4.1.2 幂函数的性质（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

4.1.2 幂函数的性质 题型一 幂函数的定义域 1．下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，，定义域为， ，定义域为，，定义域为．故选：C． 2．若幂函数的图像经过点，则的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解析】为幂函数，设 又的图像经过点，，解得：， 的定义域为故选：C 3．若幂函数的图象经过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，已知的图象经过点，则， ，，其定义域为.故选：D. 4．已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【答案】. 【解析】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 5．已知幂函数的图象过点,则这个函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，设函数图象过点 即，要使得函数有意义，则需， 即函数的定义域为. 题型二 幂函数的值域 6．下列函数中，值域是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A中值域为；B中值域为；C中值域为；D中值域为 故选：C. 7．当α∈时，函数y＝xα的值域为R的α值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】，的值域为； 的值域为；的值域为；的值域为；的值域为； 所以使函数满足值域为的有个；故选： 8．在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同.故选：D 9．函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增，又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减，可得. 10．设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【解析】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 题型三 判断幂函数的单调性 11．幂函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【解析】由题设，则为非奇非偶函数，且在上单调递增.故选：C 12．已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】A 【解析】依题意，设，将点代入上式，得到，即， 所以该函数为偶函数，且在上是增函数．故选: 13．下列函数中，满足对任意，都有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数单调性的定义可得，在上是减函数， 对于A，由函数的单调性定义可知，函数在上是增函数，故A错误； 对于B，由幂函数的性质可知，函数在上是增函数，故B错误； 对于C，由二次函数的性质可知，在上是增函数，在上是减函数，故C错误； 对于D，由于，及在上是减函数，所以在上是减函数，故D正确； 故选：D. 14．已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【解析】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 15．已知幂函数，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．是奇函数 D．在上单调递增 【答案】CD 【解析】幂函数的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故A、B错误，C、D正确.故选：CD 题型四 求幂函数的单调区间 16．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【解析】函数的图象如图：所以 的减区间是，不是. 函数在上是减函数，在上也是减函数， 但不能说函数在上是减函数． 因为当时有，不满足减函数的定义．故选:C 17．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（    ） A．[-1，+∞) B．[0，+∞) C．(-∞，+∞) D．(-∞，0) 【答案】B 【解析】设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3， )， 所以f(3)=3α==，解得α=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B 18．下列函数中，既是幂函数又是上的严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A;不是幂函数，故不符合， 对于B; 是幂函数，且在单调递增，符合， 对于C; 是指数函数，不符合要求， 对于D; 不是幂函数，不符合要求，故选：B 19．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，所以，可得， 所以，，该函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 所以，函数的减区间为，增区间为.故选：B. 20．函数的减区间是 . 【答案】 【解析】函数为偶函数，且该函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 对于函数，由，可得， 所以，函数的减区间为. 21．幂函数的增区间为 ． 【答案】 【解析】依题意得，则，所以，其增区间为． 题型五 利用幂函数的单调性求参 22．幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为幂函数在上是严格增函数，所以，故A错误. 对于B，若，则，当时，，不经过，故B错误. 对于C ，若，则，当时，，经过，故C正确. 对于D，若，则，定义域为，不符合题意，故D错误. 23．已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】A 【解析】由题意得，解得或1， 当时，，在上单调递增，不合要求， 当时，，在上单调递减，满足要求.故选A 24．函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 【答案】B 【解析】由函数是幂函数， 得，解得或2． 当时，函数为，且在区间上单调递减，满足题意； 当时，函数为，且在上单调递增，不符合题意．故选：B. 25．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，函数在上单调递增， 则时，一定有在上单调递增；在上单调递增，不一定满足， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A. 26．已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 【答案】3 【解析】因为， 所以当幂函数为奇函数时，或； 而幂函数又在上单调递增知，所以， 题型六 幂函数的奇偶性 27．幂函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限和原点 D．第二、四象限和原点 【答案】C 【分析】根据幂函数的解析式确定图象特征即可判断得解. 【详解】幂函数是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点.故选：C 28．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】D 【解析】因为函数为幂函数，所以，得， 所以，定义域为， 因为， 所以在定义域内为偶函数，故C错误，D正确； 根据幂函数的性质知在单调递减， 又在定义域内为偶函数，所以在单调递增，故A错误，B错误.故选：D 题型七 利用幂函数奇偶性求参 29．已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【解析】由于函数是幂函数，所以，解得或. 当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意. 当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意. 所以的值为.故选：A 30．已知幂函数是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，当时，为奇函数，不合乎题意； 当时，为偶函数，合乎题意； 当时，为奇函数，不合乎题意； 当时，为奇函数，不合乎题意.故选：B. 31．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 【答案】C 【解析】幂函数为偶函数， ，且为偶数，则实数，故选：C 32．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【解析】由题意，，即，解得或， 当时，是偶函数，满足题意， 当时，，，没有奇偶性，不合题意，所以.故选：C. 33．下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A．的定义域,，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B．，定义域为，为偶函数，其图象关于轴对称,在区间上是严格减函数，符合题意； 对于C．，定义域为，且为奇函数，且在递增，不符合题意； 对于D．，在区间上是严格减函数，且为奇函数，不符合题意．故选：B． 题型一 与幂函数有关的复合函数的定义域、值域 34．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B． 35．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．故选：A 36．幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，代入点得， 则，令， 函数的值域是.故选：C. 37．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的图像过点，可得，解得，所以， 函数，则， 所以在区间上单调递增，所以的最小值.故选： 题型二 利用幂函数单调性比较大小 38．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因在上单调递增， 由，可得， 故.故选：C. 39．已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减．由于，所以， 又，所以， 所以，即故选：D 40．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数为上的增函数，且， 所以，即，故选：A 41．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为在上单调递增， 所以当时，成立，反之当时，成立，所以p是q的充要条件.故选：C 42．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，且，由幂函数在上单调递增可知，故选：A． 题型三 利用幂函数单调性解不等式 43．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在单调递减， 所以由可得，解得，故选：C. 44．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以函数在上为增函数， 由可得，解得． 故选：B. 45．已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或，故选：D 46．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 47．已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 48．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（    ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∴，且为偶数或 当时，满足条件；当时，，舍去 因此：m＝1故选：B 49．已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 【答案】D 【解析】设幂函数，因为， 所以，所以（）. 根据幂函数的性质可知，在上单调递减，所以A错误； 因为该函数的定义域为，所以不关于轴对称，B错误； 因为时函数无意义，所以不经过点，C错误； 因为在上单调递减，，所以，D正确.故选：D. 50．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 51．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 52．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集. 【解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解为. 53．已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 幂函数函数的性质 题型一 幂函数的定义域 1．下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 2．若幂函数的图像经过点，则的定义域为（    ） A．R B． C． D． 3．若幂函数的图象经过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 5．已知幂函数的图象过点,则这个函数的定义域为 ． 题型二 幂函数的值域 6．下列函数中，值域是的函数是（    ） A． B． C． D． 7．当α∈时，函数y＝xα的值域为R的α值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 9．函数的值域为 . 10．设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 题型三 判断幂函数的单调性 11．幂函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 12．已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 13．下列函数中，满足对任意，都有的是（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 15．已知幂函数，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．是奇函数 D．在上单调递增 题型四 求幂函数的单调区间 16．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 17．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（    ） A．[-1，+∞) B．[0，+∞) C．(-∞，+∞) D．(-∞，0) 18．下列函数中，既是幂函数又是上的严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 19．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 20．函数的减区间是 . 21．幂函数的增区间为 ． 题型五 利用幂函数的单调性求参 22．幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 23．已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 24．函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 25．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 题型六 幂函数的奇偶性 27．幂函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限和原点 D．第二、四象限和原点 28．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 题型七 利用幂函数奇偶性求参 29．已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 30．已知幂函数是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 31．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 32．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 33．下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 题型一 与幂函数有关的复合函数的定义域、值域 34．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 35．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 37．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 题型二 利用幂函数单调性比较大小 38．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 39．已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 40．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 41．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三 利用幂函数单调性解不等式 43．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 44．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 46．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 47．已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 48．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（    ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 49．已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 50．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 51．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 52．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集. 53．已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $