专题04 新定义与跨学科综合专训（42题）（高效培优期中专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题04 新定义与跨学科综合专训（42题） 题型一：三角形相关的新定义或跨学科综合（14题） 题型二：三角形全等的新定义或跨学科综合（8题） 题型三：勾股定理的新定义或跨学科综合（9题） 题型四：实数的新定义或跨学科综合（11题） 题型一：三角形相关的新定义或跨学科综合（14题） 1．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为（   ） A．6或10 B．1.5或10 C．6或2.5 D．1.5或2.5 【答案】C 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到，∴， ①第三条边是已知边中一条的2倍，则或， 若，则（不符合题意，舍去）；若，则； ②已知边中一条是第三条边的2倍，则若或， 若，则；若，则（不符合题意，舍去）； ∴三角形第三边的长是2.5或6．故选：C 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当为腰时，则底边；此时，优美比； 当为底边时，则腰为；此时，优美比；故选：C． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及等角对等边，大角对大边，小角对小边进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.在直角三角形ABC中，∴ 又平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∴ ∴，即BD不是“优美线”故选项A不符合题意； B.在中， ∴是等边三角形，∴， ∵BD平分∠ABC，∴ ∴ ∴，，即BD不是“优美线” 故选项B不符合题意； C.在中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴，即BD不是“优美线” 故选项C不符合题意； D. 在中，∴ 又平分 ∴∴ ∴，即BD是“优美线”故选项D符合题意；故选D 4．（24-25八年级下·山东德州·期末）新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为 ． 【答案】/ 【详解】解：在中，∵，，，∴， ∵是边上的高，∴，即，解得：， ∵点E是边上的中点，∴，∴， ∴．故答案为： 5．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 【答案】①②④ 【详解】解：， 当时，，钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形， 只有锐角三角形存在反射三角形，故①正确，符合题意； 当是等边三角形时，， 是等边三角形，故②正确，符合题意； 当时，，直角三角形不存在反射三角形，故③错误，不符合题意； 当是等腰三角形时，假设， 等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，故④正确，符合题意；故选：①②④． 6．（2024·山东济宁·一模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为 ．    【答案】 【详解】∵，，∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，∴， 当为“准直角三角形”时，∴或，解得或， 当时， 即， ∴， ∴，∴， 此时，， 故不是“准直角三角形”； 当时，即， ∴， ∴，∴， 此时，∴是“准直角三角形”， 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为，故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故答案为： 8．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若是“准互余三角形”， ，，则 ．(2)如图，是直角三角形，．①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由．②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 【答案】(1)(2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【详解】（1）解：是“准互余三角形”， ， ，，故答案为：． （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下，如图， 是的平分线，， ，，，是“准互余三角形”； ②如图，由题意得，是“准互余三角形”， 当时，，，， 当时，，，， 综上所述，的度数为或． 9．（2025·河南驻马店·三模）定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）证明：如图，∵，，∴， ∵线段的垂直平分线与边交于点，∴，∴， ∴，， ∴，∴， ∵在中，顶角，，∴是豫式三角形． 10．（2025·浙江·模拟预测）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．(1)若边上的“中高距”为0，求证：； (2)若，，，求边上的“中高距”． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：边上的“中高距”为0， 中边上的中线、高线重合，即垂直平分，； （2）解：，，，， ，，，，∴， 为边上的中线，， ． 11．（25-26八年级上·江苏·期中）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【详解】解：（1）∵，∴， ∴；； ∵，∴是“完美三角形”；故答案为：18，72，是； （2）∵，∴， ∴，∵，∴是“完美三角形”； （3）∵平分，∴， ∵，∴， ∴，根据“完美三角形”的定义得， 当时，，∴； 当时，，∴， ∴；∴的度数为或． 12．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【数列创新问题】阅读下列材料，回答问题． 年月日，第二届世界顶尖科学家论坛开幕，全球顶尖科学家汇聚上海，共同探讨科学发展前沿问题．本届大会还邀请了青少年科学家参加，最年轻的一位“小小科学家”，是来自华东师大二附中高一年级年仅岁的谈方琳同学，她的研究成果是斐波那契数列与贝祖数的估计． 斐波那契数列是一个很有意思的数列，我们一起来研究一下吧！ (1)斐波那契数列（）指的是这样一个数列： 1，1，2，3，5，8，，，，A，B，C．D，…，这个数列在D处的值应该是 ． 有趣的是，当我们根据发现的规律不断往后写出各项时，随着数列项数的增加，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割（近似为）． (2)如果斐波那契数列的第m项的值为，则第项与第项的和最接近 ． A． B． C． D． 如果我们把斐波那契数列各项的个位上的数按顺序记录下来，会发现它是一个步的循环： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， (3)根据上述规律，斐波那契数列第项的个位上的数是 ． (4)斐波那契数列第项到第项（含第项和第项）中，个位上是0的项的个数总共有 个． 三角形的三边关系定理和斐波那契数列也有着某种联系，通过解决下面的问题，相信你能够发现． (5)现有长为厘米的铁丝，要截成小段，每段的长度都是整厘米数且都不小于1厘米，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么的最大值为 ． 【答案】(1)(2)C(3)(4)(5) 【详解】（1）解：根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项；，故答案为：； （2）解：根据随着数列项数的增加，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割（近似为）， 第m项的值为，则第项近似为：， 第项近似为：， 则第项与第项的和为：，最接近可知为，故选：C． （3）解：，根据它是一个步的循环： ，，，，，， ，，，，，， 故斐波那契数列第项的个位上的数是第位的数：，故答案为：； （4）解：，则第项个位数上对应的数是：， 则循环为：，，，，， ，，，，，，，， 其中个位数是的个数为：个， ∴斐波那契数列各项的个位上的数是一个60步的循环，每个循环中有4个0， 所求范围为第1000项到第2019项，共项， ∵，∴这个区间恰好包含了17个完整的循环周期， 因此，个位上是0的项的个数为个，故答案为：； （5）解：根据三角形三边之间的关系，要使得其中任意三小段都不能拼成三角形，同时要使得取得最大值，则要满足斐波那契数列， 求1，1，2，3，5，8，，，，之和为：， 故的最大值，故答案为：． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中） 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 (2)在中，若，，则为“ 倍角三角形”．(3)如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 【答案】(1)；(2)3(3)或． 【详解】（1）解；当的角是最小的角时，则最大的角为， ∴另外一个角的度数为； 当的角不是最小的角，也不是最大的角时，则最小的角的度数为，不符合题意； 综上所述，另外两个内角的度数为和； （2）解：∵在中，若，，∴， ∵，∴为“3倍角三角形”； （3）解：∵，∴， ∵的角平分线相交于点，∴， ∴，∴， ∴在中，最大，∵为“6倍角三角形”；∴当时：； 当时，，则：；故或． 14．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_____． (3)图4中，是的重心，点、在的边、上，、交于点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析(2)(3) 【详解】（1）解：               由题意可知，，， ，， ， ，， ，． （2）由（1）知， ∵与等高，∴，即故答案为；． （3）解：是的重心，∴由（2）知，， ，，． 题型二：三角形全等的新定义或跨学科综合（8题） 15．（24-25九年级下·河北邯郸·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】观察图像可知：和中 ∴光线b与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．故选：B． 16．（25-26八年级上·河北·阶段练习）新定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图，在和中，，，且，连接，交于点．当点，，在同一条直线上时， （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：，，即， 又，， 点，，在同一条直线上时， ，．故答案为：． 17．（24-25九年级上·重庆·期末）定义：如图1，在△ABC中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系_______； ②如图3，当，时，则长为_______． 猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析． 【详解】解：（1）是等边三角形，， 是的“旋补三角形”，，， 是的中线，， ∴，，故答案为：； 是的“旋补三角形”，， 在和中，，），， ，是的“旋补中线”，，故答案为：4； （2）猜想．证明：如图，延长至点E使得，连接， 是的中线，，，∴四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中，，，，∴ADBC． 18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，，则______； (2)若中，，，，则______； (3)若中，，，边上的高为15，则______； (4)如图3，在锐角中，，，点E在边上，．若点F在边上，满足，则的长是______． 【答案】(1)1(2)(3)13或(4)7或9 【详解】（1）解：在中，，，∴且， ∵，，∴∴；故答案为：1； （2）解：中，，过点B作于点H，如图， ∵中，，，根据勾股定理可得， ∴，即，解得， ∴；故答案为：； （3）解：当是锐角三角形时，过点A作于点E，如图， ∵中，，，， 在中，， 在中，， ∴，∴； 当是钝角三角形时，过点A作于点F，如图， ∵中，，，， 在中，， 在中，，∴，∴； 综上，的值为13或；故答案为：13或； （4）解：过点B作，点C作，如图， ∵，为边的高，为边的高，∴， 又∵，∴，即，可得， 在中，，∴， 在上取一点F，使得，如图， 在与，，∴，∴， 在与，，∴，∴，∴； 在上取一点F，使得，如图，由以上可知，， ∴，∴，综上，的长是7或9．故答案为：7或9． 19．（24-25八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”．(1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线．如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)① 见解析；②与的数量关系不变，，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， 在与中，； （2）①证明：分别过点A作于点M，于点N， 由（1）得，，， ，， 又∵，，； ②解：与的数量关系不变，，理由如下： ∵，. 在与中，，，，， 分别过点A作于点M，于点N，，， 又∵，，，即与的数量关系不变. 20．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)18 【详解】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， 和都是等腰三角形，，，， ，即 ，； （2）理由如下：如图2，延长至点P，使， ，为等边三角形，，， ，， 在和中，，，， ，； （3）解：连接，如图3所示：，，， ∵和互为“兄弟三角形”，，， ，，，， 在和中，，，，， ∵，，， ，，，， 是公共部分，． 21．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)不能，理由见解析；(3)见解析；(4)见解析． 【详解】（1）解：，为等腰三角形， 则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线， ，，， 如图所示，所在的直线即为所求：          （2）解：不能，理由：如图2，若直线平分的面积，那么，， ，，∴过点C不能画出一条“等分积周线”． （3）证明：连接、，设，如图： 垂直平分，，，， ，，，， 和中，根据勾股定理可得出： ，即，解得：， ，，，， ，， ，， ∴直线为四边形的“等分积周线”． （4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，    理由：由作图可得：， 在上取一点G，使得，则有，，， 在和中，， ，，∴ ，，， ，是的“等分积周线”． 22．（24-25八年级下·江西·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【答案】（1）①；②D；（2）CA平分，见解析；（3） 【详解】（1）解：①∵四边形等补四边形，， ∴，∴，故答案为：． ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形，故选：D． （2）解：平分，理由：如图，作于点，交的延长线于点， ∵四边形是等补四边形，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴平分． （3）解：过点作于点，则， ∵，，∴，， ∴四边形是等补四边形，由（2）得，平分， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， 在中，，，∴，， 故，∴，故答案为：． 题型三：勾股定理的新定义或跨学科综合（9题） 23．（25-25九年级上·上海黄浦·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【答案】或12 【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，       ∴，∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，， ∴，，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12．故答案为：或12 24．（25-26八年级上·广东·阶段练习）定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【知识感知】（1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则这个点是不是关于点的勾股点______（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，求的长； 【知识应用】（3）如图4，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，求证：点为关于点的勾股点； 【知识拓展】（4）如图5，是等边三角形，点为内一点（不与点、、重合），当点是关于点的勾股点时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）；（4） 【详解】解： 如图2，连接， ∵，，， ∴，∴点是关于点的勾股点；故答案为：是． （2）解：，是中点，，，， 点是关于点的勾股点，， ，，，在中，； （3）证明：和为等腰直角三角形， ，，， ，即， ，，， ，， ，，点为关于点的勾股点． （4）解：如图，把绕点旋转到的位置，连接， 是等边三角形，，，把绕点旋转到的位置， ，，，， 是等边三角形，，， 点是关于点的勾股点，，，， ，． 25．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析(2)5(3) 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形，∴， 由勾股定理得：， ∴；同理：，∴； （2）解：如图，连接，由于四边形是长方形，则，设， ∵，∴，， ∵，∴四边形是垂美四边形，∴， ∵，∴，解得：（舍去负值）即； （3）解：∵，∴， 在中，由勾股定理得， ∵，∴． 26．（24-25八年级下·江西抚州·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是(2)5(3)2或1或 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线，，则是等腰三角形， 是直角三角形是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形，故答案为：是； （2）是的等直分割线段是等腰三角形 设：，则在中，根据勾股定理得 解得； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴，∴，∴， ②若，时，如图2， ∴，，∴， ∴，∴，∴， ③若，时，如图3，∴ ④若，时，如图4，∴，∴， ∴，∴，∴， 综上所述：的长可以为或或.故答案为：或或. 27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______；(2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 【答案】(1)(2)①见解析；②8(3)①相等；②32(4)94(5)13(6)17 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：①，，， ，， ，如图所示，为所求： ②故答案为：； （3）解：①相等，理由如下：过点作于，过点作于，如图： 正方形，正方形， ，，，， ，， 在和中，，，， ，，．故答案为：相等； ②过点作于，如图： 由勾股定理可得：，，两式相减可得：，， 六边形的面积为 故答案为：32； （4）解：由（3）可知，，过点作于，如图： 正方形面积为9，， ， ，，，， ；故答案为：94； （5）解：构图如下：其中，，，，，四边形为矩形， ， 由勾股定理可得，， ，故答案为：13； （6）解：由（5）可得：故答案为：17． 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有______；（填序号） ①等边三角形；        ②等腰直角三角形；        ③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，求的长： (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”，．将沿着边翻折得到，连接．若，且有一条边长为，求的长． 【答案】(1)③(2)(3)或 【详解】（1）解：如图所示，等边三角形，过点作于点， ∴，，∴， 在中，，∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等边三角形不是“高倍底”三角形； 如图所示，等腰直角三角形，，过点作于点，则， ∴，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等腰直角三角形不是“高倍底”三角形； 三边长分别是的三角形， ∵，∴该三角形是直角三角形，如图所示，， ∴是边的高，且， ∴三边长分别是的三角形符合“高倍底”三角形的定义，是“高倍底”三角形；故选：③； （2）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， 在中，，即，解得，， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，∴，∴， ∴，在中，； （3）解：如图所示，∵将沿着边翻折得到，连接，延长交于点，过点作延长线于点，∴垂直平分，∴， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，， ∴，∴， 第一种情况，当时，∴，∴，∴； 第二种情况，当时，则，∴， 在中，，同理，， ∴，∴；综上所述，的长为或． 29．（24-25八年级上·甘肃·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4(2)证明见解析(3)，． 【详解】（1）解：如图，，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个，故答案为：4； （2）证明： ．， 在中，由勾股定理得：，． 在中，由勾股定理得：，． 在中，，又，， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形，点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点，∴，∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，，； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，，，设， ，，，； 综上所述，的长为，． 30．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由．②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】(1)；(2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【详解】（1）解：，，，， 是类勾股三角形，，，是等腰直角三角形，； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ，，， ，，是等腰三角形 ②由①得，，， ，， 在中，， 在中，， ，，是“类勾股三角形”． 31．（24-25八年级下·广西百色·期末）【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【知识运用】 (1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)点，是线段的勾股分割点．理由见解析(2)的长为12或13 【详解】（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下： ，，， 以线段，，为边的三角形是一个直角三角形， 点，是线段的勾股分割点． （2）设，则． 点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ①当为斜边时，则，即，解得； ②当为斜边时，则，即，解得． 综上所述，的长为12或13． 题型四：实数的新定义或跨学科综合（11题） 32．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，由于x和y为两个连续正整数，， ∴，，∴∴的算术平方根为4，故选：C． 33．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如2，8，18这三个数，，，，其结果都是整数，所以2，8，18三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．若3，12，27三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义以及算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．先求出最小算术平方根，然后求出平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴最小算术平方根是6， ∴最小算术平方根的平方根是． 故答案为：． 34．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 对于实数a，我们规定：用表示a的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即， 【应用】（1）填空：_______．（2）若，求出满足题意的所有x的整数值． 【拓展】（3）如果我们将正实数a的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 【答案】（1）3；（2）4或5或6或7或8；（3）3次 【详解】解：（1）因为，∴，即，∴． （2）因为，，，所以，所以的整数值为4或5或6或7或8． （3）因为，所以，即， 故第1次运算：，11的算术平方根为； 因为，所以，即， 第2次运算：，的算术平方根为； 因为，所以，即， 第3次运算：，1的算术平方根为1．故对实数经过3次运算之后的结果是1． 35．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【答案】(1)5，7(2)4次之后结果为1． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∴，，故答案为：5，7； （2）解：第一次：，第二次：，第三次：，第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 36．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是(2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数(3)81 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”，故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得．综上所述，的值为81． 37．（24-25七年级下·广东广州·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，满足关系式：，求的“青一区间”． (3)多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分． 在（2）的条件下描述，正确的答案是（    ） A．是有理数        B．        C．        D． (4)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)，(2)的“青一区间”为；(3)BC(4)或． 【详解】（1）解：∵，∴的“青一区间”为； ∵，∴的“青一区间”为；故答案为：，； （2）解：∵，∴， 即，∴，，∴， ∵，∴的“青一区间”为； （3）解：∵，∴，是无理数，选项A说法错误； ∵，∴，选项B说法正确； ∵，∴，选项C说法正确； ∵，∴，选项D说法错误；故选：BC； （4）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，∴， ∵的“青一区间”为，∴，即，∴， ∵为正整数，∴或， 当时，，当时，，∴或． 38．（2024·山东青岛·三模）阅读以下信息，完成下列小题 材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础． 材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作． (1)请把下列算式写成对数的形式：，， (2)平方运算是对数运算的基础．完成下列运算： (3)对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空． 平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0 【答案】(1)，， (2)，，27 (3)，，两，相反数，实数 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵，∴； （2）解：∵，∵，∴，∴； ∵，∵，∴，∴， 故答案为：，，27； （3）解：平方根，又叫二次方根，表示为，其中属于的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 两个实平方根，它们互为 相反数，负数在 实数范围内没有平方根，0的平方根是0，故答案为：，，两，相反数，实数． 39．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：对于任意正整数，因为，所以．两边同时开平方，可得．根据以上材料，解答下列问题： (1)①_____，_____，_____；（填“”，“”，“”） ②在整数_____和_____之间；在整数_____和_____之间． (2)比较与2025的大小，并说明理由；(3)已知，求的整数部分； (4)若（为正整数），求的值． 【答案】(1)①；②，；，(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵∴当时，，即 同理可得：当时，；当时，，故答案为：． ②∵∴∴ 当时，，在整数和之间； 当时，，在整数和之间故答案为：，；，． （2）∵ ∴当时，即 （3）∵ ∴当时， ∴∴的整数部分是 （4）解：（为正整数）， ∴，解得：又∵为正整数∴ 40．（24-25八年级下·河南信阳·期末）阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 【答案】(1)6，3(2)，最小值 【详解】（1）解：∵，∴， 当，即（不合题意，舍去）时，有最小值为6．故答案为：6，3． （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 即时，原式有最小值． 41．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题：(1)的“坐标区间”为________；(2)若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值；(3)若整数，满足关系式：，求的“坐标区间”． 【答案】(1)(2)的值为3；(3)或 【详解】（1）解：∵，∴的“坐标区间”是，故答案为：； （2）解：∵无理数的“坐标区间”为，∴，即， ∵的“坐标区间”为，∴，即，∴， ∵为正整数，∴，∴∴的值为3； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或，解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵，∴的“坐标区间”为； 当，时，， ∵，∴的“坐标区间”为； 当，时，， ∵，∴的“坐标区间”为； 综上，的“坐标区间”为或． 42．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）我们已经学习了平方根、算术平方根以及立方根的概念，类似的我们可以定义次方根．例如，类比平方根，可以定义四次方根：若一个数的四次方等于，则叫做的四次方根，记作，其中叫作的算术四次方根． (1)类比立方根，可以定义五次方根：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作__________． (2)的七次方根记作__________，结果是__________；64的六次方根记作__________，结果是__________； (3)解方程：① ② 【答案】(1)；(2)，，，；(3)①，②； 【详解】（1）解：由n次方根的定义可知：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作． 故答案为：． （2）解：由n次方根的定义可得：的七次方根记作，结果是；64的六次方根记作，结果是； （3）解：① ， ② ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 新定义与跨学科综合专训（42题） 题型一：三角形相关的新定义或跨学科综合（14题） 题型二：三角形全等的新定义或跨学科综合（8题） 题型三：勾股定理的新定义或跨学科综合（9题） 题型四：实数的新定义或跨学科综合（11题） 题型一：三角形相关的新定义或跨学科综合（14题） 1．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为（   ） A．6或10 B．1.5或10 C．6或2.5 D．1.5或2.5 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　） A． B．C． D． 4．（24-25八年级下·山东德州·期末）新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为 ． 5．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 6．（2024·山东济宁·一模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为 ．    7．（24-25八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    8．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若是“准互余三角形”， ，，则 ．(2)如图，是直角三角形，．①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由．②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 9．（2025·河南驻马店·三模）定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 10．（2025·浙江·模拟预测）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．(1)若边上的“中高距”为0，求证：； (2)若，，，求边上的“中高距”． 11．（25-26八年级上·江苏·期中）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数．    12．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【数列创新问题】阅读下列材料，回答问题． 年月日，第二届世界顶尖科学家论坛开幕，全球顶尖科学家汇聚上海，共同探讨科学发展前沿问题．本届大会还邀请了青少年科学家参加，最年轻的一位“小小科学家”，是来自华东师大二附中高一年级年仅岁的谈方琳同学，她的研究成果是斐波那契数列与贝祖数的估计． 斐波那契数列是一个很有意思的数列，我们一起来研究一下吧！ (1)斐波那契数列（）指的是这样一个数列： 1，1，2，3，5，8，，，，A，B，C．D，…，这个数列在D处的值应该是 ． 有趣的是，当我们根据发现的规律不断往后写出各项时，随着数列项数的增加，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割（近似为）． (2)如果斐波那契数列的第m项的值为，则第项与第项的和最接近 ． A． B． C． D． 如果我们把斐波那契数列各项的个位上的数按顺序记录下来，会发现它是一个步的循环： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， (3)根据上述规律，斐波那契数列第项的个位上的数是 ． (4)斐波那契数列第项到第项（含第项和第项）中，个位上是0的项的个数总共有 个． 三角形的三边关系定理和斐波那契数列也有着某种联系，通过解决下面的问题，相信你能够发现． (5)现有长为厘米的铁丝，要截成小段，每段的长度都是整厘米数且都不小于1厘米，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么的最大值为 ． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中） 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 (2)在中，若，，则为“ 倍角三角形”．(3)如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 14．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_____． (3)图4中，是的重心，点、在的边、上，、交于点，，，，求四边形的面积． 题型二：三角形全等的新定义或跨学科综合（8题） 15．（24-25九年级下·河北邯郸·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·河北·阶段练习）新定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图，在和中，，，且，连接，交于点．当点，，在同一条直线上时， （用含的代数式表示）． 17．（24-25九年级上·重庆·期末）定义：如图1，在△ABC中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系_______； ②如图3，当，时，则长为_______． 猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，，则______； (2)若中，，，，则______； (3)若中，，，边上的高为15，则______； (4)如图3，在锐角中，，，点E在边上，．若点F在边上，满足，则的长是______． 19．（24-25八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”．(1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线．如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 20．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 21．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 22．（24-25八年级下·江西·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 题型三：勾股定理的新定义或跨学科综合（9题） 23．（25-25九年级上·上海黄浦·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 24．（25-26八年级上·广东·阶段练习）定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【知识感知】（1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则这个点是不是关于点的勾股点______（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，求的长； 【知识应用】（3）如图4，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，求证：点为关于点的勾股点； 【知识拓展】（4）如图5，是等边三角形，点为内一点（不与点、、重合），当点是关于点的勾股点时，请直接写出此时的度数． 25．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长．     26．（24-25八年级下·江西抚州·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段．(1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______；(2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有______；（填序号） ①等边三角形；        ②等腰直角三角形；        ③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，求的长： (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”，．将沿着边翻折得到，连接．若，且有一条边长为，求的长． 29．（24-25八年级上·甘肃·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 30．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由．②请你帮助小明完成证明过程． 31．（24-25八年级下·广西百色·期末）【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【知识运用】(1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 题型四：实数的新定义或跨学科综合（11题） 32．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 33．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如2，8，18这三个数，，，，其结果都是整数，所以2，8，18三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．若3，12，27三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根的平方根是 ． 34．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 对于实数a，我们规定：用表示a的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即， 【应用】（1）填空：_______．（2）若，求出满足题意的所有x的整数值． 【拓展】（3）如果我们将正实数a的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 35．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 36．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 37．（24-25七年级下·广东广州·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，满足关系式：，求的“青一区间”． (3)多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分． 在（2）的条件下描述，正确的答案是（    ） A．是有理数        B．        C．        D． (4)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 38．（2024·山东青岛·三模）阅读以下信息，完成下列小题 材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础． 材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作． (1)请把下列算式写成对数的形式：，， (2)平方运算是对数运算的基础．完成下列运算： (3)对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空． 平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0 39．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：对于任意正整数，因为，所以．两边同时开平方，可得．根据以上材料，解答下列问题： (1)①_____，_____，_____；（填“”，“”，“”） ②在整数_____和_____之间；在整数_____和_____之间． (2)比较与2025的大小，并说明理由；(3)已知，求的整数部分； (4)若（为正整数），求的值． 40．（24-25八年级下·河南信阳·期末）阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 41．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题：(1)的“坐标区间”为________；(2)若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值；(3)若整数，满足关系式：，求的“坐标区间”． 42．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）我们已经学习了平方根、算术平方根以及立方根的概念，类似的我们可以定义次方根．例如，类比平方根，可以定义四次方根：若一个数的四次方等于，则叫做的四次方根，记作，其中叫作的算术四次方根． (1)类比立方根，可以定义五次方根：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作__________． (2)的七次方根记作__________，结果是__________；64的六次方根记作__________，结果是__________； (3)解方程：① ② 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $