4.2.2 指数函数的性质（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

4.2.2 指数函数的性质 题型一 指数函数的定义域 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2.y＝2x－1的定义域是（    ） A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型二 指数函数的值域 5．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．的值域是（ ） A． B． C． D． 7．若函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域为 . 9．函数的最大值为 . 题型三 判断指数函数的单调性 10．下列函数中定义域为，，当时，都有的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 12．设函数在上（    ） A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 13．写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式 . ①；②在上单调递减. 题型四 求指数函数的单调区间 14．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 15．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 16．函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 17．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 18．函数的单调递增区间是 . 题型五 利用指数函数的单调性求参 19．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 20．（23-24高二下·天津河东·期末）设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是 ． 题型六 指数函数的奇偶性 23．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 24．若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 25．若函数（）为奇函数，则实数 ． 26．若函数（）为奇函数，则实数 ． 题型一 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域 27．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 28．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 29．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 30．函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 31．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 32．当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型二 利用指数函数单调性比较大小 33．已知，则（  ）. A． B． C． D． 34．已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．若，则（    ） A． B． C． D． 36．若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 利用指数函数单调性解不等式 37．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．已知函数，则使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41．已知，且，则的最小值是（    ）． A． B． C． D．4 42．已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 43．已知函数． (1)若，解不等式； (2)若，求时的值域． 44．已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 45．已知函数是上的奇函数. (1)求的值； (2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围. 46．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 指数函数的性质 题型一 指数函数的定义域 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】指数函数的定义域为.故选：D. 2.y＝2x－1的定义域是（    ） A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A 【解析】因为，所以，故选：A 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，即，解得．故选：C. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，即，. 因此，函数的定义域为.故选：B. 题型二 指数函数的值域 5．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为．故选：B 6．的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数单调递减，所以函数的最大值为， 最小值为，所以函数的值域为.故选：D 7．若函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由二次函数的性质，可得函数在区间单调递减， 当，函数取得最小值，最小值为，即值域为； 由指数函数的性质，可得函数在区间单调递增，此时值域为， 综上可得，函数的值域为.故选：D. 8．函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为，且在单调递减， 则，且，所以的值域为. 9．函数的最大值为 . 【答案】5 【解析】因为， 令，则，，当，即时，取得最大值5. 题型三 判断指数函数的单调性 10．下列函数中定义域为，，当时，都有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，当时，都有，所以对应的在上单调递增， 对于A，指数函数在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，故B错误； 对于C，当时，在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，二次函数在上单调递减，故D错误.故选A. 11．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，因为，所以函数为奇函数， 又因为函数在R上都是减函数，所以函数在R上是减函数.故选C. 12．设函数在上（    ） A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 【答案】B 【解析】令，∵在上是减函数， 在上是增函数，在上是减函数， ∴在上是减函数，在上是增函数， ∴函数在上先减后增，故选B. 13．写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式 . ①；②在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【解析】不妨取，则，条件①满足； 函数在上单调递减，条件②满足. 题型四 求指数函数的单调区间 14．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【解析】设，则，因为在和上是减函数， 且在和上是增函数，所以函数的单调递减区间是和.故选D 15．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是.故选A. 16．函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为.故选B. 17．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是.故选D. 18．函数的单调递增区间是 . 【答案】或 【解析】函数， 令， 则在上单调递增，在上单调递减， 由的，而在上单调递增， 所以的单调递增区间是或. 题型五 利用指数函数的单调性求参 19．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得.故选B. 19．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足，综上所述：的取值范围是.故选：B. 20．（23-24高二下·天津河东·期末）设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是，故选D 21．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在区间上单调递增， 所以在上单调递增，则，即，故选：A 22．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数（且）在区间上单调递增， 在上单调递减，所以，且在上大于等于0恒成立. 所以. 题型六 指数函数的奇偶性 23．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得，故选C 24．若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【解析】函数定义域为，由是奇函数，得， 则，整理得， 所以，故选B 25．若函数（）为奇函数，则实数 ． 【答案】/0.5 【解析】为奇函数，定义域为R， 所以，此时， ，所以函数为奇函数，满足题意，． 26．若函数（）为奇函数，则实数 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，由奇函数的性质可得， 即，解得.此时, 且，满足题意；所以. 题型一 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域 27．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数的性质，可得，所以，即的值域是.故选：A． 28．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为，故选：D 29．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为，所以，则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是.故选C 30．函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【解析】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或.故选：C. 31．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由原式得， ,，∴，即函数的值域为，故选：C 32．当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为，所以，则，且对称轴为，开口向上，所以时单调递减，时，单调递增，时，，时，，故函数的值域为， 故选：A 题型二 利用指数函数单调性比较大小 33．已知，则（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且， 所以，即，故选C. 34．已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，，， 所以，故选A. 35．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是减函数，所以， 因为在单调递增，所以，故，所以， 又是增函数，所以，所以，故选B. 36．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以．故选D 题型三 利用指数函数单调性解不等式 37．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，令，解得．作出函数和的大致图象，如图，    由图可知，若，则．故选A. 38．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则， 即，解得，所以的取值范围为．故选：B． 39．已知函数，则使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，定义域为，关于原点对称， 又因为，易知是偶函数， 当时，，则在上单调递增． 由，得，解得．故选：B 40．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为指数函数在上单调递减， 所以由，可得， 若，那么一定有，所以能推出，充分性成立， 若，即，不一定能推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选A 41．已知，且，则的最小值是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故选D 42．已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，而函数在R上都递增， 则函数在R上递增，不等式， 因此，解得，所以原不等式的解集为，故选D 43．已知函数． (1)若，解不等式； (2)若，求时的值域． 【解】（1）当时，，不等式即． 令，则不等式可化为，即， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，即． 又∵，∴，即． ∵指数函数在上单调递增，∴． 因此，不等式的解集为； （2）当时，． ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递增， ∴， 即时的值域为． 44．已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）是奇函数，下面给出证明： 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数. （2）是增函数，是上的减函数. 原不等式可化为，则， 即对一切成立. 当时，不等式化为恒成立，符合题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 45．已知函数是上的奇函数. (1)求的值； (2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围. 【解】（1）已知函数是上的奇函数， 根据奇函数的性质：对于定义域内任意，都有. 则，解得. 此时， ，所以符合题意. 故. （2）由已知在内有解，因为， 所以在内有解， 因为恒成立， 整理得在内有解， 令，因为，所以，则在内有解， 设，， 所以在上单调递增， 则. 因为存在，使得成立，所以， 即实数的取值范围是. 46．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 【解】（1）若为奇函数，则， 即， ，则， ，解得：． 又函数在R上是增函数，函数在R上是减函数， 因此函数在R上为增函数． （2）由题意得在时恒成立， 因为是R上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即在时恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 即，故，即． （3）由题意，使得，所以， 因为，由（1）可得， 因为的对称轴为直线 ①当时，在区间上单调递增，所以 由，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 由，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $