精品解析：广西南宁市宾阳中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

宾阳中学年高一年级2026年春季学期期末考试 数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因，则， 则. 2. 已知，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，， 即， 设与的夹角为， 所以， 所以， 又，所以. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则，是异面直线 D. 若，是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或， 又，所以与可能平行也可能相交于，故B错误； 对于C，分别位于两个不同平面内的直线，可能平行、相交或异面，故C错误； 对于D，由，若相交，记， 则由线面平行的性质定理知，； 同理，由，知； 所以，与“，是异面直线”矛盾， 所以若不相交，即， 故D正确. 4. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 5. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可. 【详解】已知圆台的上底面半径为，即，下底面半径为，即，母线与底面的夹角为， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得，， 因此圆台的高， 由圆台的体积公式得. 6. 如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】平面，平面，平面，，； 由在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，得，. ，在中，； 在中，. ， 在中，由余弦定理得； . 7. 已知三棱锥中，点E，F分别是，的中点，，且直线，所成的角为60°，则线段的长度为（ ） A. B. C. 1或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【详解】取的中点，连接、，因点E，F分别是，的中点， 则，故（或其补角）为、所成的角， ∵、所成的角为60°，∴或120° ∵，∴， 当时，； 当时，. 即或. 8. 在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，可得， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 数据，，，…，的平均数为2，方差为4，则数据，，，…，的平均数为5，方差为16 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：因为已知数据的平均数，所以先根据平均数公式求出未知参数，再代入方差公式计算方差判断正误；B选项：根据百分位数定义运算求解；C选项：因为已知原数据的平均数和方差，所以根据线性变换后数据的平均数、方差的性质，直接计算新数据的平均数和方差判断正误；D选项：因为是分层抽样，所以先根据高一年级的抽样人数和总人数求出抽样比，再结合高二年级人数算出高二抽样人数，最后用总抽样人数减去高一、高二抽样人数得到高三抽样人数判断正误. 【详解】A选项，由得， 根据方差公式，故A项错误； B选项，将数据从小到大排序可得12，14，15，17，19，23，27，30， 因为不是整数， 所以第70百分位数是排序后第6个数，即23，故B项正确； 选项C：数据，，，…，的平均数为， 方差为，故C正确； D选项，由题意知，抽样比为，则从高二年级抽取人数为， 设高三年级学生中抽取的人数为x，则，解得，故D项正确. 10. 抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ） A. A包含C B. A与B相互独立 C. B与C互为对立事件 D. B与C互斥但不对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题得，，，对于A，由包含事件定义即可得解；对于B，由相互独立事件的乘法公式去计算和即可判断；对于C和D，由互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】由题意可知，，， 且，，， 对于A，由上可知A包含C，故A正确； 对于B，，，故，故B正确； 对于C和D，设事件“抛掷质地均匀的骰子两次”，则， 故由和知B与C互斥但不对立，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：先明确与“抛掷质地均匀的骰子两次”有关的各事件所包含的可能情况，再根据包含事件、互斥事件以及对立事件的概念和概率乘法公式去计算相关概率即可判断得解. 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，（靠近），且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在点，使得，相交 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.连接, 证明平面，则，故选项A正确； B. ，是异面直线，所以不存在点，使得，相交，所以选项B错误； C.点到平面的距离为，的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故选项C正确； D. 连接，得到三棱锥,把三棱锥底面展开，使它和平面在同一个平面，交于点，此时取最小值，由余弦定理得此时.故选项D正确. 【详解】A.连接,由正方体的结构特征可知，，，又，平面平面，则，故选项A正确； B. 因为是异面直线，所以，是异面直线，所以不存在点，使得，相交，所以选项B错误； C.点到平面的距离为，的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故选项C正确； D. 连接，得到三棱锥,把三棱锥底面展开，使它和平面在同一个平面，交于点，此时取最小值，由于△是等边三角形，所以因为，所以，又,由余弦定理得.故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】因为向量，， 所以， 又，则，解得． 13. 现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 【答案】6 【解析】 【分析】计算混合数据的平均数，计算混合数据的方差. 【详解】设甲组数据为，乙组数据为， 甲组平均数，乙组平均数， 混合后的平均数：， 甲组方差， 乙组方差， ， . 14. 在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接，根据等边三角形的性质及面面垂直的性质定理得平面，根据直角三角形的性质得的外接圆的圆心为M，所以三棱锥的球心在上，利用勾股定理求解球的半径，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】取中点，连接，由，得， 由于平面平面，且交线为，平面，故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上，且 设球半径为，则， 解得，故表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方图． （1）若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最低分数；（结果保留1位小数） （2）若采用按比例分层抽样的方法，从得分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在的概率． 【答案】（1）83.3分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算第80百分位数即可； （2）先根据分层抽样计算得到，抽到的人数，使用列举法得出2人成绩都在的概率. 【小问1详解】 由于，， 所以第80百分位数在区间中，第80百分位数为， 所以获得表彰同学的最低分数为83.3分． 【小问2详解】 与的频率之比为，所以5人中有3人得分在，记为，，，有2人得分在，记为，． 设事件“座谈交流的2人得分均在”， 由于，， 所以． 16. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由菱形可得， 平面平面，平面平面， 又正方形中， 平面，又平面，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，则平面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 18. 在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. （1）求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； （2）求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲正确识别2个乙正确识别1个，甲正确识别1个乙正确识别2个两互斥事件的和求解. 【小问1详解】 设“甲每轮识别成功”为事件A，“乙每轮识别成功”为事件B， 由题意：； ， 由甲，乙的识别结果相互独立，，都相互独立； 甲，乙两人中恰好有一人成功=“”，且互斥， ∴； 【小问2详解】 设A1，A2分别表示甲两轮考核中识别成功1个，2个植物标本，B1，B2分别表示乙两轮识别成功1个，2个植物标本， ， ， 设“在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次”， ∴，且与互斥，与与分别相互独立， ∴ ， 因此，在两轮考核中，“竞赛队”成功识别标本的总次数为3次概率为． 19. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． （3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 【答案】（1） 如图所示，设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． （2）1 （3）45° 【解析】 【分析】(1)先证明平面得到； (2)将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解； (3)设，，可证得为二面角的平面角，可得，为直线与平面所成的角，可求得知大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 所以． 【小问3详解】 设点是与的交点，由（1）可知平面， 又，均在平面内，从而有，， 故为二面角的平面角，所以， 所以， 因为，所以为等边三角形． 不妨设菱形的边长为，． 则在直角中，，， ，所以， 因为平面，所以为直线与平面所成的角． 则， 所以直线与平面所成的角为45° 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宾阳中学年高一年级2026年春季学期期末考试 数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则，是异面直线 D. 若，是异面直线，，，，，则 4. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，点E，F分别是，的中点，，且直线，所成的角为60°，则线段的长度为（ ） A. B. C. 1或 D. 1或 8. 在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 数据，，，…，的平均数为2，方差为4，则数据，，，…，的平均数为5，方差为16 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 10. 抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ） A. A包含C B. A与B相互独立 C. B与C互为对立事件 D. B与C互斥但不对立 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，（靠近），且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在点，使得，相交 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则______． 13. 现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 14. 在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方图． （1）若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最低分数；（结果保留1位小数） （2）若采用按比例分层抽样的方法，从得分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在的概率． 16. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 18. 在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. （1）求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； （2）求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 19. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． （3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $