精品解析：辽宁省沈阳市培英中学2025-2026学年九年级上学期阶段性学业水平调研数学试卷

培英中学10月数学阶段测试 本试卷共23道题，满分120分，时间90分钟 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项 符合题目要求． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义逐项分析即可，若a，b，c，d是成比例线段，则a:b=c:d． 【详解】解：A. ∵1:2≠3:4，故A选项不能构成比例线段，不符合题意； B. ∵2:4=1:2≠6:8=3:4，故B选项不能构成比例线段，不符合题意； C. ∵，故C选项不能构成比例线段，不符合题意； D. ∵2:3=4:6，故D选项能构成比例线段，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查成比例线段，根据有关性质把四条线段分别计算比值并进行比较可以得到解答． 3. 如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 4. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 5. 口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球，则下列说法不正确的是（ ） A. 从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大 B. 从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 C. 从中随机摸出5个球，可能都是红球 D. 从中随机摸出7个球，可能都是白球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【详解】解：A、红球的数量多，从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大，正确，故A不符合题意； B、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，正确，故B不符合题意； C、因为有9个红球，所以从中随机摸出5个球，可能都是红球，正确，故C不符合题意； D、因为有6个红球，所以从中随机摸出7个球，不可能都是白球，所以原说法不正确，故D符合题意； 故选：D． 6. 已知，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质可得，然后逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A. ，则即，成立，故该选项不符合题意； B. ，成立，故该选项不符合题意； C. ，则，即，不成立，符合题意； D. ，即，成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 7. 在一个不透明的纸箱中，内有蓝色、红色的玻璃球共16个，这些玻璃球除颜色外都相同．小何每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色玻璃球的频率稳定在，则纸箱中红色玻璃球很可能有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 16个 【答案】C 【解析】 【分析】设蓝色玻璃球有x个，根据题意，得，求出蓝球数量，进一步即可得到答案． 【详解】设蓝色玻璃球有x个，根据题意，得， 解得． 故红球的数量为 故选C． 【点睛】本题考查了频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键． 8. 李师傅从市场上买了一块长、宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为的无盖工具箱，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 根据题意可知：裁剪后的底面的长为，宽为，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】根据题意得，裁剪后的底面的长为，宽为， ∴． 故选：D． 9. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 8或9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系是解题的关键． 设是关于的方程的两个根，则，，由等腰三角形的一边长是4，分当时，，当时，两种情况，判断求解即可． 【详解】解：设是关于的方程的两个根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长是4， ∴当时，，此时三边长为4，4，2，能构成三角形，； 当时，此时三边长为4，3，3，能构成三角形，； 综上所述，的值为8或9， 故选：D． 10. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，由题意可知：，再根据点坐标进而可以解决问题； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 由题意可知： ∵点的横坐标为 ∴点的横坐标为 ∵点在轴上 ∴点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标特征；熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 二 、填 空 题（本 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 1 5 分 ） 11. 已知，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由可得，，，再根据可得，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， ∴满足的最小整数2 故答案为：2． 13. 某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了45场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键． 有x个班级篮球队参加比赛，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而可建立方程解答． 【详解】解：设有x个班级篮球队参加比赛，由题意得 ， 故答案为：． 14. 如图，四边形为正方形，点分别为的中点，其中，则四边形的面积为________________________． 【答案】4. 【解析】 【分析】先判定四边形EFGH为矩形，再根据中位线的定理分别求出EF、EH的长度，即可求出四边形EFGH的面积. 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴△AEH、△BEF、△CFG、△DGH都为等腰直角三角形， ∴∠HEF、∠EFG、∠FGH、∠GHE都为直角， ∴四边形EFGH是矩形， 边接AC，则AC=BD=4， 又∵EH是△ABD的中位线， ∴EH=BD=2， 同理EF=AC=2， ∴四边形EFGH的面积为2×2=4. 故答案为4. 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理. 15. 如图，中，，D，E分别是，上的点，于点H．，，，则长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点A作且，连接，过点E作，将求的长转化为求的长，然后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作且，连接，过点E作， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴，解得：, ∴， 在中，． ∴． 故答案为：7． 三 、解 答 题（本 题 共 8 道 小 题 ， 共 7 5 分 ） 16. 按要求解方程 （1）（配 方 法 ） （2）（公 式 法 ） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解； （2）先写出，再求出的值，然后利用公式． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，． 17. 把3，5，6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀 后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，不放回，再从中抽取一张卡片，记录下数字，请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． 根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的数字都是奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： 3 5 6 3 5 6 总共出现的等可能的结果有6种，其中两次抽取的卡片上的数字都是奇数的结果有2种，所以两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率为． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识．先证明四边形是平行四边形．再证明，即可得到结论． 【详解】略 19. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定为元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，根据2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩，列出方程进行求解即可； （2）设销售单价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 设销售单价应定为元，由题意，的： ， 解得：， ∵使消费者尽可能获得实惠， ∴； 答：销售单价应定为元． 20. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28 米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留 2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； （2）能否围成480平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） （3）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】（1）12米 （2） 解：不能，理由如下： 依题意列方程得：， 化简得， 解这个方程得：，， ∵，， ∴，（不合题意，均舍去）， 答：不能围成480平方米的矩形花园． （3） 解：不能，理由如下： 依题意列方程得：， 化简得， ∴， ∴方程无解， 答：不能围成500平方米的矩形花园． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）设矩形花园的长为x米，则其宽为米，依题意列方程得：，求解即可； （2）根据题意可列方程，然后解方程，并与28比较看得出结论； （3）根据题意可列方程，方程有解，则存在，否则不能． 【小问1详解】 解：设矩形花园的长为x米，则其宽为米， 依题意列方程得：， 化简得， 解这个方程得：，， ∵， ∴（不合题意，舍去）， 答：当矩形的长为12米时，矩形花园的面积为300平方米． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 【示范操作】方法1：我们学习了利用配方法解一元二次方程，对于，可以变形为，配方的过程可以转化为图形的“割”“拼”“补”，如图1所示，得． 方法2：古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了更加简捷的配方方法，只用了“拼”完成了配方，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图2所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）仿照方法2的配方方法解方程，先变形为________，如图3，每个小长方形的长为 ________ ，宽为 ______． 【深入探究】（2）仿照方法2的配方方法解方程，画图分析，并写出解题过程 【答案】（1）；；； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照方法2，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照法2，根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图3，每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，； （2）略 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接． （2）迁移探究： ①如图1，当点M在上时，______°，______°． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由． ③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． （3）拓展应用： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为______． 【答案】（2）①，； ②．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，由折叠的性质得：，， ， ， ； ③或；（3）4或 【解析】 【分析】（2）①由折叠的性质可得，，，再由锐角三角函数可得，再证明，即可求解；②根据，即可求解；③分两种情况讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，即可求解； （3）分两种情况分别画出图形，即可求解． 【详解】解：①由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：30；15 ②略 ③由折叠的性质得， ∵， ∴， 当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或； （3）解：如图，连接交于点J， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵由折叠得到的， ∴， ∴； 如图，连接交于点O，过点M作， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上所述，的值为4或． 故答案为：4或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培英中学10月数学阶段测试 本试卷共23道题，满分120分，时间90分钟 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项 符合题目要求． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 5. 口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球，则下列说法不正确的是（ ） A. 从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大 B. 从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 C. 从中随机摸出5个球，可能都是红球 D. 从中随机摸出7个球，可能都是白球 6. 已知，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的纸箱中，内有蓝色、红色的玻璃球共16个，这些玻璃球除颜色外都相同．小何每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色玻璃球的频率稳定在，则纸箱中红色玻璃球很可能有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 16个 8. 李师傅从市场上买了一块长、宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为的无盖工具箱，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 8或9 10. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二 、填 空 题（本 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 1 5 分 ） 11. 已知，且，若，则______． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为____． 13. 某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了45场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为______． 14. 如图，四边形为正方形，点分别为的中点，其中，则四边形的面积为________________________． 15. 如图，中，，D，E分别是，上的点，于点H．，，，则长为______． 三 、解 答 题（本 题 共 8 道 小 题 ， 共 7 5 分 ） 16. 按要求解方程 （1）（配 方 法 ） （2）（公 式 法 ） 17. 把3，5，6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀 后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，不放回，再从中抽取一张卡片，记录下数字，请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 19. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？ 20. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28 米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留 2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； （2）能否围成480平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） （3）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 21. 【示范操作】方法1：我们学习了利用配方法解一元二次方程，对于，可以变形为，配方的过程可以转化为图形的“割”“拼”“补”，如图1所示，得． 方法2：古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了更加简捷的配方方法，只用了“拼”完成了配方，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图2所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）仿照方法2的配方方法解方程，先变形为________，如图3，每个小长方形的长为 ________ ，宽为 ______． 【深入探究】（2）仿照方法2的配方方法解方程，画图分析，并写出解题过程 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接． （2）迁移探究： ①如图1，当点M在上时，______°，______°． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由． ③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． （3）拓展应用： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $