6.2 角（7大题型）（题型专练）数学苏科版2024七年级上册

6.2 角 题型一 角的概念及表示 1．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 4．（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 题型二 角的分类 1．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 2．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 3．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 4．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 题型三 钟面角 1．上午十点半，时针与分针的夹角是（   ）． A． B． C． D． 2．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为（   ） A．120度 B．137.5度 C．150度 D．137度 3．如图，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是多少度． 4．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 题型四 角的单位与运算 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将用度表示的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．（1） ； （2） ． 题型一 与邻角补角有关的运算 1．已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 2．若与互为补角，比小，则为（    ） A． B． C． D． 3．如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 4．与它的余角相等，与它的补角相等，则 °． 题型二 与角平分线有关的计算 1．如图，平分，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 2．如图，是的角平分线，若，则的度数是 ． 3．如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 4．如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 题型三 三角板中的角度计算 1．一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 3．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 4．以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 1．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 2．如图所示：点在直线上．    (1)如图（1），过点作射线，若．求的度数； (2)如图（2），在内部过点作，平分，若，直接写出的度数（用表示）； (3)如图（3），在（2）问的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 4．将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 角 题型一 角的概念及表示 1．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要根据周角、平角、直角、锐角、钝角的定义，逐一分析每个说法的正确性，从而确定正确说法的个数． 【详解】①周角是，平角是，，所以1个周角=2个平角，该说法正确； ②平角是，直角是，，所以1个平角=2个直角，该说法正确； ③直角是，锐角是大于而小于的角，例如两个的锐角和为，所以1个直角不一定等于2个锐角，该说法错误； ④钝角是大于而小于的角，仅说大于的角不一定是钝角（如平角、周角），该说法错误． 综上，①②说法正确， 故选：C． 2．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 3．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了角的相关概念，熟练掌握角的相关定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据角的表示方法并结合图形即可得解； （2）根据图形并结合角的相关定义即可得解． 【详解】解：（1）由图①可得，我们可以将角表示为或或， 故答案为：，，； （2）由图②可得，共有3个角，它们分别是，，， 故答案为：3；，，． 题型二 角的分类 1．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 2．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 3．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 4．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 题型三 钟面角 1．上午十点半，时针与分针的夹角是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，解题关键是确定时针与分针的位置． 根据所给的时间，确定时针与分针的位置，再求角度． 【详解】解：钟面一圈为，共12个大格，每个大格为， 上午十点半，分针指向6，时针指向10与11的正中间（即10.5的位置），二者相差个大格， 其夹角为， 故选：B． 2．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为（   ） A．120度 B．137.5度 C．150度 D．137度 【答案】B 【分析】本题考查钟面角，根据钟面上一个大格是30度，分针一分钟走6度，时针一分钟走0.5度，进行求解即可． 【详解】解：从12点开始到12点25分时，时针和分针均走了25分钟， 故分针与时针之间的夹角度数为； 故选B． 3．如图，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是多少度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据每个大格代表，当时钟指向时，包含了个大格，由此计算即可得解，熟练掌握钟面角的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是． 4．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 【答案】40 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，本题关键是根据两个时刻的夹角找到等量关系并建立方程求解．分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，设此人外出到回家用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，则，求出x即可． 【详解】解：设此人外出购物用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，依题意得： ； 解得：； 故答案为：40． 题型四 角的单位与运算 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．将用度表示的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需要将分和秒转化为度，根据度、分、秒之间的进制关系，逐步把分和秒换算成度，再与原有的度相加，从而得到结果． 【详解】 ，则 故选：B． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的运算，注意将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60是解答此题的关键． 首先将分化为秒，乘以60，与秒相减，将度化为分与分相减，最后度与度相减． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（1） ； （2） ． 【答案】 34 22 12 62 7 30 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握的换算是解题的关键． 根据度分秒的转换规律求解即可． 【详解】（1），， ． 故答案为34；22；12． （2），， ． 故答案为：62；7；30． 题型一 与邻角补角有关的运算 1．已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角与补角，解题的关键是熟记概念，余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 根据与互补求出，再计算的余角即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， ∴的余角为． 故选：B． 2．若与互为补角，比小，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角、一元一次方程的应用等知识点，根据互为补角的两个角的和等于用表示出，然后根据比小，列出方程求解即可． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∵比小， ∴， 解得：． 故选：C． 3．如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用“余角的度数比补角的一半少”这一条件建立方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为则它的余角为，补角为 根据题意列方程： 故选：C ． 4．与它的余角相等，与它的补角相等，则 °． 【答案】135 【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角． 先根据余角和补角的概念求出和，再相加即可． 【详解】∵与它的余角相等， ∴． ∵与它的补角相等， ∴， ∴ 故答案为135． 题型二 与角平分线有关的计算 1．如图，平分，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的概念；掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质，找出角之间的数量关系求解即可． 【详解】解：平分，， ∴， ， ， 又平分， ． 故选：A． 2．如图，是的角平分线，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，准确分析计算是解题的关键． 根据是角平分线得到即可得解． 【详解】是的角平分线， ， ， ； 故答案为：． 3．如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则由角平分线的定义得，根据平角的定义可建立方程求出，进而由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 题型三 三角板中的角度计算 1．一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角板可得，根据，可得，然后代入，进而得到的度数． 【详解】∵，， ∴， 解得：， 根据题意可得：，即， 即：， 解得：， 故选：B． 2．如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【答案】45 【分析】本题主要利用三角板的知识以及平角是180度解决问题．一副三角尺中有一个是等腰直角三角形，度数分别是，，，另一个是直角三角形，度数分别是，和，熟记各个角的度数是解答此类题的关键． 【详解】解：， 故答案为：45． 3．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，熟知三角板中的角度是解题的关键． （1）由三角板的信息可知，再由角的和差关系即可得出． （2）设，则，由题意可知，即可得出，解出x即可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴． （2）解： 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴ 4．以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）把数值代入，进行计算，求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于进行列式计算，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴所在射线是的平分线； （3）解：设， 则， ∵，， ∴或 ∴或， 即或 ∴或． 1．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 【答案】30或50或90 【分析】本题考查角分线的应用、旋转的应用．分为四种情况进行讨论：，，，，先求出和，再代入即可求出n． 【详解】解：由题图可知． ①当时，和在直线的右侧，如图： ， ， ； ②当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧， 此时， ∵本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角， 故， ， ， ， 解得； ③当时，如图所示， ， ， ∴， 解得； ④当时，如图： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，解得（舍去）． 故答案为：30或50或90． 2．如图所示：点在直线上．    (1)如图（1），过点作射线，若．求的度数； (2)如图（2），在内部过点作，平分，若，直接写出的度数（用表示）； (3)如图（3），在（2）问的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平角，角平分线的定义等知识，运用数形结合思想是解题关键． （1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据平角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再根据角的和差关系求解即可； （3）根据角的和差关系和角平分线的定义求出，进而求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 4．将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $