专题3.4 双曲线的标准方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题3.4 双曲线的标准方程 教学目标 1．理解双曲线的定义． 2．类比椭圆的标准方程的求法推导出双曲线的标准方程． 3．能根据已知条件求双曲线的标准方程． 4.通过类比椭圆的标准方程求法，推导出双曲线的标准方程，发展逻辑推理素养；在运用双曲线方程解决问题的过程中，发展数学建模和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 双曲线的定义、标准方程及其简单应用． 2.难点 双曲线定义中的绝对值及2a<2c的理解． 知识点01 双曲线的定义 双曲线的定义： 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的________等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的________，两焦点间的距离叫作双曲线的________ 注意：已知|MF1－MF2|＝2a. ①若2a＝2c，则点M的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线． ②若2c>2a>0，则点M的轨迹是双曲线． ③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的中垂线． ④若去掉绝对值，则点M的轨迹表示双曲线的一支． 【即学即练】 1．已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 知识点02 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 注意：双曲线标准方程的特点 (1) 双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种： 当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0,b>0)； 当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0,b>0)． (2) a,b,c有关系式c2＝a2＋b2成立，且a>0,b>0,c>0，其中a与b的大小关系可以为a＝b,a<b,a>b. (3) 根据双曲线的标准方程判断焦点的位置 从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴，而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 双曲线方程的求解方法： (1)用________求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用________求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【即学即练】 1．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 2．已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 知识点03 双曲线的焦点三角形 双曲线的焦点三角形： (1)焦点三角形的定义： 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的求解方法： 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的________ 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【即学即练】 1．经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，设点为右焦点，则的周长为____________. 2．点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为 ． 题型01 双曲线的定义及辨析 【典例1】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【变式2】已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 题型02 双曲线标准方程的求解 【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程;(2)待定系数法. 待定系数法求双曲线标准方程： 【变式1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【变式3】已知双曲线过点和，则该双曲线的标准方程为________． 题型03 利用方程表示双曲线求参数范围 【典例1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 【变式1】已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 题型04 根据双曲线方程求a、b、c 【典例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．24 B．25 C．7 D．8 【变式2】若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为__________ 题型05 轨迹问题——双曲线 【典例1】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【变式3】已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 题型06 双曲线焦点三角形的周长与面积问题 【典例1】设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等,另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用,其中求双曲线中的焦点三角形面积的方法： （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【变式1】已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 【变式3】若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 【变式4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 题型07 双曲线中的距离和差最值问题 【典例1】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 双曲线中线段之和差的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 【变式1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式3】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（    ） A．11 B．9 C．7 D．6 【变式4】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 题型08 双曲线的实际应用问题 【典例1】相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【变式2】2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 1．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于（    ） A．10 B．13 C．16 D．21 3．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 8．（多选）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A．两条直线 B．圆 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 9．（多选）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 10．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 11．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 12．已知圆，圆，动圆与、都外切，则圆心的轨迹方程为____________. 13．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 14．在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. (1)求的标准方程； (2)若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； (3)若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 双曲线的标准方程 教学目标 1．理解双曲线的定义． 2．类比椭圆的标准方程的求法推导出双曲线的标准方程． 3．能根据已知条件求双曲线的标准方程． 4.通过类比椭圆的标准方程求法，推导出双曲线的标准方程，发展逻辑推理素养；在运用双曲线方程解决问题的过程中，发展数学建模和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 双曲线的定义、标准方程及其简单应用． 2.难点 双曲线定义中的绝对值及2a<2c的理解． 知识点01 双曲线的定义 双曲线的定义： 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距 注意：已知|MF1－MF2|＝2a. ①若2a＝2c，则点M的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线． ②若2c>2a>0，则点M的轨迹是双曲线． ③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的中垂线． ④若去掉绝对值，则点M的轨迹表示双曲线的一支． 【即学即练】 1．已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义可求解. 【解析】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的右支， ，的轨迹方程是， 故选：C 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解析】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 知识点02 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 注意：双曲线标准方程的特点 (1) 双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种： 当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0,b>0)； 当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0,b>0)． (2) a,b,c有关系式c2＝a2＋b2成立，且a>0,b>0,c>0，其中a与b的大小关系可以为a＝b,a<b,a>b. (3) 根据双曲线的标准方程判断焦点的位置 从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴，而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 双曲线方程的求解方法： (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【即学即练】 1．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 2．已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的概念，解不等式即可. 【解析】因为方程 表示双曲线，所以， 解得或. 故选：B 知识点03 双曲线的焦点三角形 双曲线的焦点三角形： (1)焦点三角形的定义： 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的求解方法： 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【即学即练】 1．经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，设点为右焦点，则的周长为____________. 【答案】64 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义计算作答. 【解析】由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 故答案为：64 2．点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【解析】结合题意可得：双曲线的实半轴长，半焦距， 有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：. 题型01 双曲线的定义及辨析 【典例1】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B. 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或，即可得解. 【解析】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 【变式2】已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为，即可得解. 【解析】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B. 【变式3】化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义即可得解 【解析】设，，则由已知得， 即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数，又，且， 所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线. 设双曲线方程为：，则，所以， 所以，所以双曲线方程为， 即化简方程的结果是. 故选：D. 题型02 双曲线标准方程的求解 【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【解析】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程;(2)待定系数法. 待定系数法求双曲线标准方程： 【变式1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【解析】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【变式2】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【解析】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 【变式3】已知双曲线过点和，则该双曲线的标准方程为________． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【解析】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故答案为： 题型03 利用方程表示双曲线求参数范围 【典例1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 【变式1】已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【解析】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 【变式2】“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论. 【解析】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 【变式3】已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【解析】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 题型04 根据双曲线方程求a、b、c 【典例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程可知焦点在x轴上，结合椭圆方程和双曲线方程列式求解即可. 【解析】由双曲线可知焦点在x轴上， 由题意可得：，解得. 故选：C. 【变式1】知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．24 B．25 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得． 【解析】由题意，，， 故选：D． 【变式2】若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为__________ 【答案】2 【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果. 【解析】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故答案为：2. 题型05 轨迹问题——双曲线 【典例1】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【解析】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 【变式1】已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为， 故选：A 【变式2】如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【解析】连接、，如图所示： 因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 【变式3】已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出，，可得出，则点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，求出、、的值，即可得出其轨迹方程. 【解析】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内， 所以，，所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，，所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围. 【解析】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 故可设C的方程为， 由题：，解得：, 故C的方程为. 故答案为：． 题型06 双曲线焦点三角形的周长与面积问题 【典例1】设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线定义可得，，在中，由余弦定理可得，最后可利用面积公式求解. 【解析】由曲线：的方程可得 ，， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义可得．，， 在中，由余弦定理可得， ， 的面积为.    故选：A 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等,另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用,其中求双曲线中的焦点三角形面积的方法： （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【变式1】已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【解析】设点坐标为， 由题意可知，，， 则，，，. 在中，由余弦定理可得： ， 即，解得． 因为，则． 因为， 所以，解得． 又因为点P在双曲线，所以， 则. 故选：A 【变式2】已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 【答案】36 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义可求解. 【解析】由题意得，则， 所以的周长为． 故答案为：36. 【变式3】若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 【答案】32 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义可求解. 【解析】由，得，即， 所以，即 ， 根据已知条件做出图形如图所示 设， 则由双曲线的定义知，①，②， 由余弦定理得③， 联立①②③，得 ，即， 又，所以，，所以，即. 所以为直角三角形， 所以，解得. 故答案为：. 【变式4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 【答案】24 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义可求解. 【解析】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：24. 题型07 双曲线中的距离和差最值问题 【典例1】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 双曲线中线段之和差的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 【变式1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式2】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 【变式3】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（    ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解析】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【变式4】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【解析】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：9. 题型08 双曲线的实际应用问题 【典例1】相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【解析】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设为曲线上任一点， 则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，， ， 点的轨迹方程为． 故选：B 【变式1】相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可. 【解析】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 【变式2】2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】由原点在曲线上，则， 设，则， 所以，则， 所以， 由，且，可得， 所以，易知是曲线与以直径的圆的交点， 联立，且在第一象限，可得， 所以. 故选：B 1．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【解析】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D. 2．已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于（    ） A．10 B．13 C．16 D．21 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义即可求解 【解析】因为双曲线的标准方程为， 所以，，所以，，. 由双曲线的定义可知，令，则. 故选：B 3．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线标准方程的特征列出关于的不等式，解不等式可得结果. 【解析】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 故选：C. 4．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【解析】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 5．已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【解析】 在双曲线中，，， ， ， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 6．与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 再由圆与圆、圆都外切，设圆的半径为， 则，，所以， 因此，由双曲线的定义可得圆心的轨迹为双曲线的右支， 且该双曲线的焦距为，实轴长为， 所以，故， 所以所求圆的圆心的轨迹方程. 故选：D 7．（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】BCD 【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误； 对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确； 对于选项：设，由，可得， 化简得，表示一条直线，故C正确； 对于选项D：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确. 故选：BCD 8．（多选）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A．两条直线 B．圆 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 【答案】ABC 【解析】对A，因为，所以可取， 则有或，表示两条直线，A正确； 对B，因为，所以可取，则有，表示圆，B正确； 对C，因为，所以可取，则有，表示焦点在轴的椭圆，C正确； 对D，因为，所以该曲线方程不可能为焦点在轴的双曲线，D错误； 故选:ABC. 9．（多选）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【答案】AD 【解析】由题知，，则．因为在第一象限，所以． 在中，因为， 所以，A正确； 且，可得，B错误； 所以，C错误； 因为，所以， 故的周长为，D正确 故选：AD. 10．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的特征列出关于的不等式，解不等式可得结果. 【解析】由变形得到， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得， 故答案为： 11．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 【答案】2 【解析】由得，所以. 不妨设点在第一象限，则，故 ∵，∴， ∴，即， ∴， ． 故答案为：2. 12．已知圆，圆，动圆与、都外切，则圆心的轨迹方程为____________. 【答案】 【分析】设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出，，可得出，则点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支，求出、、的值，即可得出其轨迹方程. 【解析】设圆的半径为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆、圆都外切， 则，， 所以，， 所以，点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的标准方程为，则， 可得，，则， 所以，， 所以，圆心的轨迹方程为. 故答案为: 13．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1);(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 14．在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. (1)求的标准方程； (2)若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； (3)若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 【答案】(1);(2)和或和;(3) 【解析】（1）∵四点共线时，，根据双曲线对称性， ∴关于原点对称，不妨设在在右侧，即在圆， 又，∴，与圆联立得，， 代入，， ∴双曲线的标准方程为. （2）∵ ，∴渐近线为或， ∵直线与的渐近线垂直，且经过点， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为，y轴交点为， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为，y轴交点为， 综上，直线与两坐标轴交点的坐标为和或和. （3）如图， 根据题意直线斜率存在，设，， 联立， ∴，， 解得或， ， ， 设直线的倾斜角分别为， ∵是的角平分线， ∴， ， ， 又点在PQ上，所以， 故， 整理得，解得或， 又或，所以， 故直线的方程为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $