4.3.2 对数函数的性质（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

4.3.2 对数函数的性质 题型一 对数函数的定义域 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型二 对数函数的值域 5．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为，则值域为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 题型三 判断对数函数的单调性 9．下列四个函数中，在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．关于函数的单调性，下列说法正确的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上是增函数 11．设函数，则（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递减 12．关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 题型四 求对数型函数的单调区间 13．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 14．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 15．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 16．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 17.函数的单调递减区间为 ． 题型五 利用对数函数的单调性求参 18．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21.若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 对数函数的奇偶性 22．已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 23．已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0.5 24．若函数为偶函数，则 . 25．已知非常数函数是奇函数，则 . 题型七 对数函数的应用 26．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 27．中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 28．声强级（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：）.若某音源的声强由变为，其声强级由10.1提高到30.1，则（    ） A． B． C． D． 29．目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 题型一 反函数 30．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 31．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 32．函数与指数函数（且）互为反函数，且过点，则（   ） A． B．0 C．1 D． 33．函数（其中为自然对数的底数）的反函数为，则 ． 题型二 利用对数函数单调性比较大小 34．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 35．设，则（   ） A． B． C． D． 36．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型三 利用对数函数单调性解不等式 37．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 38．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 39．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 40．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 41．若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 43．已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 44．已知（且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为1，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 45．设函数，. (1)设，用表示，并指出的取值范围； (2)求的最值，并指出取得最值时对应的的值. 46．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 47．已知函数． (1)若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． (2)若，求的取值范围； 48．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． (1)求函数，的解析式； (2)设m，n是方程的根，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数函数的性质 题型一 对数函数的定义域 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，所以函数的定义域是.故选：D. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得.故选：A 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，得.故选：A 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为.故选：A. 题型二 对数函数的值域 5．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为，故选：B． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，又在上单调递增， 所以，故函数的值域为．故选：B． 7．函数的定义域为，则值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 可知在内的最小值为，最大值为， 所以值域为.故选：A. 8．已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，，所以函数的值域是.故选：A 题型三 判断对数函数的单调性 9．下列四个函数中，在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，在上单调递增，A错误； B选项，，故在上单调递增， 在上单调递减，B错误； C选项，在上单调递增，C错误； D选项，在上单调递增，故在上单调递减，D正确. 故选：D 10．（2025高二下·广西·学业考试）关于函数的单调性，下列说法正确的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上是增函数 【答案】D 【解析】关于函数，由， 它的定义域为，令，可知在为增函数，又为增函数， 函数在上是增函数.故选：D. 11．设函数，则（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【解析】定义域为，所以的递减区间是.故选:D. 12．（2025高二下·浙江绍兴·学业考试）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 【答案】C 【解析】由函数的解析式知定义域为，设， 显然在上是增函数，在上是增函数， 由复合函数的单调性可知在上是增函数，故选：C 题型四 求对数型函数的单调区间 13．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得，解得. 因为在定义域内单调递减，所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增.函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是.故选：D 14．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数的定义域知： ，即 的定义域为 ， 是减函数，当 时， 也是减函数，当 时，是增函数， 所以 的单调递增区间是 ；故选：A. 15．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得或， 则原函数的定义域为或， 令，其对称轴方程为，该函数在上单调递增， 又函数是定义域内的增函数， ∴函数的单调递增区间是.故选：D. 16．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 而对数函数在上是减函数，在上是增函数， 所以函数单调递增区间为．故选：C 17.函数的单调递减区间为 ． 【答案】（或） 【解析】由，得，因为函数在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性可得的单调递减区间为． 题型五 利用对数函数的单调性求参 18．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得.故选：B. 19．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，且恒有， 因此且，解得， 所以的取值范围为.故选：D 20．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故，故选：D. 21.（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减，可得： , 又对于恒成立， 所以，解得：，综上所述：.故选：A 题型六 对数函数的奇偶性 22．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题设， 且，则， 由，可得.故选：A 23．已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0.5 【答案】A 【解析】由或， 即函数定义域为， 由 ， 可知，即，故选：A 24．（2025·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以， 25．已知非常数函数是奇函数，则 . 【答案】/2.5 【解析】由于函数是奇函数， 所以其定义域关于原点对称，， 由，则，所以，解得， 此时， 则， 所以， 则，故. 题型七 对数函数的应用 26．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：，根据题设及指对数关系有， 所以，所以.故选：A 27．中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】B 【解析】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得.故选：B. 28．声强级（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：）.若某音源的声强由变为，其声强级由10.1提高到30.1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】声强级由10.1提高到30.1，可知，， 故， 即，故，则，即，故选：C 29．（2025高三·全国·专题练习）目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】设里氏8.0级地震所释放出来的能量为，里氏6.0级地震所释放出来的能量为， 则，；，．故选：C 题型一 反函数 30．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即，故选：A. 31．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【解析】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称，故选：A. 32．函数与指数函数（且）互为反函数，且过点，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】因为指数函数（且）的反函数为（且）， 因为的图象过点，故函数的图象过， 所以，故，所以，所以. 故选：A 33．函数（其中为自然对数的底数）的反函数为，则 ． 【答案】1 【解析】因为为函数的反函数，所以. 所以，. 所以. 题型二 利用对数函数单调性比较大小 34．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， 又，所以. 所以．故选：D 35．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， 因为，所以且不能取等号， 所以， 所以，所以，所以.故选：A. 36．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，， 因为，而， 画出的图象，        由图可知，，那么， 则，则，即． 故选：A． 题型三 利用对数函数单调性解不等式 37．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式， 因此，解得， 所以原不等式的解集是.故选：A 38．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：因为，所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为． 方法二：当时，无意义，排除C，D； 当时，无意义，排除B. 故选：A. 39．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，得 ， 由，观察可得方程组的解为或， 画出的图像    由图可知，不等式的解集是. 故选： 40．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 41．（2025高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递增， 所以当时， ①当时，函数为增函数， 要使不等式在恒成立， 则须满足，即，解得； ②当时，函数为减函数，当时值域为负数，不满足题意， 综上，的取值范围是. 故选：C． 42．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图象，如图，因， 且，可得，则， 所以.故D正确. 故选：D.    43．已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 44．已知（且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为1，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【解】（1）因为（且）在上为单调函数， 且在上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得或． （2）①当时，函数在上单调递减， 故，解得，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得． 综上可得，实数的取值范围为. 45．设函数，. (1)设，用表示，并指出的取值范围； (2)求的最值，并指出取得最值时对应的的值. 【解】（1）设，因为，所以. 此时，， 即，其中 （2）由第(1)问可得，. 因为，函数在单调递增， 在单调递减，所以当，即， 即时，取得最大值； 当，即， 即时，取得最小值. 46．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【解】（1）由题意得，，解得， 所以函数的定义域为. （2）由， 则，故函数为偶函数. （3）由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则，即， 所以函数在上单调递减. 47．已知函数． (1)若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． (2)若，求的取值范围； 【解】（1）设 ，则 ，， 由周期性得：， 再由奇函数性质得：， 当时，有，且， 所以，. （2）代入得：， 即 ， 即， 得：， 解得：. 48．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． (1)求函数，的解析式； (2)设m，n是方程的根，求的值． 【解】（1）对于函数（且），，所以， 所以，即，所以，所以，所以； 又函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以； （2）由题意m，n是方程即的根， 令，则是二次方程的两根， 所以，所以， 又， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $