第1章 因式分解综合提升-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版)五四学制

本章综合提升（答案P4) 本章知识归纳 概念 把一个多项式化成几个 的形式，这种变形叫做因式分解 与整式乘 多项式 国式分魁几个整式积的形式 法的关系 整式来法 依据 am+bm+cm三 提公因式法 找公因式 因式 方法 步骤 提公因式 确定另一个因式 a2-2= 公式法 a2±2ab+b2= 一提：有公因式的先提公因式 步骤 二套：套用公式 三检查：检查因式分解的结果是否分解彻底 简便计算 应用 求代数式的值 思想方法小纳》3 1.数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用 几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的 D 解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质， 【变式训练1】模型观念如图所示，六块纸 解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结 板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的 合起来，使问题得以解决的一种数学思想， 正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为 了链接本章 a,宽为b的矩形(a>b).观察图形，发现多项式 借助拼图解释平方差公式及完全平方公 a2+3ab+2b2可因式分解为 式，解释整式变形并直观地进行因式分解。 【例1】推理能力，我们在学习代数公式 时，可以用几何图形来推理论证.受此启发，在学 2.整体思想 习因式分解之后，小明同学将图①一张边长为a 所谓整体思想，就是在解题时，从整体考虑 的正方形纸片剪去2个长为a、宽为b的长方形 问题，根据题目结构特征，把一组数或某个代数 以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图② 式看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整 所示的长方形.观察图①和图②的阴影部分，请 体结构、整体与局部的内在联系，获取解题途径。 从因式分解的角度，用一个含有a,b的等式表示 利用这种思想方法，常可以化繁为简，化难为易。 从图①到图②的变化过程： 18 优十学·课时渔 百链接本章… (2)若x2-4x+y2+6y+13=0,求(x+ (1)在因式分解中将某些式子看成一个 y)224的值。 鉴体进行因式分解；(2)利用因式分解进行 (3)若a2-2a-8=0,求a的值. 计算或化筒求值时，经常要将某些式子整体 代入求值. 【例2】(2023·四川雅安期末改编)已知 a+b=2,则多项式a2一b2+4b+2025的值 为 【变式训练2】已知xy=2,x一3y=3,则 2x3y-12x2y2+18xy3= 3.转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的 数学思想.在研究数学问题时，我们通常是将未 知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化 为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问 通模拟》99999329>2229392 题，将实际问题转化为数学问题. 1.(2024·泰安肥城期中)下列代数式变形中，属 :链接本章 于因式分解的是() 利用因式分解进行变形转化，求解代数 A.m(m-2)=m2-2m 式的值，判断几何图形的形状等 B.2m+4=2(m+2) 【例3】已知a2(b+c)=b2(a+c)-2023, c-x+安(e-} 且a,b,c互不相等，则c2(a+b)一2024= m-2+-(m+ 【变式训练3】阅读下列材料： 2.(2024·淄博张店区期中)下列等式由左边至 配方法是初中数学中经常用到的一个重要 右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确 方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮 的是( ) 助.所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个 A.a2-4b2=(a+4b)(a-4b) 完全平方式，变形一定是恒等的.例如：解方程 B.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x x2-4x十4=0，则(x-2)2=0,∴x1=x2=2.已 C.4xy2-4x2y-y3=y(4xy-4x2-y2) 知x2-2x+y2+4y+5=0,求x,y的值，则有 D.x2-5x十6=(x-2)(x-3) (x2-2x+1)+(y2+4y+4)=0,.(x-1)2+ 3.(2024·烟台芝罘区期中)下列因式分解正确 (y+2)2=0,解得x=1,y=一2.解方程x2 的是() 2x-3=0,则有x2-2x十1-1-3=0，.(x A.ax+y=a(x+y) 1)2=4,解得x1=3,x2=-1. B.x2+x-2=x(x+1)-2 根据以上材料解答下列各题： C.2x2-x=x(2x-1) (1)若a2+4a+4=0,求a的值. D.x2-16=(x-4)2 一详级上细数学数型 19 4.(2024·济宁任城区期中)下列多顶式中，能用 9.(2024·烟台芝采区期中)因式分解： 完全平方公式分解的有() (1)2x2y-8xy+8y; ①x2-4.x+4:②9x2-3x+1;③4x2+4x-1; ④25x2-20xy+16y,⑤72+1-x (2)(m2-5)2+2(m2-5)+1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2023·淄博临淄区期中)若4x2一(k一1)x+ 9能用完全平方公式因式分解，则k的值 是() 10.(2024·济宁任城区月考)观察下列式子的因 A.13 B.13或-11 式分解做法： C.-11 D.无法确定 ①x2-1=(x-1)(x+1)； 6.(2024·济宁任城区月考)一个长方形的长与 ②x3-1=(x-1)(x2+x+1); 宽分别为a,b,若周长为10，面积为5，则 ③x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1) ab3+2a2b2+a3b的值为 (1)模仿以上做法，尝试对x一1进行因式分 7.几何直观我们在学习许多代数公式时，可以 解：x5一1= 用几何图形来推理验证，如图所示，观察图①， (2)观察以上结果，猜想x"一1= a2-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1). (n为正整数，直接写结果，不用验证) 接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解： (3)试求2+2+2+23+2+2+1的值. a3-1= 8.(2024·泰安肥城期中)请将下列式子进行因 式分解： (1)n3(m-2)+n(2-m): 通中考》399929393999>99992% 11.(2023·济宁中考)下列各式从左到右的变 形，因式分解正确的是() A.(a+3)2=a2十6a+9 (2)(a2+4)2-16a2. B.a2-4a+4=a(a-4)+4 C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y) D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) 12.(2023·淄博中考)因式分解：2a2-8b2= 20 优十学课时渔一7.A8.A 【变式训练3】解：(1)直接配方，得(a十2)2=0，解得 9.解：不能构成三角形，理由：a2+6+2c2=ac a1=a2=-2. (2),x2-4x+y2+6y+13=0, bc,a2+b+2c2-ac-c=0.(a2-ac+2） .(x-2)2+(y+3)2=0, 解得x=2,y=-3. 6-c+）=0,a-2)+6-2)-0 ∴.(x十y)-2024=(2-3)-2024=(-1)-2024=1. (3),a2-2a-8=0, a=0咀6-c=0,即a=c且6=c, ∴.(a-1)2=9, 两边开平方，得a一1=土3， ∴a十b=c,∴.无法构成三角形 ∴.a1=4,a2=-2. 10.证明：原式=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2 【通模拟】 -2x2≤0，(x-3)2≥0， 1.B2.D3.C4.B5.B6.125 一2x2(x一3)2≤0，.不论x取何实数，原式的 7.a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)(a-1)(a+a+1) 值都不会是正数. 8.解：(1)原式=n3(m-2)-n(m-2) 11.解：(1)(b-a)(5a+b)5(a+b)(a-b) =t(m-2)(n2-1) (2)(x-y+1)2(a+b-2)2 =n(m-2)(n+1)(n-1). (3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 (2)原式=(a2+4十4a)(a2+4-4a) =(n2+3m+2)(n2+3n)+1 =(a+2)2(a-2)2. =(n2+3n)2+2(n2+3m)+1=(n2+3n+1)2. 9.解：(1)原式=2y(x2-4x十4)=2y(x-2)2 所以若n为正整数，则式子(n+1)(n十2)(n2+ (2)原式=(m2-5+1) 3n)十1的值一定是某一个正整数n2十3n十1的 =(m2-4)2-[(m+2)(m-2)] 平方. =(m+2)2(m-2)2. 本章综合提升 10.解：(1)(x-1)(x+x3十x2+x+1) 【本章知识归纳】 (2)(x-1)(x"-1+x-8+…+x+1) (3)根据上述规律，可得2-1=(2-1)(2+25+ 整式的积m(a十b十c)(a十b)(a-b)(a士b) 2+23+22+2+1), 【思想方法归纳】 .28+25+2+23+22+2+1=2-1. 【例1】思路分析：利用代数式分别表示出图①，图②阴 【通中考】 影部分面积即可解答问题 11.C a2-2ab-3b2=(a+b)(a一3b)解析：由题可知，题 12.2(a+2b)(a-2b) 图①阴影部分面积为a2一2ab一3b2,题图②是长为 a十b,宽为a一3b的长方形，因此面积为(a十b)(a 第二章分式与分式方程 3b). 1认识分式 两个图形阴影部分面积相等， 第1课时认识分式 ∴.a2-2ab-3b2=(a+b)(a-3b). 2S 【变式训练1】(a十b)(a+2b) 1.B2.C3. 4.A5.B6.-3 m十n 【例2】思路分析：首先利用公式法将a2一b2因式分解， 再将a十b看成一个整体，充分化简运算. 1解：①)要使号有意义，需2五-3≠0 2029 解得x≠1.5. 【变式训练2】36 【例3】思路分析：通过已知条件，找到a,b,c的关系： 当工1.5时，号有意义 ab十ac=一bc,ac十bc=-ab,abc=-2023,即可获 6(x-3) 得答案. (2)要使x-2有意义，需x-12≠0. -1解析：a2(b十c)=b2(a十c), 解得x≠士12. .a2b十a2c-ab2-b2c=0, 6(x-3) ..ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 当x≠士12时，x-2有意义， (a-b)(ab+ac+bc)=0. a≠b, (3)要使x十6 +1有意义，需x2+1≠0. a-b≠0， .'.ab+ac+bc=0,ab+ac=-bc,ac+bc=-ab. 当：为任意实数时，有意义。 a2(b+c)=a(ab+ac)=2023, 有意义，需x2一4x十4≠0. ,.a(-bc)=2023, (4)要使-4红十4 .-abc=2023, 即(x一2)2≠0，∴x≠2. ,.abc=-2023, .c2(a+b)-2024=c(ac+bc)-2024=c(-ab) 当x≠2时·2-红十有意义. 2024=-abc-2024=-1. 8.A