期末专项突破提升-因式分解的灵活运用 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级上册

期末专项突破提升-因式分解的灵活运用 2025-2026学年鲁教版(2012)数学八年级上册 建议用时：90分钟 满分：90分 类型一利用因式分解进行简便运算 1.(12分)简便计算： （1)38.52-36.52: (2)20232+2023-2024: (3)40×3152-80×31.5×18.5+40×1852。 类型二利用因式分解求代数式的值 2.(4分)已知整数a,b满足2ab+4a=b+3,则a+b的值是() [A]0或-3 [B]1 [C]2或3 [D]-2 3.(8分)已知x2-y2=15,x+y=3。求下列各式的值： (1)x-y: (2)2x2-2xy+10y。 4.(10分)观察下列各式： -b2=(a-b)(a+b); a-b=(a-b)(+ab+b2): at-b=(a-b)(as+ab+ab2+b3); (1)按此规律.则雨-b=--； (2)若a-专=3，你能根据上述规律求出代数式-的值吗？ 类型三利用因式分解判定三角形的形状 5.(10分)阅读材料： 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解， 如：2-4y2+2x-4y。细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取 公因式，分解过程为： x2-4y2+2x-4y =(x^{2}-4y^{2})+(2x-4y)分组 =(x-2y）(x+2y）+2(x-2y）…组内因式分解 =(x-2y）)(X+2y+2)。。 .整体思想提公因式 这种因式分解的方法叫作分组分解法。 利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：x2y-4y-2x2+8: (2)已知a,b,c为.△ABC的三边，且b+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状，并 说明理由。 类型四利用因式分解解不等式 6.(10分)阅读材料： ∫a>0,a<0, 我们知道，两数之积大于0，那么这两数同号，即ab>0,则{b>0或{b<0:两数之积小 a>0,「a<0, 于o,那么这两数异号，即ab<0,则{b<0或{b>0 解决问题： (1)因式分解：(x+1)2-4=: (2)解不等式：(x+1)2-4<0。 类型五利用因式分解比较大小 7.(12分)观察下列等式，并回答有关问题。 1×2×3×4+1=52=(1×4+1)2, 2×3×4×5+1=112=(2×5+1)2, 3×4×5×6+1=192=(3×6+1)2 (1)填空：5×6×7×8+1=( )2; (2)若n为正整数，猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1因式分解的结果，并说明理由； (3)利用(2)的结果比较(99×100×101×102+1与101002的大小。 类型六利用因式分解求最值 8.(12分)配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式 因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等。 例如，因式分解：x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+ 3)(x-1); 求代数式2x2+4x-6的最小值：由2x2+4x-6=2x2+2x-3=2(x+1)2-8,可 知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是8。 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：2-4m-5=-o (2)当a,b为何值时，多项式+b-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值。 (3)当a,b为何值时，多项式-2ab+2b-2a-4b+30有最小值？并求出这个最小值。 类型七利用因式分解说理证明 9.(12分)请先阅读材料，再解答下列问题。 材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A, 则原式=A2+2A+1=(A+1)2, 再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2。 上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法。 (1)因式分解：(x-y)2-6(x-y)+9=-: (2)因式分解：(a+b)(a+b-4)+4; (3)求证：若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数 的平方。 专项突破提升 1.解：((1)38.52-36.52 =(38.5+36.5)(38.5-36.5) =75×2 =150。 (2)20232+2023-20242 =(20232-20242)+2023 =(2023-2024)×(2023+2024)+2023 =-(2023+2024)+2023 =-2024。 (3)40×3152-80×31.5×18.5+40×18.5 =40×（3152-2×31.5×18.5+18.52) =40×(31.5-18.5)2 =40×169 =6760。 2.A 3.解：（1)：x2-y2=15, ∴.(x-y）(x+y)=15。 .x+y=3, ∴.x-y=5。 (2).'x+y=3,x-y=5, .2x2-2xy+10y =2x(x-y)+10y =10x+10y =10(x+y) =30。 4.解：(1)(a-b)（at+a3b+a2b2+ab3+b) (2)-ě=(a-吉)(a+1+急) =(a-音)(a2-2+意+3) =(a-)(a-)+3 =3×(9+3) =36。 5.解：(1)x2y-4y-2x2+8 =y(x2-4)-2(x2-4) =y(x-2)(x+2)-2(x-2)(x+2) =(y-2)(x-2)(x+2)。 (2)△ABC是等腰三角形。理由如下： b2+2ab=c2+2ac, .b-c2+2ab-2ac=0。 ∴.(b-c)(b+c)+2a(b-c)=0。 ∴.(2a+b+c)(b-c)=0。 .2a+btc≠0， ∴.b-c=0,即b=c。 .△ABC是等腰三角形。 6.解：(1)(x+1)2-4 =(x+1)2-22 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1)。 故答案为(x+3)(x-1)。 (2)(x+1)2-4<0, (x+3)(x-1)<0。 x+3<0, x+3>0, 则有 1父0或 x-1<0 x+3<0 当X-10时，解得区<3， ∴.不等式组无解。 x>1。 x+3>0, 当 x-1<0时，解得 1x>一3， x<1。 ∴.不等式组的解集是-3<x<1。 故不等式的解集为-3<x<1。 7.解：((1)5×8+1 (2)n(m+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)+1=(n2+3n+1)2。理由如下： n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(+3n)(n2+3n+2)+1 =(+3n)2+2(n2+3m)+1 =(2+3n+1)2。 (3)99×100×101×102+1 =(992+3×99+1)2 =(9801+297+1)2=100992<10100。 8.解：(1)2-4m-5 =m2-4m+4-9 =(m-2)2-9 =(m-2+3)(m-2-3) =(m+1)(m-5)。 故答案为((m+1)(m-5)。 (2):a￥+b2-4a+6b+18=(a-2)2+(b+3)+5 ∴.当a=2,b=-3时，多项式2+b-4a+6b+18有最小值，最小值为5。 (3):-2ab+2b2-2a-4b+30 =a2-2ab+-2(a-b)+1+b-6b+9+X =(a-b-1)2+(b-3)2+20, .当a=4,b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+30有最小值，最小值为20。 9.(1)解：将“x-y”看成整体，令xy=B,则原式=B2-6B+9=(B-3)2 再将“B”还原，得原式：=(x-y-3)2。 故答案为(x-y-3)2。 (2)解：令a+b=A,则原式：=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2, 再将“A”还原，得原式：=(a+b-2)2。 (3)证明：：(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(2+3+2(2+3n)+1, .可令n2+3n=A。 ∴.原式：=A(A+2)+1=A2+2A+1=(A+1)2。 再将“A”还原，得原式：=(2+3n+1)。 ,n为正整数，·n2+3n十1也为正整数。 ∴.式子(n+1)(n+2)(2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方。