江苏省常州市第一中学2025-2026学年高二上学期阶段调研数学试卷

参考答案： 1.B 2.C 3.C 4.A 5.c 6.D 7.B 8.D 9.BC 10.ABC 11.ACD 12.m21 13.9s2 14.1:3:2 15. (1)因为a=1,所以cosC+ccosA 2 bcos B=acos C+ccosA-2 bcos B=0.由正弦 定理，可得sinAcosC+sin CcosA-2 sin Bcos B =sin(A+C)-2 sin Bcos B=0.又因为A+B+ C=π，所以sin(A+C)=sinB≠0，所以cosB= 之所以B=子 (2)因为AC=2CD,设CD=x,则AC=2x,在 △ABC中，osB=+=合，所以2+ 2c 1-4x2=c.在△ABC与△BCD中，cos∠BCA =1+4os∠cD=22,所以6r- c2-3=0.所以c2-3c-3=0,所以c 3±团.因为>0所以c=3计四 2 2 16. 解：(1)当x>0时， f(x)2-12+1-2-1-2 2+12×+128+1 任取x<0,则-x>0, f(-x)=1?,1 2+11-28 2×+12×+12×+1 又因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以(x)-(x)21 2×+1 又因为f(0)=0也符合上式， 所以f(x)2*-1: 28+1 (2)由f(m)+f(m2-2)<0,得f(m)<- f(m2-2) 所以f(m)<f(2-m2),所以m<2-m2,即 m2+m<2t 所以对m∈[-1,1]，都有m2+m<2恒成立， 所以y-2m-()2告当m-1时ym2 所以2<2，解得t>1, 所以实数t的取值范围为（1，+∞)· 17. (1)事件A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),（2,3), (2,4)},共有6个样本点， 所以PA= 事件B={(1,3),(2,3),(4,3)},共有3个样本点， 所以P(B)= 事件C={(1,4),(2,4),(4,1),(4,2)1,共有4个 样木点，所以P(C)=号 (2)事件A,B,C中至少有一个发生的情况有(1， 2),(1,3),(1,4),(2,1),（2,3),（2,4),(4,1), (4,2),(4,3),共有9种， 所以P(AUBUC)=4 3 18. (1)证明：.·AQDF,DFC平面DEF,AQ￠ 平面DEF, ,.AQI川平面DEF ·AG平面DEF,AQI平面DEF, AGnAQ=A,AGc平面AGQ,AQC平面 AGQ, 平面AQG引平面DEF,得证； (2)证明：由（1)知：平面AQG引平面DEF, 又平面BCPn平面DEF=EF,平面BCPn平 面AQG=QG, .QGEF,得证； (3)由题意可得D是PA的中点， 电于AQDP,可格码册1. 可得F是PQ的中点，PF=FQ, :邵-咒=A,且三陵鞋P-ABC名陵长 均为1，可得BE=PF=入， .PE=1-X,FQ=λ，PQ=2λ， CQ=1-2λ， .点Q在PC上 ·1-2X≥0，解得入≤2 .1 ·.·GC=2BG :cd-ci-pi-p响， E-P-P2-P元--PB, GQ CQ-CC =1-2c2-子Pi-P -c-2c-号pi-号rd --3d-号成， 由(2)知：QGIEF, .GQEF k∈R,使得EP=kGQ, 即 P元-1-)Pi=2-}P元-号P A=2-司 由平面向量基本定理可得 0<入≤1 λ≤ 1 3 解得 入= 4 3或 1 k=1 2 综上所述，的值为 或 19. 【详解】(1) B 图(1) 如图(1)，连接BC,. 由三棱柱ABC-AB,G可知侧面AACC为平行四边形，所以N为AC中点： 又因为M为AB中点，所以MN∥BC, 又MNa平面BB,CC,BCC平面BB,CC,所以MN∥平面BB,CC; (2) B C 图(2) 如图(2)，连接MC,AB 由菱形ABB,A可知4A=AB=2,因为∠AAB=60°，可得△A4B为等边三角形： 因M是AB中点，则4MLAB,且4M=5:由∠ACB=90可得，MC=)AB=1: 因为AC=2,则有4M2+MC2=AC2,即AM⊥MC, 又MCOAB=M,MCC平面ABC,ABi平面ABC,故AM⊥平面ABC: (3) 图(3) 由(2)可知AM⊥平面ABC,因为AMc平面AAB,所以平面AAB⊥平面ABC: 如图(3)，过点C作CH⊥AB,垂足为H,过H作HK⊥A4,垂足为K,连接CK 因为CHC平面ABC,平面AAB∩平面ABC=AB,所以CH⊥平面AAB, 因为AAc平面AAB,HKc平面4AB,所以CH⊥A4,CH⊥HK: 因为IIK⊥AA,IK⌒CI=H,CIc平面CHK,HKc平面CHK,所以AA⊥平面CHK, 又CKc平面CHK,所以AA⊥CK,所以∠HKC为二面角B-A-C的平面角 在R△ABC中，∠4CB=90,B=2,BC=1,可得CH=5, 3 ,4=2 在R然中，R上M,∠mK=6,可得R=∠HK-5, 在R△CHK中，CH⊥HK,可得am∠孤C=C_?, HK 3 因为∠孤C0引所以n∠孤c=2酒. 13 即二面角B-A4-C的正弦值为23 13 常州市第一中学2025-2026学年第一学期阶段调研 高二数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：冯超逸 审卷人：王赛 一 、单选题(每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确) 1.已知集合A={x|x<4}, 集 合B={x∈N|x²<5}, 则 A∩B=( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{-2,-1,1,2} D.{-2,-1,0,1,2} 2.已知a,b∈R, 则“b≠0”是“”的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3.从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知, 则sin(3π+α)=( ) A. B. D. 5.如图，在△ABC 中，AB=4DB, P为CD 的中点，则BP=( ) A. B. C. D. 6.已知一个正四棱台的上、下底面边长为1、3,侧棱长为,则棱台的体积为( ) A.4√ 11 B. C.12 D.13 7.已知△ABC 的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A=135°, 则 的值为( ） B C. D. 8.已知函数f(x)=-|x-a|+a, g(x)=x²-4x+3,若方程f(x)=|g(x)|恰有2个不同的实数根， 则实数a 的取值范围大( ) A. B. C. D. 二 、多选题(每小题6分，共18分，全部选对得满分，部分选对得部分分) 9.已知复数,下列命题中正确的是( ) A. 若z₁ ²∈R, 则z₁ ∈R B. 若 则z₁ ·z₂∈R C 若|z₁ z₂|=2z₂, 则z₁z (——)₁=4 D. 若z₁ z₂=|z₁| ²,则z₁=z₂ 10.已知△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,以下判断正确的是( ） A. 若sin A>sin B, 则A>B B. 若sin²A+sin²B-sin²C<0 , 则△ABC是钝角三角形 C. 若a=,b=,A=30°, 则符合条件的△ABC有两个 D. 若acosA=bcosB, 则△ABC为等腰直角三角形 11.如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F是棱AA₁ 上的一个动点(不包括端点),平 面BFD₁交棱CC₁于点E, 则下列命题中正确的是（ ） A. 不存在点F,使得∠D₁FB 为直角 B. 对于任意点F, 都有直线A₁C₁//平面BED₁F C. 对于任意点F,都有平面A₁C₁D⊥平面BED₁F D. 三棱锥F-BB₁D₁的体积为定值 二、填空题(共3小题，每小题5分) 12.若函数的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是 13.已知一组数据的平均数为x (——),标准差为s,则数据3x₁-1,3x₂-1,3x₃-1的方差为 14.设O,H 分别为△ABC 的外心和垂心，OH=OA+OB+OC,AH=1,BH= ,CB= , 则S△OBA:S△OBC:S△OAC= . 三 、解答题(共5小题，总分77分) 15. 在△ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,cosC+ccosA-2bcosB=0. (1)求角B 的值； (2)若AC=2CD,且 BD= , 求c. 16.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数且当x>0时 ， (1)求函数f(x) 在 R 上的解析式； (2)判断函数f(x)在R 上的单调性，并用单调性的结论求解：若对任意实数m∈[-1,1], 恒成立，求实数t 的取值范围 17.一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球(标号为1和2),一个黑球 (标号为3),一个白球(标号为4),从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第 三次摸到红球”,事件B=“第二次摸到黑球”,C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”. (1)分别求事件A 、B 、C 发生的概率； (2)求事件A、B、C中至多有一个发生的概率. 18.如图，三棱锥P-ABC 各棱长均为1,侧棱上的D,E,F 满足PD=DA, 线段BC上的点G满足AG//平面DEF,点Q在PC上，AQ//DF. (1)求证：平面AQG // 平面DEF; (2)求证：QG // EF; (3)若GC = 2BG, 求λ的值. 19.如图，在斜三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，侧面 ABB₁A₁ 为菱形，∠A₁AB=60°, AB=A₁C= 2BC=2, ∠ACB=90°, M 为 AB 中点，AC₁ 与 A₁C 的交点为 N. (1)求证：MN // 平面 BCC₁B₁ ; (2)求证：A₁M ⊥平面 ABC ; (3)求二面角 B-AA₁-C 的正弦值 . 学科网（北京）股份有限公司 $