精品解析：辽宁省铁岭市2025-2026学年高一上学期10月教学质量监测数学试卷

铁岭市2025年10月高一教学质量监测试卷 数 学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：，. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的计算即可. 【详解】因为集合， . 故选：B. 3. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 4. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例即可判断出两个命题的真假. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题， 综上可知，和均为真命题． 故选：B． 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知不等式的解集求出，再求解不等式. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以1是方程的解，所以，解得， 所以不等式可化为， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 6. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据差比较法、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，为正实数， 由，得，所以，则充分性成立； 由，得，则，所以，则必要性成立． 综上可知，“”是“”的充要条件． 故选：D． 7. 已知全集，非空集合，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图，由集合的交并补集的运算逐项求解即可判断. 【详解】因为全集，集合，满足， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B 8. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B.  C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系可判断A选项，根据集合与集合的关系可判断BC选项，利用集合相等可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，集合与集合之间没有包含关系，C错； 对于D选项，，D错. 故选：AB. 10. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可. 【详解】对于，因为， 则，解得，即：， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 则，结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 11. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐个选项判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为，所以， 所以，所以，故C正确； 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 又，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 12. 已知集合，则集合的真子集个数为______. 【答案】3 【解析】 【分析】列举出集合的所有真子集即可得解. 【详解】集合的真子集为：，共3个. 所以集合的真子集个数为3. 故答案为：3 13. 设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】计算可得、，则，即可得解. 【详解】， ， 故. 故答案为：. 14. 已知，，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简所给式子，换元后利用均值不等式得出的范围，再由对勾函数单调性及反比例函数单调性求解. 【详解】由题知，原式， 设，所以原式， 令，，当且仅当，即时取等号， 所以原式. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知全集，集合，或． （1）求； （2）求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先出集合A，再求两集合的并集， （2）先求出集合B的补集，再求出 【小问1详解】 由题， 因为或， 所以或； 【小问2详解】 全集，集合，或， 所以， 所以． 16. 已知为实数，，． （1）当时，求的取值集合； （2）当时，求的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：因为， 所以当时，，当时，． 又，所以，此时，满足． 所以当时，的取值集合为． 【小问2详解】 解：当时，，不成立； 当时，，，成立； 当且时，，，由，得，所以． 综上，的取值集合为． 17. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为； 【解析】 【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案； （2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案. 【小问1详解】 不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 由可得，即， 即 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 故原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为； 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】（1） （2）总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【解析】 【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 前面墙的长度为米， 总报价，其中. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 19. 笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学．对于非空数集，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”． （1）若，求和； （2）若是非空数集，证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合H是有限集，将集合H中的元素个数记为．若，，且满足，当取得最大值时，求的最小值． 【答案】（1）；. （2） ①证明“”是“”的充分条件. 证明：若， 任取，则对于任意，有， 因为，则，所以， 故；任取，则对于任意，有， 因为，则，所以，故； 综上可知，，得证. ②证明“”是“”的必要条件. 证明：若，设， 则，且， ，且， 故，得证； 综上所述：“”的充要条件是“”，得证. （3）2 【解析】 【分析】（1）由定义列举可得； （2）分别证明充分性与必要性，借助互为子集证明集合相等. （3）利用基本不等式求出最值何时取到，代入式子，消元再整体换元，再次使用基本不等式求函数最值. 【小问1详解】 由题意知，， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，， 则，且. 所以有，即， 则 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值. 当取得最大值时，有，则， 则，令，且，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故当取得最大值时，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点：一是理解定义，应用定义解决求解新的集合及探索集合间的关系；二是根据不同分式型结构选择求函数最值的方法，如第（3）问中，将“齐二次比”型函数，通过分式同除以运算转化为，以及利用整体换元，将转化为函数最值，进而利用基本不等式得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁岭市2025年10月高一教学质量监测试卷 数 学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 6. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 7. 已知全集，非空集合，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B.  C. D. 10. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知集合，则集合的真子集个数为______. 13. 设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 14. 已知，，则的最大值是__________． 四、解答题 15. 已知全集，集合，或． （1）求； （2）求． 16. 已知为实数，，． （1）当时，求的取值集合； （2）当时，求的取值集合. 17. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 19. 笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学．对于非空数集，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”． （1）若，求和； （2）若是非空数集，证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合H是有限集，将集合H中的元素个数记为．若，，且满足，当取得最大值时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $