精品解析：辽宁省大连市甘井子区第八十中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期九年级数学10月限时作业 一、选择题 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的方程的一个解，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 向空中发射一枚炮弹，经过秒后的高度为米，且时间与高度的关系为（），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 8. 将抛物线平移至，则需将该抛物线（ ） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 9. 关于二次函数．下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 时，的值随值的增大而增大 D. 当时，函数有最小值为5 10. 二次函数的图像上有，，三点，则、、的大小关系（用“”连接）是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 方程的实数解是___________． 12. 武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，若设这部分运动员有x人，可列方程为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 14. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：连接，作的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记、的交点为P．设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式为_________________． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程：． 17. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，． （1）求二次函数的解析式；zd （2）当时，y随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． （1）若每件衬衫降价5元，则该商场每天可盈利多少元？ （2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？ （3）商场平均每天可能盈利1600元吗？请说明理由． 19. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程较大的解为 ； （2）当时，直接写出x的取值范围为 ； （3）方程有实数根，t的取值范围是 ； （4）当时，直接写出y的取值范围是 ． 20. 观察下列两个三位数的积，猜想其中哪个积最大？并用函数的知识说明理由． ． 21. 数学活动的内容是：三角点阵中前n行的点数计算． 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点， 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，你能发现200是前多少行的点数的和吗？你能用一元二次方程解决这个问题吗？ 针对活动内容，请你回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数的和能是200吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是240吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 22. 如图，中，，将绕A点逆时针旋转得到 ，连接交于点F． （1）求的度数； （2）若，四边形是菱形，求的长度． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学10月限时作业 一、选择题 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 2. 若是关于的方程的一个解，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程列出关于a的方程，通过解方程来求a的值． 【详解】解：把代入方程得， 解得：， 故选：A． 3. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 4. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得，由得，由旋转得． 【详解】解：∵将绕顶点顺时针旋转，得到． ∴，旋转角， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：A 6. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【详解】根据中心对称的性质，得点关于原点的对称点的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 7. 向空中发射一枚炮弹，经过秒后的高度为米，且时间与高度的关系为（），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：， ∴炮弹所在高度最高时： 时间是第10秒． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键． 8. 将抛物线平移至，则需将该抛物线（ ） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据函数图象平移的法则：左加右减，上加下减判断即可． 【详解】解：向右平移2个单位，向下平移1个单位得到； 故选：B． 9. 关于二次函数．下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 时，的值随值的增大而增大 D. 当时，函数有最小值为5 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图像与性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，即图像与轴的交点坐标为，则此项正确，不符合题意； B、二次函数的对称轴为直线，则图像的对称轴在轴的右侧，此项正确，不符合题意； C、∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大， 则此项错误，符合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，函数有最小值为5，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 10. 二次函数的图像上有，，三点，则、、的大小关系（用“”连接）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，开口，熟练掌握性质是解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，开口方向，再计算点与对称轴的距离，根据函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上， 点均在二次函数图象上， 且， ∵抛物线开口向上， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越大， ， 故选：C． 二、填空题 11. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12. 武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，若设这部分运动员有x人，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）＝132． 【解析】 【分析】设这部分运动员有x人，则每人送（x﹣1）个纪念品，根据送出纪念品的总数＝人数×每人送出纪念品数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】若设这部分运动员有x人，则每名运动员所赠的纪念品为：（x﹣1）件， 那么x名运动员共赠：x（x﹣1）件， 所以，x（x﹣1）＝132． 故答案为x（x﹣1）＝132． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即可列出一元二次方程． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可 【详解】解：如图，作轴于H． 由题意：， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：连接，作的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记、的交点为P．设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的性质及勾股定理解三角形，二次函数的应用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，过点P作交轴于点N，根据线段垂直平分线的性质得出，再由坐标与图形性质确定，，，利用勾股定理即可得出结果． 【详解】解：连接，过点P作交轴于点N， ∵的垂直平分线是， ∴, ∵点P的坐标是，点A的坐标是， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键，利用公式法求出方程的解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 17. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，． （1）求二次函数的解析式；zd （2）当时，y随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）先求得该二次函数图像的对称轴，再根据函数增减性求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由得该二次函数图像开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴，解得， 故t的取值范围为． 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． （1）若每件衬衫降价5元，则该商场每天可盈利多少元？ （2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？ （3）商场平均每天可能盈利1600元吗？请说明理由． 【答案】（1）1050元 （2）每件衬衫应降价20元 （3） 解：不可能．理由如下： ， 整理，得 ， ∴所列方程无实数解， 答：商场平均每天不可能盈利1600元． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量每件盈利进行解答． （2）利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【小问1详解】 解：（元． 答：商场每件降价5元，商场每天可盈利1050元； 【小问2详解】 解：设每件衬衫应降价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， “扩大销售量，减少库存”， 应舍去， ． 答：每件衬衫应降价20元． 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润，是解题的关键． 19. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程较大的解为 ； （2）当时，直接写出x的取值范围为 ； （3）方程有实数根，t的取值范围是 ； （4）当时，直接写出y的取值范围是 ． 【答案】（1）1 （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，解一元二次方程，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． （1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴下方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）将问题转化为方程有实数根，利用判别式求解即可； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最大值为4，再分别求和对应的函数值，结合图象可求解． 【小问1详解】 解：由得， ∴，， 则较大的解为； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵方程的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵，， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 20. 观察下列两个三位数的积，猜想其中哪个积最大？并用函数的知识说明理由． ． 【答案】最大；理由如下： ∵， ， ， ∴最大； 设其中一个三位数为x，则另外一个三位数为，两个三位数的积为y，根据题意得： ， ∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，自变量x的值越接近200，函数值y越大． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式应用，二次函数应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．设其中一个三位数为x，则另外一个三位数为，两个三位数的积为y，得出，根据二次函数的性质，进行说明即可． 【详解】略 21. 数学活动的内容是：三角点阵中前n行的点数计算． 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点， 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，你能发现200是前多少行的点数的和吗？你能用一元二次方程解决这个问题吗？ 针对活动内容，请你回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数的和能是200吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是240吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（1） 解：前4行的点数和为10，前5行的点数和为，前6行的点数和为，前7行的点数和为， 找出规律，，，， 则前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是200，则， 即，解得， 由于为无理数，n不可能为整数，故前n行的点数的和不能是200． （2）能， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，图形类规律探索，解一元二次方程，正确找到图形的规律是解题关键． （1）通过对前4、5、6、7行的点数和进行分析，总结出点数和与行数的规律就能判断前n行的点数的和能否是200； （2）借助（1）中总结的点数和与行数的规律，将点数替换得出新的规律，判断前n行的点数的和能否是240． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，每行的点数与行数一致时，前n行的点数和为， 当每行的点数变为时，此时前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是240，则， 即，， 解得， 由于n为正整数，故n为15， 即这个三角点阵中前15行的点数的和是240． 22. 如图，中，，将绕A点逆时针旋转得到 ，连接交于点F． （1）求的度数； （2）若，四边形是菱形，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和菱形的性质是解答的关键． （1）证明得到，再根据三角形的内角和定理可得即可解答； （2）利用菱形的性质得到，，则，进而求得，然后利用勾股定理求得，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵绕A点逆时针旋转得到 ，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设、相交于O，如图， ∵，，， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标即可． 【小问1详解】 解：当时，，， 当时，由得， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式为， ， ， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ∵，， 当时，S取最大值，最大值为， 当时，， ； 【小问3详解】 解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴①当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ，即， ， ， ； ②当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或； ③当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或 综上：或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点及分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $