3.2.2 第2课时 双曲线方程与性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

第2课时　双曲线方程与性质的应用 [教材梳理] 导学　直线与双曲线的位置关系 　直线与椭圆有几种位置关系？ [提示]　三种：相交、相离、相切． 　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗？ [提示]　不能． ◎结论形成 1．直线与双曲线位置关系的判定方法 将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0. Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±时 相交 只有__一个__交点 k≠±且Δ＞0 有__两个__交点 k≠±且Δ＝0 相切 只有__一个__交点 k≠±且Δ＜0 相离 __没有__公共点 2．判断直线与双曲线位置关系的注意事项 (1)联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． (2)直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线相切．(　　) (2)过点(0，2)和双曲线－＝1只有一个公共点的直线有2条．(　　) (3)若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有两个交点．(　　) (4)直线与双曲线最多有两个交点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　因为双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2. 答案　CD 3．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为(　　) A． B．2 C． D．4 解析　由题意，得＝，所以a＝4. 答案　D 4．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　) A．2 B．2 C． D．1 解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝x， ∴点F到x－y＝0的距离为＝2. 答案　A 题型一　直线与双曲线的位置关系一题多变 　已知双曲线x2－y2＝4，讨论直线l：y＝k(x－1)与这条双曲线的交点的个数． [自主解答]　由方程组消去y， 可得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0 (*)， (1)当1－k2＝0，即k＝±1时， 方程(*)为2x＝5. 此时直线与双曲线仅有一个交点． (2)当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2＋4(1－k2)(k2＋4)＝4(4－3k2). ①若 即－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个交点． ②若 即k＝±时， 直线与双曲线只有一个交点． ③若 即k＞或k＜－时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个交点；当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线只有一个交点；当k＞或k＜－时，直线与双曲线没有交点． [母题变式] 1．(变条件)例1中若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k的取值范围． 解析　联立方程组消去y所得的方程为(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，设方程的两根为x1，x2， 则解得－1＜k＜1. 所以k的取值范围是(－1，1). 2．(变条件)例1中若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围. 解析　联立方程组消去y所得的方程为 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，设方程的两根为x1，x2， 则 解得－＜k＜－1或1＜k＜.所以k的取值范围是∪. [素养聚焦] 本题通过考查直线与双曲线位置关系的判断和应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． [规律方法] 1．研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解． 2．直线与双曲线有三种位置关系： (1)无公共点：此时直线有可能为双曲线的渐近线． (2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． (3)有两个公共点：可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点． 题型二　与双曲线相关的弦长和中点弦问题 　经过点M(2，2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点． (1)求直线l的方程． (2)求线段AB的长． [自主解答]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1， 两式相减得x－x－＝0， (x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－