC =∠BOD 证明： ∵直线AB与直线CD相交于点O. ∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）. ∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）. ∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）. 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 对顶角相等. 符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”. 探究新知：证明的过程 尝试·交流 例2 证明：同角（或等角）的补角相等 （1）该命题的条件和结论是什么？ （2）我们该如何写出已知，求证呢？ （3）请参考上一例题并尝试证明。 探究新知：证明的过程 尝试·思考 例2 证明：同角（或等角）的补角相等 （1）已知：∠B和∠C是∠A的补角，求证：∠B=∠C. 证明：∵∠B和∠C是∠A的补角， ∴∠B=180°-∠A， ∠C=180°-∠A， ∴∠B=∠C（等量代换）， ∴同角的补角相等. 探究新知：证明的过程 尝试·思考 例2 证明：同角（或等角）的补角相等 （2）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角，求证：∠C=∠D. 证明：∵∠C和∠D分别是∠A、 ∠B的补角， ∴∠C=180°-∠A， ∠D=180°-∠B， ∵∠A=∠B（已知）， ∴∠C=∠D（等量代换）， ∴等角的补角相等. 探究新知：证明的过程 尝试·思考 例3 独立完成证明：同角（或等角）的余角相等 证明命题的一般步骤: 1.分析命题的条件和结论。 2.画出图形，用符号语言写出已知、求证。 3.利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出证明过程。 课堂小结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 1.如何验证一个命题是真命题？ 2.在数学推理和证明中，可以作为推理依据的内容有哪些？ 3.九条基本事实有哪些？（说出前八条即可） 4.证明命题的一般步骤是什么？ 5.通过本节课的学习，你还有什么疑惑？ 随堂练习 1.下列说法正确的是（ ） A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题 C.定理都是真命题 D.基本事实不一定是真命题 C 2.下面关于公理和定理的联系的说法，不正确的是( 　) A.公理和定理都是真命题 B.公理就是定理，定理也是公理 C.公理和定理都可以作为推理论证的依据 D.公理的正确性是人们公认的，定理的正确性需证明 B 随堂练习 3.下列命题中，属于公理的是 ⁠， 属于定理的是 ，既不是公理也不是定理的是 .(填序号) ①两点确定一条直线； ②同角的补角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④三角形的任意两边之和大于第三边； ⑤三边分别相等的两个三角形全等； ⑥直角三角形的两锐角互补。 ①③⑤　 ②④　 ⑥　 随堂练习 4.请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明. 已知：如图，三角形ABC. 求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB. 证明： 观察图中三角形，若把它的任意两个顶点，如A、B看作定点，则由“两点之间线段最短”， 可得AC+BC >AB. 同理可得AB+BC >AC，AB+AC >BC. 随堂练习 5.如图，点 A，O，B在一条直线上，OC平分∠BOD，OE⊥OC 垂足为点O. 试判断∠AOE与∠DOE有怎样的数量关系，并说明理由． 解：∠AOE ＝∠DOE. 理由：如图，∵OE⊥OC， ∴∠1＋∠3＝90 °. 又∠AOB＝180 °， ∴∠2＋∠4＝90 °， 又∠1＝∠2 ， ∴∠3＝∠4，即∠AOE＝∠DOE. 课外阅读 《周髀算经》 成书于两汉之间或西汉时期，是中国古代重要的数理天文理论著作，也是最早涉及几何证明的古籍之一。其中记载了商高对勾股定理的证明思路，通过“既方之，外半其一矩，环而共盘”的割补法，直观且严谨地推导出勾股定理，体现了中国古代“形数统一”的数学思想，其相关证明图示还被选为第24届国际数学家大会会标。 课外阅读 《九章算术》及《九章算术注》（刘徽注） 《九章算术》收集了战国、秦、汉时期的数学成果，包含多种几何图形的面积、体积计算方法及勾股定理的应用等。刘徽为其作注的《九章算术注》，对书中的几何结论补充了严格的证明，例如他的“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数，证明了圆的面积公式，并计算出圆周率的近似值为3.14，展现了高超的几何证明技巧。 布置作业 1. 基础作业：教科书章末复习题第1，2题。 2. 拓展作业：现实生活中的一些游戏、交流、比赛等活动，得选一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗？找出一些实例，和同伴交流。 感谢聆听! $