专题5.1 导数的概念及其几何意义（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

本讲义聚焦导数的概念及其几何意义，以平均变化率为基础，通过实例分析过渡到瞬时变化率，抽象出导数定义，再结合函数图象揭示其几何意义（切线斜率），构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以“实例—抽象—直观—应用”为主线，通过即学即练和典例变式，培养数学抽象（概念提炼）、直观想象（切线几何意义）、数学运算（导数计算与切线方程）素养。课中辅助分层教学，课后练习题助力学生巩固，有效查漏补缺。

专题5.1 导数的概念及其几何意义 教学目标 1. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养； 3.从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养；通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养. 教学重难点 1.重点 导数概念的形成与求曲线上一点处的切线方程 2.难点 导数内涵的理解 知识点01 平均变化率问题 平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和； ②作商：对所求得的差作商，即． 注：（1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【即学即练】 1．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【解析】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 2．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（  ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【解析】由题意， ， ， 故． 故选：B 知识点02 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 【即学即练】 1．一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【解析】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 2．若，则（  ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】, 故选：C 知识点03 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 3.曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【即学即练】 1．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【解析】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 2．已知函数在点处的切线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合导数的几何意义，即可求解. 【解析】由直线的斜率为， 因为函数在点处的切线与直线平行， 根据导数的几何意义，可得. 故答案为：. 题型01 函数的平均变化率 【典例1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由平均变化率计算公式求解． 【解析】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 求平均变化率的步骤： （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量．（3）得平均变化率． 【变式1】已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（  ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】分别求出和时的函数值，两者作差即可. 【解析】当时，， 当时，， 所以函数值的改变量为. 故选：B. 【变式2】下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【解析】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 【变式3】（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（  ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【答案】BCD 【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【解析】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为， D正确． 故选：BCD． 【变式4】当球的半径从1增加到2时，求球的体积相对于半径的平均变化率； 【答案】 【分析】利用平均变化率的定义计算即得. 【解析】平均变化率为. 题型02 瞬时变化率 【典例1】函数在处的瞬时变化率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【解析】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 求瞬时变化率的三个步骤： （1） 求位移改变量． （2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式1】如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（  ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【解析】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 【变式2】如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的增长速度求得正确答案. 【解析】当时，的增长速度越来越快； 当时，的增长速度越来越慢； 所以B选项符合. 故选：B 【变式3】一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为 【答案】4 【分析】根据瞬时速度的概念求极限即可. 【解析】由条件可得：， 故答案为：4 题型03 根据导数的定义解题 【典例1】已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解析】因为，即， 即，则. 故选：A. 由导数的定义可知，若函数在处可导，则，它仅与有关，与无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式. 【变式1】如果函数在处的导数为1，那么＝（  ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】借助导数定义计算即可得. 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：A. 【变式2】已知函数，且，则m的值为（  ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解. 【解析】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 【变式3】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】先利用导数的定义得到，再利用已知条件得到，进而得到，代入求解，最后利用基本不等式即可得出结果. 【解析】由导数的定义， 得＝＝， 因为对于任意实数x，有f(x)≥0， 则， 所以， 所以c＞0， 所以． 当且仅当时取等号； 故答案为：. 题型04 利用图象理解导数的几何意义 【典例1】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【解析】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B. 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小. 【变式1】已知的图象如图所示，则与的大小关系是（  ） A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案. 【解析】由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率， 由图象可知f′(xA)＜f′(xB)． 故选：B 【变式2】如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（  ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【解析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论． 【解析】解：由图象可得函数的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点， 则可知l：， ，， ， 故选：D． 【变式3】已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义判断． 【解析】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以， 故选：D． 【变式4】已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义以及两点斜率公式即可求解. 【解析】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D. 题型05 曲线切线的斜率（倾斜角）问题 【典例1】设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由导数的定义及几何意义即可求解. 【解析】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 【变式1】曲线在点处的切线的斜率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义求得正确答案. 【解析】设， 故选：C. 【变式2】（多选）下列说法正确的是（  ） A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【答案】AC 【分析】由的意义判断各个选项即可. 【解析】，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在； 当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确. 故选：AC. 【变式3】已知曲线在点处的切线斜率为1，则曲线在点处的切线斜率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的几何意义将切线斜率转化为导数值，然后利用导数的定义及两个极限式子的结构关系可得结果. 【解析】曲线在点处的切线斜率为1，所以， 则曲线在点处的切线斜率为 ． 故选：C. 【变式4】设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为__________ 【答案】10 【分析】根据导数的概念，先得到，再由导数的几何意义，即可得出结果. 【解析】因为，所以， 即， 因此曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为：10 题型06 求曲线在点（过点）的切线方程 【典例1】已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1);(2)和. 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【解析】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 1．求曲线在点处的切线方程的步骤: (1)求函数在处的导数，即切线的斜率； (2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为． 注:运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上．若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若点不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程 【变式1】已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【解析】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 【变式2】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【解析】设， 因， 所以曲线在点处的切线方程的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 化简可得：. 故答案为： 【变式3】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【解析】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 【变式4】已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【答案】(1).(2)或. 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的定义求出切线的斜率，再求切线方程，将点的坐标代入，即可进一步求得切线方程； （2）根据导数公式求切点坐标，再求切线方程. 【解析】（1） 又不在曲线上. 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率为. 因为点在切线上， 所以， 解得.故切线的斜率. 故曲线过点的切线方程为，即. （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1）知，，得. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为的曲线的切线方程为 或， 即或. 1．下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【解析】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 2．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为（  ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】D 【分析】由题意首先确定比例系数，然后结合导函数的物理意义整理计算即可求得最终结果. 【解析】设角度θ关于时间t的函数关系式为，由已知得，即， 故. 第2 s时的瞬时速度即为． 由于， 所以， 即第2 s时的瞬时速度为8π. 故选：D. 3．若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（  ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】由题得，再利用导数定义求解. 【解析】∵图象过原点，∴， ∴， 故选：C 4．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可． 【解析】依次作出，，，在的切线，如图所示： 根据图形中切线的斜率可知． 故选：A． 5．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数的定义求解. 【解析】因为， ， 所以斜率， ． 故选：C. 6．如图，直线是曲线在处的切线，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由导数的几何意义求解. 【解析】由图可知：直线与相切于，且经过， 故，因此， 故选：A 7．（多选）若函数在处存在导数，则的值（  ） A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关 【答案】AD 【分析】由导数的定义判断即可. 【解析】由导数的定义可知，， 函数在处的导数与有关，与h无关， 故选：AD． 8．（多选）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（  ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】BD 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解． 【解析】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 9．（多选）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的几何意义判断即可. 【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数， 即在区间上，函数各点处的斜率k是递增的， 由图知选BCD．故选：BCD. 10．若，则 . 【答案】 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 . 故答案为:. 11．已知函数，则曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果. 【解析】∵，， ∴，， ∴，∴，即． ∴在处的切线方程为，即． 故答案为: 12．曲线过点的切线方程为_______________. 【答案】或 【解析】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和，所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 13．已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【解析】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 14．已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】根据导数的定义可求，联立曲线方程和切线方程后可求的横坐标为，故可证明为定值. 【解析】设，由导函数的定义，可知 ， 不妨设，则点处的切线斜率，切线方程为， 由得， 即，解得或， 所以的横坐标为，所以点处的切线斜率为， 故为定值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 导数的概念及其几何意义 教学目标 1. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养； 3.从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养；通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养. 教学重难点 1.重点 导数概念的形成与求曲线上一点处的切线方程 2.难点 导数内涵的理解 知识点01 平均变化率问题 平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和； ②作商：对所求得的差作商，即． 注：（1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【即学即练】 1．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（  ） A． B． C． D． 2．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（  ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 知识点02 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 【即学即练】 1．一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 2．若，则（  ） A． B．4 C．2 D． 知识点03 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 3.曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【即学即练】 1．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（  ） A． B． C． D． 2．已知函数在点处的切线与直线平行，则 . 题型01 函数的平均变化率 【典例1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 求平均变化率的步骤： （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量．（3）得平均变化率． 【变式1】已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（  ） A． B． C．1 D． 【变式2】下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（  ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【变式4】当球的半径从1增加到2时，求球的体积相对于半径的平均变化率； 题型02 瞬时变化率 【典例1】函数在处的瞬时变化率为（  ） A． B． C． D． 求瞬时变化率的三个步骤： （1） 求位移改变量． （2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式1】如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（  ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【变式2】如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【变式3】一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为 题型03 根据导数的定义解题 【典例1】已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 由导数的定义可知，若函数在处可导，则，它仅与有关，与无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式. 【变式1】如果函数在处的导数为1，那么＝（  ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】已知函数，且，则m的值为（  ） A． B．2 C． D． 【变式3】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为 ． 题型04 利用图象理解导数的几何意义 【典例1】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（  ）    A． B． C． D． 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小. 【变式1】已知的图象如图所示，则与的大小关系是（  ） A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 【变式2】如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（  ） A． B．3 C． D．1 【变式3】已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4】已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 题型05 曲线切线的斜率（倾斜角）问题 【典例1】设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（  ） A． B． C．1 D．2 【变式1】曲线在点处的切线的斜率为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列说法正确的是（  ） A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【变式3】已知曲线在点处的切线斜率为1，则曲线在点处的切线斜率为（  ） A． B． C． D． 【变式4】设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为__________ 题型06 求曲线在点（过点）的切线方程 【典例1】已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 1．求曲线在点处的切线方程的步骤: (1)求函数在处的导数，即切线的斜率； (2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为． 注:运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上．若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若点不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程 【变式1】已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2】曲线在点处的切线方程为 ． 【变式3】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【变式4】已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 1．下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（  ） A． B． C． D． 2．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为（  ） A．π B．2π C．4π D．8π 3．若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（  ） A． B．2 C． D．1 4．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 5．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，直线是曲线在处的切线，则（  ） A． B． C． D． 7．（多选）若函数在处存在导数，则的值（  ） A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关 8．（多选）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（  ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 9．（多选）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（  ） A． B． C． D． 10．若，则 . 11．已知函数，则曲线在处的切线方程为 ． 12．曲线过点的切线方程为_______________. 13．已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 14．已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $