精品解析：福建省漳州市第三中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

漳州三中2024-2025学年下学期期末考试高二年数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝（ ） A. B. － C. ＋2k，k∈Z D. －＋2k，k∈Z 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（    ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 5. 若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A. B. C. 或 D. 6. 在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（    ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，，，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（    ） A. 该圆锥的体积为 B. 过圆锥任意两条母线的截面中面积最大值为 C. D. 该圆锥的侧面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 11. 下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 13. 已知函数，．若是偶函数，则的值为_______． 14. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论： ①直线与所成角的大小为； ②； ③的最小值为； ④若， 则点的轨迹所围成图形的面积是.其中所有正确结论的序号是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在上的值域. 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）在中，，，分别是角，，的对边，且，，的面积为，且，求的值． 18. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； （2）已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ （3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. 19. 如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. （1）证明：平面； （2）设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2024-2025学年下学期期末考试高二年数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到，得到答案. 【详解】，故复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 2. 已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝（ ） A. B. － C. ＋2k，k∈Z D. －＋2k，k∈Z 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求得，然后解方程即可 【详解】解：＝－sinx，则sinx＝1， ∴x＝＋2k，k∈Z． 故选：C． 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由和角的范围求得，再利用诱导公式和二倍角公式化简所求式，将其代入计算即得. 【详解】因，且，由，解得， 所以． 故选：A. 4. 下列说法中正确的是（    ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；根据样本中心点求得，进而求得预测值判断B；根据正态分布的对称性求解判断C；根据期望和方差的性质判断D． 【详解】对于A，由，得这组数据的第60百分位数为，A错误； 对于B，线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位，错误； 对于C，随机变量服从正态分布，则， 由，得， 则，C正确； 对于D，由，则，，D错误. 故选：C 5. 若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 6. 在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用面面垂直的性质证得面，面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 则由题意知，，为正方形外接圆的圆心， 又因为面面，面面，面， 所以面， 同理面， 设等边的外接圆的圆心为， 过作的平行线交过且与平行的线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，设球的半径为， 方法1：等边的外接圆半径为 ， 方法2：在等边中由正弦定理得，解得， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C. 7. 已知随机变量，，，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（    ） A. 该圆锥的体积为 B. 过圆锥任意两条母线的截面中面积最大值为 C. D. 该圆锥的侧面积为 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性；利用二面角的知识判断C；对于D选项，结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项错误； B选项，设过圆锥任意两条母线的截面为，，则该截面面积为， 所以当时，截面面积最大为，B选项正确； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项错误； D选项，圆锥的侧面展开图扇形弧长为， 所以圆锥的侧面积为，故D选项错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可． 【详解】若，则，所以A选项正确； 若，则或m与n相交或异面，所以B选项错误； 若，则根据线面垂直与线面平行的性质定理可得，所以C选项正确； 若，则或或或m与α成的任意角，所以D选项错误． 故选：AC． 10. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 11. 下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用指数和幂函数的单调性可判断A，利用与比较大小即可判断B；构造函数求导判断单调性，比较与即可判断C；构造函数，求导判断单调性，比较与的大小即可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：因为幂函数在单调递增，，所以 因为指数函数在上单调递减，所以， 所以，故选项A不正确； 对于选项B：因为，，所以， 所以，即，故选项B正确； 对于选项C：令，则 所以在上递减，所以，即，故选项C正确； 对于选项D：令，则， 所以在上递增，在上递减，而, 所以，即， 所以，即，所以，故选项D正确， 综上正确答案为BCD. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数，通过函数的单调性比较两个函数值的大小即可判断不等式是否成立，对于看结构要想到构造函数求导判断单调性，比较与，对于这个不容易想到构造函数，比较与的大小即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，求导，根据导数几何意义得到方程，求出，则，故切线方程，即. 【详解】设切线与函数的切点为， 故，所以在处的导数值为， 所以，又因为切点在函数上，即 所以切点为，所以切线方程，即 故答案为： 13. 已知函数，．若是偶函数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化简，根据函数是偶函数得，最后代入计算可得； 【详解】， 因为是偶函数，所以， 因为，所以，即是偶函数满足题意， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论： ①直线与所成角的大小为； ②； ③的最小值为； ④若， 则点的轨迹所围成图形的面积是.其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角结合和、即可判断①，根据空间中的垂直关系转化即可证明平面，即可求证线线垂直进而判断②，根据点到面的距离为最小值，利用等体积法即可求解③，根据圆的面积即可判断④. 【详解】由于，所以即为直线与所成的角或其补角， 由于底面，平面， 所以，又，所以，①正确； 由于底面平面，所以， 又，平面，所以平面， 取中点为，连接， 由于为的中点，所以， 所以平面，平面，则， 又，中点为，所以, 平面，所以平面，平面，则， 平面， 所以平面，平面，所以， 平面，所以平面，平面， 所以，故②正确； 当平面时，最小，设此时点到平面的距离为， ， 所以， 由于，故为等边三角形，， 所以，故③正确； 由③得点到平面的距离为，不妨设在平面的投影为， 所以点到平面的距离为， 由于被平分，所以到平面的距离为， 由②知平面，所以三点共线，即， 又，所以， 因此点的轨迹围成的图形是以点为圆心，以为半径的圆， 所以面积为，故④错误. 故答案为：①②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在上的值域. 【答案】（1）的单调递增区间为，； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间； （2）根据导数与函数最值的关系结合条件即得. 【小问1详解】 因为， 所以， 由，可得或， ，的变化情况如下： 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以为极大值点，为极小值点，又，，，， 所以在上的值域为. 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，可知点为的中点，由中位线的性质可得，再利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）利用等腰三角形三线合一的性质得出，由平面得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，进而利用面面垂直的判定定理可得出平面平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形. 因为为对角线与的交点，所以为的中点. 又因为为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面； （2）因为，为的中点，所以. 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面. 又因为平面，所以. 又因为，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查推理能力，属于中等题. 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）在中，，，分别是角，，的对边，且，，的面积为，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数并化简得，由函数的最小正周期和正弦函数单调递减区间列不等式即可求解； （2）先由求出角，再根据余弦定理得，接着由面积得，联立方程组即可求解. 【小问1详解】 由题 ， ∴函数的最小正周期， 由， 所以的单调递减区间； 【小问2详解】 由（1），所以， 因为，所以，所以即， 所以由得， 由， 联立解得. 18. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； （2）已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ （3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. 【答案】（1）更适合作为关于的回归方程类型， （2）54千万元 （3）11.36元 【解析】 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，对两边取对数，，代入公式，结合表格数据得到回归方程； （2）在（1）基础上，得到，求导，得到函数单调性，从而求出最值； （3）求出，，利用期望公式求出答案. 【小问1详解】 根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型， 因为呈线性变化，不合要求，故选， 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为； 【小问2详解】 因为，所以， ，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以预计下一年投入千万元时， 年利润取得最大值为千万元. 【小问3详解】 因为，， 所以 ， ， （元）. 19. 如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. （1）证明：平面； （2）设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】（1）证明：由题意得，，， 所以，即， 因为，所以，即， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠图形的性质结合勾股定理逆定理得和，即可证得平面； （2）以点为坐标原点，、为轴和轴建立空间直角坐标系，由∥据题意得，进而得再求出平面的一个法向量的坐标，由直线与平面所成角的条件列式求出即可得点M的位置，从而，，，再利用棱锥的体积公式结合等体积法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为,平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面，所以    以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 因为，所以,所以， 设平面的法向量为， 则  即 令得,所以， 记直线与平面所成角为,则， 化简得，解得，所以. 由，得,即(三等分点)， 又平面，所以，所以(三等分点)， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以即(四等分点)， 所以 又 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $